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La trigonométrie

Les trois relations trigonométriques fondamentales

Les règles de trigonométrie s'appliquent toujours dans un triangle rectangle.

Relativement à un angle \(\alpha\), on a toujorus les trois relations suivantes :

Astuce : On peut utiliser le moyen mnémotechnique : \(SOH-CAH-TOA\).

Exemple :

Dans le triangle rectangle suivant :

et pour les valeurs suivantes :

$$ \Bigl \{ a = 3, \ b = 4, \ c = 5 \Bigr \}$$

On aura les relations suivantes pour l'angle \(\alpha\) :

$$ sin(\alpha) = \frac{a}{c} $$

$$ sin(\alpha) = \frac{3}{5} $$

$$cos(\alpha) = \frac{b}{c} $$

$$ cos(\alpha) = \frac{4}{5} $$

$$tan(\alpha) = \frac{a}{b} $$

$$ tan(\alpha) = \frac{3}{4} $$

Retrouver un angle à partir d'une relation fondamentale

Pour faire apparaître un angle alors que l'on dispose uniquement d'une des trois relations (\(sin\), \(cos\) ou \(tan\)), on doit utiliser les fonctions trigonométriques réciproques : \(arcsin\), \(arccos\) ou \(arctan\) (notées aussi \(sin^{-1}\), \(cos^{-1}\) ou \(tan^{-1}\)).

Exemple :

En reprenant l'exemple précédent :

on avait trouvé les relations fondamentales suivantes sur \(\alpha\) :

$$ sin(\alpha) = \frac{3}{5} $$

$$ cos(\alpha) = \frac{4}{5} $$

$$ tan(\alpha) = \frac{3}{4} $$

Alors, leur applique respectivement leur fonction inverse pour en déduire la valeur de l'angle \(\alpha\) :

$$ \textcolor{#8E683D}{arcsin\Bigl(}sin(\alpha)\textcolor{#8E683D}{\Bigr)} = \textcolor{#8E683D}{arcsin\biggl(}\frac{3}{5}\textcolor{#8E683D}{\biggr)} $$

$$ \alpha \approx 0.64 \text{ rad}$$

$$ \textcolor{#58814B}{arccos\Bigl(}cos(\alpha)\textcolor{#58814B}{\Bigr)} = \textcolor{#58814B}{arccos\biggl(}\frac{4}{5}\textcolor{#58814B}{\biggr)} $$

$$ \alpha \approx 0.64 \text{ rad}$$

$$ \textcolor{#6F79AB}{arctan\Bigl(}tan(\alpha)\textcolor{#6F79AB}{\Bigr)} = \textcolor{#6F79AB}{arctan\biggl(}\frac{3}{4}\textcolor{#6F79AB}{\biggr)} $$

$$ \alpha \approx 0.64 \text{ rad}$$

Par défaut, les fonctions inverses renvoient une valeur en radians; il faut alors effectuer une conversion pour les transformer en degrés :

$$ \frac{360 \text{ °}}{2\pi} \approx \frac{\textcolor{#9F6A6A}{X} \text{ °}}{0.64} $$

$$ \textcolor{#9F6A6A}{X} \approx \frac{360 \times 0.64}{2\pi} $$

$$ \textcolor{#9F6A6A}{X} \approx 36.87 \text{ °} $$