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Problèmes sur la trigonométrie

Jamais deux sans trois

Dans un triangle rectangle, il suffit de connaître :

Pour chacun des cas suivants, déterminer les valeurs des longueurs et angles inconnus.

  1. Déterminer une longueur avec une longueur et un angle connus

    1. À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la valeur de la longueur \(\bigl[ BC \bigr]\)

      Jamais deux sans trois longueur et angle 1
      un triangle rectangle \(ABC\)
      $$ \textcolor{ rgb(213 140 57)}{ \Bigl \{ \bigl[AB\bigr] = 3, \ \widehat{C} = 30° \Bigr \} } $$
      $$ \sin(\widehat{C}) = \frac{\bigl[AB\bigr]}{\bigl[BC\bigr]} $$
      $$ \bigl[BC\bigr] = \frac{\bigl[AB\bigr]}{\sin(\widehat{C})} $$
      $$ \bigl[BC\bigr] = 6 $$

    2. À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la valeur de la longueur \(c\)

      Jamais deux sans trois longueur et angle 2
      un triangle rectangle \( \bigl\{a, \ b, \ c \bigr\} \)
      $$ \textcolor{ rgb(213 140 57)}{ \Bigl \{ a = 9, \ \beta = 45° \Bigr \} } $$
      $$ \cos(\beta) = \frac{c}{a} $$
      $$ c = a \times \cos(\beta) $$
      $$ c \approx 6.36 $$

    3. À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la valeur de la longueur \(\bigl[ BC \bigr]\)

      Jamais deux sans trois longueur et angle 3
      un triangle rectangle \(ABC\)
      $$ \textcolor{ rgb(213 140 57)}{ \Bigl \{ \bigl[AC\bigr] = 4, \ \widehat{A} = 30° \Bigr \} } $$
      $$ \tan(\widehat{A}) = \frac{\bigl[BC\bigr]}{\bigl[AC\bigr]} $$
      $$ \bigl[BC\bigr] = \bigl[AC\bigr] \times \tan(\widehat{A}) $$
      $$ \bigl[BC\bigr] \approx 2.31 $$

  2. Déterminer un angle avec deux longueurs connues

    1. À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la valeur de l'angle \(\widehat{C}\)

      Jamais deux sans trois deux longueurs 1
      un triangle rectangle \(ABC\)
      $$ \textcolor{ rgb(213 140 57)}{ \Bigl \{ \bigl[BC\bigr] = 6, \ \bigl[AC\bigr] = 10 \Bigr \} } $$
      $$ \cos(\widehat{C}) = \frac{\bigl[BC\bigr]}{\bigl[AC\bigr]} $$
      $$ \widehat{C} = \operatorname{Arccos}\left( \frac{\bigl[BC\bigr]}{\bigl[AC\bigr]} \right) $$
      $$ \widehat{C} \approx 53.13° $$

    2. À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la valeur de l'angle \(\alpha\)

      Jamais deux sans trois deux longueurs 2
      un triangle rectangle \( \bigl\{a, \ b, \ c \bigr\} \)
      $$ \textcolor{ rgb(213 140 57)}{ \Bigl \{ a = 3, \ c = 5 \Bigr \} } $$
      $$ \sin(\alpha) = \frac{a}{c}$$
      $$ \alpha = \operatorname{Arcsin}\left( \frac{a}{c} \right) $$
      $$ \alpha = \approx 36.87° $$

    3. À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la valeur de l'angle \(\beta\)

      Jamais deux sans trois deux longueurs 3
      un triangle rectangle \( \bigl\{a, \ b, \ c \bigr\} \)
      $$ \textcolor{ rgb(213 140 57)}{ \Bigl \{ a = 5, \ b = 6 \Bigr \} } $$
      $$ \tan(\beta) = \frac{b}{a} $$
      $$ \beta = \operatorname{Arctan}\left( \frac{b}{a} \right) $$
      $$ \approx 50.19° $$

Calcul de dénivelé

Sur la route pour aller au ski, un panneau indique une pente à 10 % :

Denivele
schéma d'un dénivelé

Et les valeurs suivantes :

$$ \left \{ \begin{gather*} L : \text{longueur} = 500 \text{ mètres} \\ h : \text{hauteur} \\ D : \text{dénivelé} \\ \alpha : \text{angle entre } D \text{ et } L \end{gather*} \right \} $$

  1. À l'aide de la valeur de la pente, calculer la valeur de la hauteur \(h\)

    $$ \text{pente} = 10 \% = \frac{h}{L} $$
    $$ \Longleftrightarrow \frac{10}{100} = \frac{h}{500} $$

    Soit avec un produit en croix :

    $$ h = \frac{10 \times 500}{100} $$
    $$ h = \frac{10 \times 5\cancel{00}}{1\cancel{00}} $$
    $$ h = 50 \text{ mètres}$$

  2. Écrire la seule relation trigonométrique possible sur l'angle \(\alpha\), disposant uniquement de \(L\) et de \(h\)

    La seule relation trigonométrique possible est :

    $$ \tan(\alpha) = \frac{h}{L} $$

  3. Déduire alors la valeur de l'angle \(\alpha\) en degrés

    $$ \tan(\alpha) = \frac{h}{L} $$
    $$ \textcolor{rgb(58 85 210)}{\operatorname{Arctan}\Bigl(}\tan(\alpha)\textcolor{rgb(58 85 210)}{\Bigr)} = \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\operatorname{Arctan}\biggl(}\frac{h}{L}\textcolor{rgb(58 85 210)}{\biggr)} $$
    $$ \alpha = \operatorname{Arctan}\biggr(\frac{5\cancel{0}}{50\cancel{00}}\biggr) $$
    $$ \alpha = \operatorname{Arctan}\biggr(\frac{\cancel{5} \times 1}{\cancel{5} \times 10}\biggr) $$
    $$ \alpha \approx 0.1 \text{ radians} $$

    Soit :

    $$ \frac{360 \ \bigl[\text{degrés}\bigr]}{2\pi \ \bigl[\text{radians}\bigr]} \approx \frac{\textcolor{rgb(232 124 124)}{X} \ \bigl[\text{degrés}\bigr]}{0.1 \ \bigl[\text{radians}\bigr]} $$
    $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{X} \approx \frac{360 \times 0.1}{2\pi} $$
    $$ \alpha \approx 5.71 \text{ degrés} $$

  4. Disposant maintenant de l'angle \(\alpha\), calculer par la relation de votre choix la valeur du dénivelé \(D\)

    $$ \sin(\alpha) = \frac{h}{D} $$
    $$ D = \frac{h}{\sin(\alpha)} $$
    $$ D \approx 502.49 \text{ mètres} $$
    $$ \cos(\alpha) = \frac{L}{D}$$
    $$ D = \frac{L}{\cos(\alpha)}$$
    $$ D \approx 502.49 \text{ mètres} $$

  5. En appliquant le théorème de Pythagore, retrouver la valeur du dénivelé \(D\) trouvée précédemment

    Comme nous sommes dans un triangle rectangle, on peut appliquer le théorème de Pythagore :

    $$ L^2 + h^2 = D^2 $$
    $$ 500^2 + 50^2 = D^2 $$
    $$ 252 \ 500 = D^2 $$
    $$ D = \sqrt{252 \ 500} $$
    $$ D \approx 502.5 \text{ mètres}$$