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La trigonométrie

Les trois relations fondamentales

Les règles de trigonométrie s'appliquent toujours dans un triangle rectangle.

Relativement à un angle \(\alpha\), on a les relations suivantes :

Astuce : On peut utiliser le moyen mnémotechnique \(SOH-CAH-TOA\).

Exemple :

Dans le triangle rectangle suivant :

et pour les valeurs suivantes :

$$ \Bigl \{ a = 3, \ b = 4, \ c = 5 \Bigr \}$$

On aura les relations suivantes pour l'angle \(\alpha\) :

$$ sin(\alpha) = \frac{a}{c} $$

$$ sin(\alpha) = \frac{3}{5} $$

$$cos(\alpha) = \frac{b}{c} $$

$$ cos(\alpha) = \frac{4}{5} $$

$$tan(\alpha) = \frac{b}{a} $$

$$ tan(\alpha) = \frac{4}{3} $$

Retrouver un angle à partir d'une relation fondamentale

Pour faire apparaître un angle alors que l'on dispose uniquement une des trois relations (\(sin\), \(cos\) ou \(tan\)), on doit utiliser les fonctions inverses (\(arcsin\), \(arccos\) ou \(arctan\)).

On note aussi des ces fonctions :

• \(sin^{-1}\) pour \(arcsin\)

• \(cos^{-1}\) pour \(arccos\)

• \(tan^{-1}\) pour \(arctan\)

Exemple :

En reprenant l'exemple précédent :

on avait trouvé les relations fondamentales suivantes sur \(\alpha\) :

$$ sin(\alpha) = \frac{3}{5} $$

$$ cos(\alpha) = \frac{4}{5} $$

$$ tan(\alpha) = \frac{4}{3} $$

Alors, leur applique respectivement leur fonction inverse pour en déduire l'angle :

$$ \textcolor{#8E683D}{arcsin\Bigl(}sin(\alpha)\textcolor{#8E683D}{\Bigr)} = \textcolor{#8E683D}{arcsin\biggl(}\frac{3}{5}\textcolor{#8E683D}{\biggr)} $$

$$ \alpha \approx 0.64 \text{ rad}$$

$$ \textcolor{#58814B}{arccos\Bigl(}cos(\alpha)\textcolor{#58814B}{\Bigr)} = \textcolor{#58814B}{arccos\biggl(}\frac{4}{5}\textcolor{#58814B}{\biggr)} $$

$$ \alpha \approx 0.64 \text{ rad}$$

$$ \textcolor{#6F79AB}{arctan\Bigl(}tan(\alpha)\textcolor{#6F79AB}{\Bigr)} = \textcolor{#6F79AB}{arctan\biggl(}\frac{4}{3}\textcolor{#6F79AB}{\biggr)} $$

$$ \alpha \approx 0.64 \text{ rad}$$

Par défaut, les fonctions inverses renvoient une valeur en radians.

Il faut alors effectuer une conversion pour les transormer en degrés.

$$ \frac{360 \text{ °}}{2\pi} \approx \frac{\textcolor{#9F6A6A}{X} \text{ °}}{0.64} $$

$$ \textcolor{#9F6A6A}{X} \approx \frac{360 \times 0.64}{2\pi} $$

$$ \textcolor{#9F6A6A}{X} \approx 36.9 \text{ °} $$