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Calculs de moyennes et indicateurs de positionnement

Pourcentages

Calcul d'une évolution

À noter que dans le cas d'une diminution, le contexte va dépendre de la forme que prendre la taux :

• soit le taux est négatif
• soit le taux est positif mais on précise explicitement que c'est une diminution

Taux d'évolution

Moyennes

Dans cette partie, on distinguera deux manières d'écrire le nombre d'éléments d'une donnée statistique :

• avec un élément par donnée, on appellera \(n\) la somme des éléments
• avec la prise en compte d'un effectif (plusieurs éléments pour une donnée statistique), la somme des effectifs sera notée \(N\) :
$$ N=e_1 + e_2 + e_3 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \dots \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} e_n $$

Avec une série de données ordinaire :

On calcule différents types de moyenne.

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique est celle que l'on calcule généralement dans les bulletins de notes :

1. Calcul simple
$$ M_A = \frac{x_1 + x_2 + x_3 \ + \ \dots + \ \ x_n}{n} $$
$$ (\text{où } n \text{ est le nombre de données}) $$
2. Calcul avec la prise en compte d'effectifs
$$ M_A = \frac{e_1x_1 + e_2x_2 + e_3x_3 \ + \ \dots + \ \ e_nx_n}{N} $$
$$ (\text{où } N \text{ est l'effectif total}) $$
$$ N=e_1 + e_2 + e_3 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \dots \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} e_n $$

Indicateurs de positionnement : \( (Q_1, M, Q_3)\)

Avant de chercher la médiane \((M)\) et les quartiles \((Q_1, Q_3)\), il faut dans un premier temps ranger les données en ordre croissant (ou par ordre alphabétique), en laissant les répétitions éventuelles.

Médiane \( : M\)

Dans les faits, c'est la valeur du \(\frac{n}{2}\)-ième individu.

Exemples :




• Si \(n\) est impair :

$$ X = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
$$ (n = 7) \Longrightarrow \frac{n}{2} = 3.5 $$

On doit prendre la 4^ème valeur :

$$ X = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ \textcolor{#9F6A6A}{11}, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
$$ \textcolor{#9F6A6A}{M = 11} $$

• Si \(n\) est pair :

$$ X = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16, \ 16 \Bigr \} $$
$$ (n = 8) \Longrightarrow \frac{n}{2} = 4 $$

On doit prendre la moyenne des 4^ème et 5^ème valeurs :

$$ X = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ \textcolor{#9F6A6A}{11, \ 12}, \ 14, \ 16, \ 16 \Bigr \} $$
$$ \textcolor{#9F6A6A}{M = \frac{11 + 12}{2}} $$
$$ \textcolor{#9F6A6A}{M = 11.5} $$

Quartiles : \((Q_1,Q_3)\)

1. 1 ^er quartile : \(Q_1\)

Dans les faits, c'est la valeur du \(\frac{n}{4}\)-ième individu.

Peut importe le résultat, dans tous les cas on arrondit à la valeur supérieure.




Exemple :

$$ X = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
$$ (n = 7) \Longrightarrow \frac{n}{4} = 1.75 $$

On doit prendre la 2^ème valeur :

$$ X = \Bigl \{ 10, \ \textcolor{#9F6A6A}{10}, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
$$ \textcolor{#9F6A6A}{Q_1 = 10} $$
2. 3^ème quartile : \(Q_3\)

Dans les faits, c'est la valeur du \(\frac{3n}{4}\)-ième individu.

De la même manière, arrondit à la valeur supérieure.




Exemple :

$$ X = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
$$ (n = 7) \Longrightarrow \frac{3n}{4} = 5.25 $$

On doit prendre la 6^ème valeur :

$$ X = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ \textcolor{#9F6A6A}{14}, \ 16 \Bigr \} $$
$$ \textcolor{#9F6A6A}{Q_3 = 14} $$
3. Écart inter-quartile : \(Q_3 - Q_1\)

L'écart inter-quartile est un indicateur de dispersion. On le calcule par la différence des quartiles :

$$ \Delta Q = Q_3 - Q_1 $$