Problèmes sur les fonctions

Les deux abonnements

Une salle de sport propose deux formules, où \(x\) désigne le nombre de séances mensuelles :

1. Calculer le prix de \(20\) séances avec chaque formule.
   $$ f(20) = 16 + 12 = 28 \ \text{€} $$

   $$ g(20) = 24 \ \text{€} $$
2. Déterminer le nombre de séances pour lequel les deux formules coûtent le même prix.
   $$ 0{,}8 \, x + 12 = 1{,}2 \, x \quad \Longleftrightarrow \quad 12 = 0{,}4 \, x $$

   $$ x = 30 \ \text{séances} $$
3. Laquelle est la plus avantageuse pour un adhérent qui vient deux fois par semaine ?

   Deux fois par semaine font environ \(8\) séances par mois, donc moins de \(30\).

   $$ \text{la formule } g \text{, sans abonnement} $$

La fonction à retrouver

Une fonction affine \(f\) vérifie \(f(2) = 7\) et \(f(5) = 16\).

1. Déterminer son coefficient directeur.
   $$ a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac{9}{3} $$

   $$ a = 3 $$
2. En déduire l'expression de \(f(x)\).

   \(f(x) = 3x + b\), et \(f(2) = 7\) donne \(6 + b = 7\) :

   $$ f(x) = 3x + 1 $$
3. Calculer \(f(10)\).
   $$ f(10) = 31 $$
4. Déterminer l'antécédent de \(0\).
   $$ 3x + 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 3x = -1 $$

   $$ x = -\frac{1}{3} $$

Le programme de calcul

« Choisir un nombre, le multiplier par \(4\), retrancher \(6\) au résultat, puis diviser le tout par \(2\). »

1. Appliquer ce programme au nombre \(5\).
   $$ 5 \times 4 = 20 \qquad 20 - 6 = 14 $$

   $$ 14 \div 2 = 7 $$
2. Exprimer le résultat en fonction du nombre choisi \(x\), puis réduire.
   $$ f(x) = \frac{4x - 6}{2} $$

   $$ f(x) = 2x - 3 $$

   Le programme revient donc à doubler et retrancher \(3\) - bien plus court.

3. Quel nombre faut-il choisir pour obtenir \(11\) ?
   $$ 2x - 3 = 11 \quad \Longleftrightarrow \quad 2x = 14 $$

   $$ x = 7 $$