Les équations du premier degré en troisième

Traduire un énoncé par une égalité, puis la résoudre pas à pas en gardant l'équilibre des deux membres.

Vérifier qu'un nombre est solution d'une équation
Résoudre une équation en faisant la même opération sur les deux membres
Résoudre une équation contenant des parenthèses
Résoudre une équation produit nul
Mettre un problème en équation et répondre dans son contexte

Trois amis partagent une note de restaurant de $78 \ \text{€}$. L'un d'eux paie $6 \ \text{€}$ de plus que chacun des deux autres.

$$ x + x + (x + 6) = 78 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} x = 24 $$

La question tient en trois lignes de récit, et sa traduction en une seule ligne de calcul.

Mettre en équation, c'est écrire en une ligne ce que l'énoncé raconte en trois : le reste est de la technique.

Une équation pose une question : pour quelle valeur de l'inconnue l'égalité est-elle vraie ? La résoudre, c'est trouver toutes ces valeurs - et savoir qu'on les a toutes.

Ce qu'est une équation

Équation, solution

Une équation est une égalité contenant une inconnue. Une solution est une valeur qui rend l'égalité vraie.

Exemple :

$5$ est solution de $3x - 7 = 8$, car $3 \times 5 - 7 = 8$.

Vérifier qu'un nombre est solution est toujours possible et toujours rapide : on remplace, et on regarde. C'est le contrôle à faire à la fin de tout exercice.

Les deux règles

Une équation reste vraie si l'on fait la même chose des deux côtés du signe égal.

$$ \text{on peut ajouter ou retrancher le même nombre aux deux membres} $$

$$ \text{on peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul} $$

C'est l'image de la balance : elle reste en équilibre si l'on pose ou retire la même masse des deux côtés.

Résoudre pas à pas

Exemple :

$$ 5x - 3 = 2x + 12 $$

rassembler les $x$ d'un côté : on retranche $2x$ aux deux membres

$$ 3x - 3 = 12 $$

rassembler les nombres de l'autre : on ajoute $3$

$$ 3x = 15 $$

isoler $x$ : on divise par $3$

$$ x = 5 $$

Vérification : $5 \times 5 - 3 = 22$ et $2 \times 5 + 12 = 22$. C'est bien la solution.

Avec des parenthèses

On développe d'abord, puis on résout comme précédemment.

$$ 4(x - 2) = 3(x + 1) $$

$$ 4x - 8 = 3x + 3 $$

$$ x = 11 $$

Le signe qui précède une parenthèse s'applique à tout ce qu'elle contient : $-3(x + 1)$ donne $-3x - 3$, et non $-3x + 3$. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

L'équation produit nul

Produit nul

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

$$ A \times B = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad A = 0 \ \text{ou} \ B = 0 $$

Exemple :

$$ (2x - 6)(x + 4) = 0 $$

L'un des deux facteurs est nul :

$$ 2x - 6 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 4 = 0 $$

$$ x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -4 $$

Cette règle n'a pas d'équivalent pour une somme : de $A + B = 0$, on ne peut rien conclure sur $A$ ni sur $B$ séparément. C'est le zéro, et lui seul, qui rend le produit si commode.

Mettre un problème en équation

nommer l'inconnue, et dire ce qu'elle représente
traduire l'énoncé par une égalité
résoudre
répondre à la question posée, en revenant au contexte

Exemple :

Un père a $38$ ans, son fils $8$ ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le triple de celui du fils ?

$$ 38 + x = 3(8 + x) $$

$$ 38 + x = 24 + 3x \quad \Longleftrightarrow \quad 14 = 2x $$

$$ x = 7 \ \text{ans} $$

Vérification : dans $7$ ans, le père aura $45$ ans et le fils $15$ - et $45 = 3 \times 15$.