Problèmes sur la trigonométrie

Jamais deux sans trois

Dans un triangle rectangle, il suffit de connaître :

une longueur et un angle pour déterminer une autre longueur;
deux longueurs pour déterminer un angle.

Pour chacun des cas suivants, déterminer les valeurs des longueurs et angles inconnus.

Déterminer une longueur avec une longueur et un angle connus

À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la valeur de la longueur $\bigl[ BC \bigr]$

$$ \textcolor{ #8E683D}{ \Bigl \{ \bigl[AB\bigr] = 3, \ \widehat{C} = 30° \Bigr \} } $$

$$ sin(\widehat{C}) = \frac{\bigl[AB\bigr]}{\bigl[BC\bigr]} $$

$$ \bigl[BC\bigr] = \frac{\bigl[AB\bigr]}{sin(\widehat{C})} $$

$$ \bigl[BC\bigr] = 6 $$

À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la valeur de la longueur $c$

un triangle rectangle $ \bigl\{a, \ b, \ c \bigr\} $

$$ \textcolor{ #8E683D}{ \Bigl \{ a = 9, \ \beta = 45° \Bigr \} } $$

$$ cos(\beta) = \frac{c}{a} $$

$$ c = a \times cos(\beta) $$

$$ c \approx 6.36 $$

À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la valeur de la longueur $\bigl[ BC \bigr]$

$$ \textcolor{ #8E683D}{ \Bigl \{ \bigl[AC\bigr] = 4, \ \widehat{A} = 30° \Bigr \} } $$

$$ tan(\widehat{A}) = \frac{\bigl[BC\bigr]}{\bigl[AC\bigr]} $$

$$ \bigl[BC\bigr] = \bigl[AC\bigr] \times tan(\widehat{A}) $$

$$ \bigl[BC\bigr] \approx 2.31 $$

Déterminer un angle avec deux longueurs connues

À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la valeur de l'angle $\widehat{C}$

$$ \textcolor{ #8E683D}{ \Bigl \{ \bigl[BC\bigr] = 6, \ \bigl[AC\bigr] = 10 \Bigr \} } $$

$$ cos(\widehat{C}) = \frac{\bigl[BC\bigr]}{\bigl[AC\bigr]} $$

$$ \widehat{C} = arccos\left( \frac{\bigl[BC\bigr]}{\bigl[AC\bigr]} \right) $$

$$ \widehat{C} \approx 53.13° $$

À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la valeur de l'angle $\alpha$

$$ \textcolor{ #8E683D}{ \Bigl \{ a = 3, \ c = 5 \Bigr \} } $$

$$ sin(\alpha) = \frac{a}{c}$$

$$ \alpha = arcsin\left( \frac{a}{c} \right) $$

$$ \alpha = \approx 36.87° $$

À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la valeur de l'angle $\beta$

$$ \textcolor{ #8E683D}{ \Bigl \{ a = 5, \ b = 6 \Bigr \} } $$

$$ tan(\beta) = \frac{b}{a} $$

$$ \beta = arctan\left( \frac{b}{a} \right) $$

$$ \approx 50.19° $$

Calcul de dénivelé

Sur la route pour aller au ski, un panneau indique une pente à 10 % :

schéma d'un dénivelé

Et les valeurs suivantes :

$$ \left \{ \begin{gather*} L : \text{longueur} = 500 \text{ mètres} \\ h : \text{hauteur} \\ D : \text{dénivelé} \\ \alpha : \text{angle entre } D \text{ et } L \end{gather*} \right \} $$

À l'aide de la valeur de la pente, calculer la valeur de la hauteur $h$

$$ \text{pente} = 10 \% = \frac{h}{L} $$

$$ \Longleftrightarrow \frac{10}{100} = \frac{h}{500} $$

Soit avec un produit en croix :

$$ h = \frac{10 \times 500}{100} $$

$$ h = \frac{10 \times 5\cancel{00}}{1\cancel{00}} $$

$$ h = 50 \text{ mètres}$$

Écrire la seule relation trigonométrique possible sur l'angle $\alpha$, disposant uniquement de $L$ et de $h$

La seule relation trigonométrique possible est :

$$ tan(\alpha) = \frac{h}{L} $$

Déduire alors la valeur de l'angle $\alpha$ en degrés

$$ tan(\alpha) = \frac{h}{L} $$

$$ \textcolor{#6F79AB}{arctan\Bigl(}tan(\alpha)\textcolor{#6F79AB}{\Bigr)} = \textcolor{#6F79AB}{arctan\biggl(}\frac{h}{L}\textcolor{#6F79AB}{\biggr)} $$

$$ \alpha = arctan\biggr(\frac{5\cancel{0}}{50\cancel{00}}\biggr) $$

$$ \alpha = arctan\biggr(\frac{\cancel{5} \times 1}{\cancel{5} \times 10}\biggr) $$

$$ \alpha \approx 0.1 \text{ radians} $$

Soit :

$$ \frac{360 \ \bigl[\text{degrés}\bigr]}{2\pi \ \bigl[\text{radians}\bigr]} \approx \frac{\textcolor{#8A5757}{X} \ \bigl[\text{degrés}\bigr]}{0.1 \ \bigl[\text{radians}\bigr]} $$

$$ \textcolor{#8A5757}{X} \approx \frac{360 \times 0.1}{2\pi} $$

$$ \alpha \approx 5.71 \text{ degrés} $$

Disposant maintenant de l'angle $\alpha$, calculer par la relation de votre choix la valeur du dénivelé $D$

$$ sin(\alpha) = \frac{h}{D} $$

$$ D = \frac{h}{sin(\alpha)} $$

$$ D \approx 502.49 \text{ mètres} $$

$$ cos(\alpha) = \frac{L}{D}$$

$$ D = \frac{L}{cos(\alpha)}$$

$$ D \approx 502.49 \text{ mètres} $$

En appliquant le théorème de Pythagore, retrouver la valeur du dénivelé $D$ trouvée précédemment

Comme nous sommes dans un triangle rectangle, on peut appliquer le théorème de Pythagore :

$$ L^2 + h^2 = D^2 $$

$$ 500^2 + 50^2 = D^2 $$

$$ 252 \ 500 = D^2 $$

$$ D = \sqrt{252 \ 500} $$

$$ D \approx 502.5 \text{ mètres}$$