La trigonométrie

Les trois relations trigonométriques fondamentales

Les règles de trigonométrie s'appliquent toujours dans un triangle rectangle .

Papier millimetre — un triangle rectangle avec un angle $\alpha$

Relativement à un angle $\alpha$, on a toujorus les trois relations suivantes :

$$\sin(\alpha) = \frac{\Bigl[\text{opposé}\Bigr]}{\Bigl[\text{hypoténuse}\Bigr]} $$

$$\cos(\alpha) = \frac{\Bigl[\text{adjacent}\Bigr]}{\Bigl[\text{hypoténuse}\Bigr]} $$

$$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\Bigl[\text{opposé}\Bigr]}{\Bigl[\text{adjacent}\Bigr]} $$

Astuce : On peut utiliser le moyen mnémotechnique : $SOH-CAH-TOA$.

Exemple :

Dans le triangle rectangle suivant :

et pour les valeurs suivantes :

$$ \Bigl \{ a = 3, \ b = 4, \ c = 5 \Bigr \}$$

On aura les relations suivantes pour l'angle $\alpha$ :

$$ \sin(\alpha) = \frac{a}{c} $$

$$ \sin(\alpha) = \frac{3}{5} $$

$$\cos(\alpha) = \frac{b}{c} $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{4}{5} $$

$$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} $$

$$ \tan(\alpha) = \frac{3}{4} $$

Retrouver un angle à partir d'une relation fondamentale

Pour faire apparaître un angle alors que l'on dispose uniquement d'une des trois relations ($\sin$, $\cos$ ou $\tan$), on doit utiliser les fonctions trigonométriques réciproques : $\operatorname{Arcsin}$, $\operatorname{Arccos}$ ou $\operatorname{Arctan}$ (notées aussi $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ ou $\tan^{-1}$).

Attention : ne pas confondre avec la notation $x^{-1}$ qui signifie $\frac{1}{x}$ (l'inverse de $x$).

Exemple :

En reprenant l'exemple précédent :

on avait trouvé les relations fondamentales suivantes sur $\alpha$ :

$$ \sin(\alpha) = \frac{3}{5} $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{4}{5} $$

$$ \tan(\alpha) = \frac{3}{4} $$

Alors, leur applique respectivement leur fonction inverse pour en déduire la valeur de l'angle $\alpha$ :

$$ \textcolor{rgb(213 140 57)}{\operatorname{Arcsin}\Bigl(}\sin(\alpha)\textcolor{rgb(213 140 57)}{\Bigr)} = \textcolor{rgb(213 140 57)}{\operatorname{Arcsin}\biggl(}\frac{3}{5}\textcolor{rgb(213 140 57)}{\biggr)} $$

$$ \alpha \approx 0.64 \text{ rad}$$

$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{\operatorname{Arccos}\Bigl(}\cos(\alpha)\textcolor{rgb(93 183 129)}{\Bigr)} = \textcolor{rgb(54 152 46)}{\operatorname{Arccos}\biggl(}\frac{4}{5}\textcolor{rgb(93 183 129)}{\biggr)} $$

$$ \alpha \approx 0.64 \text{ rad}$$

$$ \textcolor{rgb(58 85 210)}{\operatorname{Arctan}\Bigl(}\tan(\alpha)\textcolor{rgb(58 85 210)}{\Bigr)} = \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\operatorname{Arctan}\biggl(}\frac{3}{4}\textcolor{rgb(58 85 210)}{\biggr)} $$

$$ \alpha \approx 0.64 \text{ rad}$$

Par défaut, les fonctions inverses renvoient une valeur en radians ; il faut alors effectuer une conversion pour les transformer en degrés :

$$ \frac{360 \text{ °}}{2\pi} \approx \frac{\textcolor{rgb(232 124 124)}{X} \text{ °}}{0.64} $$

$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{X} \approx \frac{360 \times 0.64}{2\pi} $$

$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{X} \approx 36.87 \text{ °} $$