Problèmes sur les équations du premier degré

L'âge de Margot

Dans une famille, Margot est la cadette et Aelik est l'aîné. Aujourd'hui, Aelik a \(30\) ans. Il y a \(15\) ans, il avait trois fois l'âge que Margot a maintenant.

1. On note \(M\) l'âge actuel de Margot. Traduire l'énoncé par une équation d'inconnue \(M\).

   Il y a \(15\) ans, Aelik avait \(30 - 15\) ans, et c'est trois fois l'âge actuel de Margot :

   $$ 3M = 30 - 15 $$
2. Résoudre cette équation, et donner l'âge de Margot.
   $$ 3M = 15 $$

   $$ \frac{3M}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{3}} = \frac{15}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{3}} $$

   $$ M = 5 \ \text{ans} $$

   En vert, ce par quoi on divise les deux membres à la fois. Vérification : il y a \(15\) ans, Aelik avait \(15\) ans, soit \(3 \times 5\).

Les indemnités kilométriques

Un salarié du bâtiment saisit les kilomètres parcourus dans la semaine, que sa société lui rembourse à \(0.40 \ \text{€}\) par kilomètre.

1. Remplir le tableau suivant.

   	Distance (en km)	Indemnité (en euros)
   Lundi	143
   Mardi	85
   Mercredi	112
   Jeudi	44
   Vendredi	62
   Total

   	Distance (en km)	Indemnité (en euros)
   Lundi	143	57.20
   Mardi	85	34
   Mercredi	112	44.80
   Jeudi	44	17.60
   Vendredi	62	24.80
   Total	446	178.40

2. L'indemnisation comprend aussi une part fixe de \(200 \ \text{€}\) par semaine. Calculer l'indemnisation totale de cette semaine.
   $$ I = 178.40 + 200 $$

   $$ I = 378.40 \ \text{€} $$
3. Exprimer l'indemnisation totale \(I(d)\) d'une semaine en fonction de la distance \(d\) parcourue, en kilomètres.

   Chaque kilomètre rapporte \(0.40 \ \text{€}\), auxquels s'ajoute la part fixe :

   $$ I(d) = 0.40 \times d + 200 $$
4. Un collègue a reçu \(424 \ \text{€}\) d'indemnisation pour sa semaine. Retrouver son kilométrage à l'aide d'une équation.
   $$ 0.40 \times d \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 200} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 424 $$

   $$ 0.40 \times d = 424 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 200} $$

   $$ 0.40 \times d = 224 $$

   $$ \frac{0.40 \times d}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.40}} = \frac{224}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.40}} $$

   $$ d = 560 \ \text{km} $$

   Un terme qui change de membre change de signe. Vérification : \(0.40 \times 560 + 200 = 224 + 200 = 424\).

Les abonnements à la salle de sport

Une salle de sport propose deux tarifs :

• un abonnement à \(50 \ \text{€}\) par mois, et chaque séance à \(5 \ \text{€}\) ;
• pas d'abonnement, mais chaque séance à \(12 \ \text{€}\).

William et Julie testent cette salle chacun de leur côté. William, qui n'est pas sûr de venir souvent, paie les séances à l'unité ; Julie prend directement l'abonnement.

1. Les deux amis ont fait \(4\) séances le premier mois, \(6\) le mois suivant et \(10\) le mois d'après. Remplir le tableau des prix qu'ils ont payés, puis dire ce que l'on remarque le troisième mois.

   Mois	Nombre de séances	Prix (en euros)
   		William	Julie
   Mois 1	4 séances
   Mois 2	6 séances
   Mois 3	10 séances

   Mois	Nombre de séances	Prix (en euros)
   		William	Julie
   Mois 1	4 séances	48	70
   Mois 2	6 séances	72	80
   Mois 3	10 séances	120	100

   Le troisième mois, William a payé plus cher que Julie, alors qu'il avait payé moins cher les deux mois précédents.

2. On note \(n\) le nombre de séances d'un mois. Exprimer, en fonction de \(n\), le prix \(P_1(n)\) payé avec l'abonnement et le prix \(P_2(n)\) payé sans abonnement.
   $$ P_1(n) = 50 + 5n \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} P_2(n) = 12n $$
3. Résoudre l'équation \(P_1(n) = P_2(n)\). Existe-t-il un nombre de séances pour lequel les deux tarifs coûtent exactement le même prix ?
   $$ 50 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 5n} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 12n $$

   $$ 50 = 12n \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 5n} $$

   $$ 50 = 7n $$

   $$ \frac{50}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{7}} = \frac{7n}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{7}} $$

   $$ n = \frac{50}{7} \approx 7.14 $$

   Un nombre de séances est un nombre entier : aucun ne donne exactement le même prix. Le tarif le plus avantageux change entre \(7\) et \(8\) séances.

4. Comparer les deux tarifs pour \(7\) puis pour \(8\) séances dans le tableau suivant, et conclure : à partir de combien de séances l'abonnement est-il le plus avantageux ?

   Nombre de séances	Prix (en euros)
   	William	Julie
   7 séances
   8 séances

   Nombre de séances	Prix (en euros)
   	William	Julie
   7 séances	84	85
   8 séances	96	90

   À \(7\) séances, l'abonnement coûte encore \(1 \ \text{€}\) de plus ; à \(8\), il coûte \(6 \ \text{€}\) de moins. Au-delà, chaque séance supplémentaire coûte \(5 \ \text{€}\) avec l'abonnement contre \(12 \ \text{€}\) sans : l'écart ne fait que grandir.

   $$ \text{l'abonnement est plus avantageux à partir de } 8 \text{ séances} $$

L'âge du capitaine

Un capitaine a \(4\) ans de plus que son matelot, et \(15\) ans de plus que son mousse. À eux deux, le matelot et le mousse ont \(41\) ans.

1. On note \(C\) l'âge du capitaine. Exprimer en fonction de \(C\) l'âge du matelot, puis celui du mousse.
   $$ \text{matelot} : C - 4 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{mousse} : C - 15 $$
2. Mettre le problème en équation, puis résoudre cette équation.

   La somme des âges du matelot et du mousse vaut \(41\) :

   $$ (C - 4) + (C - 15) = 41 $$

   $$ 2C \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 19} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 41 $$

   $$ 2C = 41 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 19} $$

   $$ 2C = 60 $$

   $$ \frac{2C}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} = \frac{60}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} $$

   $$ C = 30 $$
3. Donner l'âge de chacun des trois marins, et vérifier qu'ils respectent l'énoncé.
   $$ \text{capitaine} : 30 \ \text{ans} \quad \text{matelot} : 26 \ \text{ans} \quad \text{mousse} : 15 \ \text{ans} $$

   Vérification : \(30 - 26 = 4\), \(30 - 15 = 15\) et \(26 + 15 = 41\).

Trouver l'erreur d'une résolution

Tom a résolu l'équation \(11 - 2(x - 3) = 3x + 2\). Voici sa copie :

1. Sans refaire la résolution, vérifier si \(0.6\) est solution de l'équation de départ.

   On remplace \(x\) par \(0.6\) dans chacun des deux membres :

   $$ 11 - 2 \times (0.6 - 3) = 11 - 2 \times (- 2.4) = 11 + 4.8 = 15.8 $$

   $$ 3 \times 0.6 + 2 = 1.8 + 2 = 3.8 $$

   Les deux membres ne sont pas égaux :

   $$ 0.6 \text{ n'est pas solution} $$
2. Trouver la ligne où Tom s'est trompé, et expliquer son erreur.

   L'erreur est dans la première ligne. Le signe \(-\) qui précède la parenthèse s'applique à tout ce qu'elle contient : \(- 2 \times (- 3) = + 6\), et non \(- 6\).

   $$ 11 - 2(x - 3) = 11 - 2x + 6 $$
3. Résoudre correctement l'équation de Tom, puis vérifier la solution trouvée.
   $$ 11 - 2x + 6 = 3x + 2 $$

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{17} - 2x \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{3x} + 2 $$

   $$ - 2x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 3x} = 2 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 17} $$

   $$ - 5x = - 15 $$

   $$ \frac{- 5x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 5}} = \frac{- 15}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 5}} $$

   $$ x = 3 $$

   Vérification : \(11 - 2 \times (3 - 3) = 11\) et \(3 \times 3 + 2 = 11\).

Partager un rectangle

\(ABCD\) est un rectangle tel que \(AB = 12 \ \text{cm}\) et \(AD = 8 \ \text{cm}\). Le point \(M\) est placé sur le segment \(\bigl[AB\bigr]\), et l'on note \(x\) la longueur \(AM\), en centimètres. Le segment \(\bigl[MC\bigr]\) partage le rectangle en un triangle \(MBC\), en bleu, et un trapèze \(AMCD\), en vert.

1. Montrer que l'aire du triangle \(MBC\) vaut \(48 - 4x\), en \(\text{cm}^2\).

   Le triangle \(MBC\) est rectangle en \(B\), avec \(MB = 12 - x\) et \(BC = 8\) :

   $$ \frac{(12 - x) \times 8}{2} = 4 \times (12 - x) $$

   $$ \mathcal{A}_{MBC} = 48 - 4x $$
2. En déduire l'aire du trapèze \(AMCD\) en fonction de \(x\).

   Le trapèze, c'est le rectangle, d'aire \(12 \times 8 = 96\), privé du triangle :

   $$ 96 - (48 - 4x) = 96 - 48 + 4x $$

   $$ \mathcal{A}_{AMCD} = 48 + 4x $$
3. Où placer le point \(M\) pour que l'aire de ce même trapèze soit le double de celle du triangle ?
   $$ 48 + 4x = 2(48 - 4x) $$

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{48} + 4x \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} 96 \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 8x} $$

   $$ 4x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{+ 8x} = 96 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 48} $$

   $$ 12x = 48 $$

   $$ \frac{12x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{12}} = \frac{48}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{12}} $$

   $$ x = 4 \ \text{cm} $$

   Vérification : le triangle a pour aire \(48 - 16 = 32\) et le trapèze \(48 + 16 = 64\), qui est bien le double.

4. Noé affirme qu'on peut placer \(M\) pour que le triangle et le trapèze aient la même aire. Trancher, en justifiant.
   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{48} + 4x \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} 48 \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 4x} $$

   $$ 4x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{+ 4x} = 48 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 48} $$

   $$ 8x = 0 $$

   $$ x = 0 $$

   La seule solution place \(M\) en \(A\). Le segment \(\bigl[MC\bigr]\) devient alors la diagonale \(\bigl[AC\bigr]\), qui partage le rectangle en deux triangles de \(48 \ \text{cm}^2\) : il n'y a plus de trapèze. Noé a donc tort : tant que \(AMCD\) est un vrai trapèze, le triangle a une aire plus petite.

Les piles de gobelets

Au self du collège, deux modèles de gobelets s'empilent. Chaque gobelet posé sur une pile la fait monter d'une même hauteur, qui dépend du modèle.

1. Calculer la hauteur qu'ajoute chaque grand gobelet posé sur une pile, puis chaque petit. Exprimer la hauteur \(G(n)\), en centimètres, d'une pile de \(n\) grands gobelets, et la hauteur \(P(m)\) d'une pile de \(m\) petits gobelets.

   Les \(4\) grands gobelets posés sur le premier ajoutent \(18 - 12 = 6 \ \text{cm}\) ; les \(3\) petits posés sur le premier ajoutent \(13 - 7 = 6 \ \text{cm}\) :

   $$ 6 \div 4 = 1.5 \ \text{cm} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 6 \div 3 = 2 \ \text{cm} $$

   Une pile de \(n\) grands gobelets compte le premier, puis \(n - 1\) gobelets posés dessus :

   $$ G(n) = 12 + 1.5(n - 1) = 12 + 1.5n - 1.5 $$

   $$ P(m) = 7 + 2(m - 1) = 7 + 2m - 2 $$

   $$ G(n) = 1.5n + 10.5 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} P(m) = 2m + 5 $$

   Vérification sur la figure : \(G(5) = 7.5 + 10.5 = 18\) et \(P(4) = 8 + 5 = 13\).

2. Deux piles comptent autant de gobelets l'une que l'autre, et ont la même hauteur. Trouver ce nombre de gobelets et cette hauteur.

   On résout l'équation \(G(n) = P(n)\) :

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{1.5n} + 10.5 \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} 2n \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{+ 5} $$

   $$ 10.5 \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 5} = 2n \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 1.5n} $$

   $$ 5.5 = 0.5n $$

   $$ \frac{5.5}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.5}} = \frac{0.5n}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.5}} $$

   $$ n = 11 $$

   Et \(G(11) = 16.5 + 10.5 = 27\), comme \(P(11) = 22 + 5 = 27\).

   $$ 11 \ \text{gobelets} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 27 \ \text{cm} $$
3. On change de jeu : Zoé et Tom partent de rien. À chaque tour, Zoé pose \(4\) grands gobelets sur sa pile, et Tom \(3\) petits gobelets sur la sienne. Zoé affirme : « À un moment, nos deux piles auront la même hauteur. » Trancher, et expliquer ce que montre le calcul.

   Après \(n\) tours, Zoé a empilé \(4n\) grands gobelets, et Tom \(3n\) petits :

   $$ G(4n) = 1.5 \times 4n + 10.5 = 6n + 10.5 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} P(3n) = 2 \times 3n + 5 = 6n + 5 $$

   L'équation \(G(4n) = P(3n)\) s'écrit :

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{6n} + 10.5 \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} 6n \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{+ 5} $$

   $$ 10.5 \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 5} = 6n \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 6n} $$

   $$ 5.5 = 0 $$

   Cette égalité est fausse quel que soit \(n\) : l'équation n'a pas de solution.

   $$ \text{Zoé a tort} $$

   À chaque tour, les deux piles montent de \(6 \ \text{cm}\) : \(4 \times 1.5\) pour Zoé, \(3 \times 2\) pour Tom. L'écart ne change donc jamais, et la pile de Zoé reste toujours plus haute de \(5.5 \ \text{cm}\).

4. Trouver toutes les piles de \(n\) grands gobelets et de \(m\) petits gobelets qui ont la même hauteur, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre. On pourra montrer que \(4m = 3n + 11\), puis compléter le tableau.

   \(n\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
   \(3n + 11\)	\(14\)	\(17\)
   reste dans la division par \(4\)	\(2\)	\(1\)

   Les deux piles ont la même hauteur quand \(G(n) = P(m)\) :

   $$ (1.5n + 10.5) \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ 2} = (2m + 5) \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ 2} $$

   $$ 3n + 21 \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{=} 4m \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{+ 10} $$

   $$ 3n + 21 \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 10} = 4m $$

   $$ 3n + 11 = 4m $$

   Il faut donc que \(3n + 11\) soit un multiple de \(4\), et alors \(m = (3n + 11) \div 4\).

   \(n\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
   \(3n + 11\)	\(14\)	\(17\)	\(20\)	\(23\)	\(26\)	\(29\)	\(32\)	\(35\)
   reste dans la division par \(4\)	\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(3\)	\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(3\)

   Les restes se répètent de \(4\) en \(4\). Pour le prouver, on écrit \(n = 4k + r\), avec \(k\) entier positif ou nul et \(r\) égal à \(1\), \(2\), \(3\) ou \(4\) :

   $$ 3n + 11 = 12k + 3r + 11 = 4 \times 3k + (3r + 11) $$

   Comme \(4 \times 3k\) est un multiple de \(4\), \(3n + 11\) en est un si et seulement si \(3r + 11\) en est un. Or \(3r + 11\) vaut \(14\), \(17\), \(20\) ou \(23\) : seul \(r = 3\) convient. Donc \(n = 4k + 3\), et \(m = (12k + 9 + 11) \div 4 = 3k + 5\).

   Réciproquement, pour tout entier \(k\) positif ou nul :

   $$ G(4k + 3) = 6k + 4.5 + 10.5 = 6k + 15 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} P(3k + 5) = 6k + 10 + 5 = 6k + 15 $$

   L'équation \(G(4k + 3) = P(3k + 5)\) est vraie quel que soit \(k\) : elle a une infinité de solutions.

   $$ n = 4k + 3 \quad \text{et} \quad m = 3k + 5 \hspace{2em} (k = 0 \ ; \ 1 \ ; \ 2 \ ; \ \dots) $$

   Ce sont \(3\) grands et \(5\) petits gobelets (\(15 \ \text{cm}\)), \(7\) et \(8\) (\(21 \ \text{cm}\)), \(11\) et \(11\) (\(27 \ \text{cm}\), la question 2), \(15\) et \(14\) (\(33 \ \text{cm}\)), et ainsi de suite. On passe d'une solution à la suivante en ajoutant \(4\) grands et \(3\) petits gobelets, qui montent tous deux de \(6 \ \text{cm}\) : c'est le jeu de Zoé et Tom, mais à partir de deux piles de même hauteur.

Le testament

Un père partage sa fortune entre ses enfants, de l'aîné au plus jeune. L'aîné prend \(1 \ 000 \ \text{€}\), puis le dixième de ce qui reste. Le deuxième prend alors \(2 \ 000 \ \text{€}\), puis le dixième de ce qui reste. Le troisième prend \(3 \ 000 \ \text{€}\), puis le dixième de ce qui reste, et ainsi de suite.

1. Le père possède \(50 \ 000 \ \text{€}\). Compléter le tableau pour les deux premiers enfants. Leurs parts sont-elles égales ?

   Enfant	Somme avant son tour (en euros)	Part reçue (en euros)	Reste après son tour (en euros)
   Aîné	\(50 \ 000\)
   Deuxième

   L'aîné prend \(1 \ 000\), puis le dixième des \(49 \ 000\) qui restent ; le deuxième prend \(2 \ 000\), puis le dixième des \(42 \ 100\) qui restent :

   $$ 1 \ 000 + \frac{50 \ 000 - 1 \ 000}{10} = 1 \ 000 + 4 \ 900 = 5 \ 900 $$

   $$ 2 \ 000 + \frac{44 \ 100 - 2 \ 000}{10} = 2 \ 000 + 4 \ 210 = 6 \ 210 $$

   Enfant	Somme avant son tour (en euros)	Part reçue (en euros)	Reste après son tour (en euros)
   Aîné	\(50 \ 000\)	\(5 \ 900\)	\(44 \ 100\)
   Deuxième	\(44 \ 100\)	\(6 \ 210\)	\(37 \ 890\)

   $$ 5 \ 900 \ \text{€} \neq 6 \ 210 \ \text{€} $$

   Les parts ne sont pas égales : le deuxième reçoit \(310 \ \text{€}\) de plus que l'aîné.

2. On note \(F\) la fortune du père, en euros. Exprimer en fonction de \(F\) la part \(A\) de l'aîné, puis la somme \(R\) qui reste après son tour.

   L'aîné prend \(1 \ 000\), puis le dixième de \(F - 1 \ 000\) :

   $$ A = 1 \ 000 + \frac{F - 1 \ 000}{10} = 1 \ 000 + 0.1F - 100 $$

   $$ R = F - (0.1F + 900) = F - 0.1F - 900 $$

   $$ A = 0.1F + 900 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} R = 0.9F - 900 $$

   Vérification : pour \(F = 50 \ 000\), on retrouve \(A = 5 \ 900\) et \(R = 44 \ 100\), comme à la question 1.

3. Exprimer de même la part \(D\) du deuxième enfant. Pour quelle fortune les deux premiers enfants reçoivent-ils la même part ? Donner cette part.

   Le deuxième prend \(2 \ 000\) sur la somme \(R\), puis le dixième de \(R - 2 \ 000\) :

   $$ D = 2 \ 000 + \frac{0.9F - 900 - 2 \ 000}{10} = 2 \ 000 + 0.09F - 290 $$

   $$ D = 0.09F + 1 \ 710 $$

   On résout l'équation \(A = D\) :

   $$ 0.1F \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 900} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{0.09F} + 1 \ 710 $$

   $$ 0.1F \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 0.09F} = 1 \ 710 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 900} $$

   $$ 0.01F = 810 $$

   $$ \frac{0.01F}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.01}} = \frac{810}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.01}} $$

   $$ F = 81 \ 000 $$

   La part de chacun des deux premiers enfants vaut alors :

   $$ A = 0.1 \times 81 \ 000 + 900 = 9 \ 000 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} D = 0.09 \times 81 \ 000 + 1 \ 710 = 9 \ 000 $$

   $$ F = 81 \ 000 \ \text{€} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} A = D = 9 \ 000 \ \text{€} $$
4. Le père possède en fait \(81 \ 000 \ \text{€}\). Un enfant arrive à son tour quand ses \(k\) aînés ont déjà reçu \(9 \ 000 \ \text{€}\) chacun. Compléter le tableau, puis prouver que cet enfant reçoit lui aussi \(9 \ 000 \ \text{€}\). Combien le père a-t-il d'enfants ?

   Enfant	Somme avant son tour (en euros)	Part reçue (en euros)
   Troisième	\(63 \ 000\)
   Quatrième
   Enfant de rang \(k + 1\)	\(81 \ 000 - 9 \ 000k\)

   Enfant	Somme avant son tour (en euros)	Part reçue (en euros)
   Troisième	\(63 \ 000\)	\(3 \ 000 + 6 \ 000 = 9 \ 000\)
   Quatrième	\(54 \ 000\)	\(4 \ 000 + 5 \ 000 = 9 \ 000\)
   Enfant de rang \(k + 1\)	\(81 \ 000 - 9 \ 000k\)	\(9 \ 000\)

   L'enfant de rang \(k + 1\) prend \(1 \ 000(k + 1)\) sur les \(81 \ 000 - 9 \ 000k\) qui restent. Il reste alors :

   $$ 81 \ 000 - 9 \ 000k - 1 \ 000k - 1 \ 000 = 80 \ 000 - 10 \ 000k $$

   Il en prend encore le dixième. Sa part vaut :

   $$ 1 \ 000(k + 1) + \frac{80 \ 000 - 10 \ 000k}{10} = 1 \ 000k + 1 \ 000 + 8 \ 000 - 1 \ 000k $$

   $$ 9 \ 000 \ \text{€} $$

   Les deux premiers enfants ont reçu \(9 \ 000 \ \text{€}\) chacun : le troisième aussi, puis le quatrième, et ainsi de suite, tant qu'il reste de l'argent. Après le huitième, il reste \(81 \ 000 - 8 \times 9 \ 000 = 9 \ 000 \ \text{€}\) : le neuvième prend ses \(9 \ 000 \ \text{€}\), puis le dixième des \(0 \ \text{€}\) qui restent. La fortune est entièrement partagée.

   $$ 9 \ \text{enfants} $$

   Vérification : \(9 \times 9 \ 000 = 81 \ 000\).