Problèmes sur les fonctions en troisième

Deux abonnements, une fonction à retrouver par le calcul ou sur sa droite, un programme de calcul, deux cuves : chaque fois la même question - quelle est la règle, et que donne-t-elle ?

Calculer une image, chercher un antécédent, par le calcul ou sur un graphique.
Déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs ou de sa représentation graphique.
Résoudre une équation traduisant une égalité de deux fonctions.
Traduire une situation ou un programme de calcul par une fonction.

Les deux abonnements

Une salle de sport propose deux formules, où $x$ désigne le nombre de séances du mois et le prix est en euros : avec abonnement, $f(x) = 0.8x + 12$ ; sans abonnement, $g(x) = 1.2x$.

Calculer le prix de $20$ séances avec chaque formule.

$$ f(20) = 0.8 \times 20 + 12 = 16 + 12 $$

$$ g(20) = 1.2 \times 20 $$

$$ f(20) = 28 \ \text{€} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} g(20) = 24 \ \text{€} $$
Déterminer le nombre de séances pour lequel les deux formules coûtent le même prix.

On résout l'équation $f(x) = g(x)$ :

$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{0.8x} + 12 \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 1.2x $$

$$ 12 = 1.2x \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 0.8x} $$

$$ 12 = 0.4x $$

$$ \frac{12}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.4}} = \frac{0.4x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.4}} $$

$$ x = 30 \ \text{séances} $$

Un terme qui change de membre change de signe ; en vert, ce par quoi on divise les deux membres. Vérification : $f(30) = 24 + 12 = 36$ et $g(30) = 36$.
Laquelle de ces deux formules est la plus avantageuse pour un adhérent qui vient deux fois par semaine ?

Deux fois par semaine font environ $8$ séances par mois, bien moins que $30$. Par exemple, $f(8) = 18.4$ et $g(8) = 9.6$.

$$ \text{la formule } g \text{, sans abonnement} $$

La fonction à retrouver

Une fonction affine $f$, de la forme $f(x) = ax + b$, vérifie $f(2) = 7$ et $f(5) = 16$.

Déterminer son coefficient $a$.

Quand $x$ augmente de $5 - 2 = 3$, l'image augmente de $16 - 7 = 9$ :

$$ a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac{9}{3} $$

$$ a = 3 $$
En déduire l'expression de $f(x)$.

$f(x) = 3x + b$, et $f(2) = 7$ donne $3 \times 2 + b = 7$, donc $b = 1$ :

$$ f(x) = 3x + 1 $$
Calculer l'image de $10$ par cette même fonction $f$.

$$ f(10) = 3 \times 10 + 1 $$

$$ f(10) = 31 $$
Déterminer l'antécédent de $0$ par $f$.

$$ 3x \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 1} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 0 $$

$$ 3x = \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 1} $$

$$ \frac{3x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{3}} = \frac{- 1}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{3}} $$

$$ x = - \frac{1}{3} $$

Le programme de calcul

« Choisir un nombre, le multiplier par $4$, retrancher $6$ au résultat, puis diviser le tout par $2$. »

Appliquer ce programme au nombre $5$.

$$ 5 \times 4 = 20 \hspace{2em} 20 - 6 = 14 $$

$$ 14 \div 2 = 7 $$
On note $f(x)$ le résultat obtenu à partir du nombre choisi $x$. Exprimer $f(x)$, puis réduire cette expression.

$$ f(x) = \frac{4x - 6}{2} = \frac{4x}{2} - \frac{6}{2} $$

$$ f(x) = 2x - 3 $$

Le programme revient donc à doubler et retrancher $3$ - bien plus court.
Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $11$ avec ce même programme ?

$$ 2x \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 3} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 11 $$

$$ 2x = 11 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 3} $$

$$ \frac{2x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} = \frac{14}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} $$

$$ x = 7 $$

Lire une droite dans les deux sens

La droite $(d)$ ci-dessous représente une fonction affine $g$.

Lire sur le graphique l'image de $2$ par $g$, puis l'antécédent de $- 3$.

L'image se lit sur l'axe vertical, au-dessus de $2$ ; l'antécédent sur l'axe horizontal, en face de $- 3$ :

$$ g(2) = 3 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} g(- 1) = - 3 $$
Déterminer l'expression de $g(x)$ à l'aide du graphique.

La droite coupe l'axe vertical en $- 1$, donc $b = g(0) = - 1$. Quand $x$ augmente de $1$, l'image augmente de $2$, donc $a = 2$ :

$$ g(x) = 2x - 1 $$

Vérification avec la première question : $2 \times 2 - 1 = 3$.
Sami affirme que le point de coordonnées $(15 \ ; \ 30)$, hors du graphique, est sur la droite $(d)$. A-t-il raison ? Déterminer ensuite l'antécédent de $30$ par $g$.

Le point est sur $(d)$ si et seulement si $g(15) = 30$. Or $g(15) = 2 \times 15 - 1 = 29$ : Sami a tort. Pour l'antécédent de $30$ :

$$ 2x \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 1} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 30 $$

$$ 2x = 30 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 1} $$

$$ \frac{2x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} = \frac{31}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} $$

$$ x = 15.5 $$

Deux cuves

Une cuve $A$ contient $800$ litres d'eau et se vide de $25$ litres par minute. Au même instant, on commence à remplir une cuve $B$, qui contient déjà $100$ litres, à raison de $10$ litres par minute. On note $t$ le temps écoulé, en minutes.

Exprimer en fonction de $t$ le volume $V_A(t)$ de la cuve $A$, puis le volume $V_B(t)$ de la cuve $B$.

$$ V_A(t) = 800 - 25t \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} V_B(t) = 100 + 10t $$
Au bout de combien de minutes les deux cuves contiennent-elles le même volume ? Préciser ce volume.

$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{800} - 25t \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} 100 \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{+ 10t} $$

$$ - 25t \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 10t} = 100 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 800} $$

$$ - 35t = - 700 $$

$$ \frac{- 35t}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 35}} = \frac{- 700}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 35}} $$

$$ t = 20 $$

Et $V_B(20) = 100 + 10 \times 20 = 300$, comme $V_A(20) = 800 - 500 = 300$.

$$ 20 \ \text{min} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 300 \ \text{L} $$
La cuve $B$ peut contenir $400$ litres. Sera-t-elle pleine avant que la cuve $A$ soit vide ? Trancher, en justifiant.

La cuve $A$ est vide quand $V_A(t) = 0$, et la cuve $B$ pleine quand $V_B(t) = 400$ :

$$ 800 - 25t = 0 \quad \text{donne} \quad t = \frac{800}{25} = 32 $$

$$ 100 + 10t = 400 \quad \text{donne} \quad t = \frac{300}{10} = 30 $$

La cuve $B$ est pleine au bout de $30$ minutes, deux minutes avant que la cuve $A$ soit vide.

$$ \text{oui, la cuve } B \text{ est pleine la première} $$
Le volume de la cuve $A$ est-il proportionnel au temps écoulé ? Et la quantité d'eau qui en est sortie ? Justifier.

$V_A(t) = 800 - 25t$ est une fonction affine qui n'est pas linéaire : à $t = 0$, le volume vaut $800$ et non $0$. Il n'est pas proportionnel au temps.

La quantité d'eau sortie vaut $25t$ : c'est une fonction linéaire, donc proportionnelle au temps, de coefficient $25$.

Le prix des places du théâtre

Le théâtre municipal compte $300$ places. Quand la place coûte $10 \ \text{€}$, il accueille en moyenne $280$ spectateurs ; quand elle coûte $15 \ \text{€}$, il n'en accueille que $180$. On admet que le nombre de spectateurs est une fonction affine $f$ du prix $x$ de la place, en euros.

Déterminer l'expression de $f(x)$. Pour quel prix la salle est-elle tout juste pleine ? Pour quel prix ne vient-il plus personne ?

Quand le prix augmente de $15 - 10 = 5 \ \text{€}$, le nombre de spectateurs varie de $180 - 280 = - 100$ :

$$ a = \frac{180 - 280}{15 - 10} = \frac{- 100}{5} = - 20 $$

$f(x) = - 20x + b$, et $f(10) = 280$ donne $- 200 + b = 280$, donc $b = 480$ :

$$ f(x) = - 20x + 480 $$

La salle est tout juste pleine quand $f(x) = 300$ :

$$ - 20x \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 480} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 300 $$

$$ - 20x = 300 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 480} $$

$$ - 20x = - 180 $$

$$ \frac{- 20x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 20}} = \frac{- 180}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 20}} $$

$$ x = 9 $$

De même, $f(x) = 0$ donne $- 20x = - 480$, soit $x = 24$.

$$ \text{salle pleine à } 9 \ \text{€} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{salle vide à } 24 \ \text{€} $$

Vérification : $f(15) = - 300 + 480 = 180$. Le modèle ne vaut donc que pour un prix de $9 \ \text{€}$ à $24 \ \text{€}$ la place.
La recette du spectacle, en euros, vaut $R(x) = x \times f(x)$. Le graphique la représente pour un prix de $9 \ \text{€}$ à $24 \ \text{€}$. Lire le prix qui semble donner la plus grande recette, puis les deux prix qui donnent une recette de $2 \ 700 \ \text{€}$. Vérifier par le calcul.

Le sommet de la courbe est au-dessus de $12$, un peu sous la ligne des $2 \ 900 \ \text{€}$. La courbe coupe la ligne des $2 \ 700 \ \text{€}$ au-dessus de $9$ et de $15$ :

$$ R(12) = 12 \times (- 240 + 480) = 12 \times 240 = 2 \ 880 $$

$$ R(9) = 9 \times 300 = 2 \ 700 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} R(15) = 15 \times 180 = 2 \ 700 $$

$$ R(12) = 2 \ 880 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} R(9) = R(15) = 2 \ 700 $$
Développer $20(x - 12)^2$, puis montrer que $2 \ 880 - R(x) = 20(x - 12)^2$. En déduire qu'aucun prix ne rapporte plus de $2 \ 880 \ \text{€}$.

Avec la deuxième identité remarquable :

$$ 20(x - 12)^2 = 20(x^2 - 24x + 144) = 20x^2 - 480x + 2 \ 880 $$

Et en développant $R(x)$ :

$$ 2 \ 880 - R(x) = 2 \ 880 - x(- 20x + 480) = 2 \ 880 + 20x^2 - 480x $$

Les deux expressions sont égales. Or un carré est toujours positif ou nul :

$$ 2 \ 880 - R(x) = 20(x - 12)^2 \geqslant 0 $$

$$ R(x) \leqslant 2 \ 880 $$

L'égalité n'a lieu que si $x - 12 = 0$ : le prix de $12 \ \text{€}$ est le seul qui rapporte $2 \ 880 \ \text{€}$, et aucun prix ne rapporte plus.
Prouver que $9 \ \text{€}$ et $15 \ \text{€}$ sont les seuls prix qui rapportent $2 \ 700 \ \text{€}$. On pourra partir de la question 3.

D'après la question 3, $R(x) = 2 \ 700$ revient à $2 \ 880 - 2 \ 700 = 20(x - 12)^2$ :

$$ 180 = 20(x - 12)^2 $$

$$ \frac{180}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{20}} = \frac{20(x - 12)^2}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{20}} $$

$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{9} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} (x - 12)^2 $$

$$ 0 = (x - 12)^2 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 9} $$

On factorise avec la troisième identité remarquable, $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, où $a = x - 12$ et $b = 3$ :

$$ 0 = (x - 12 - 3)(x - 12 + 3) $$

$$ 0 = (x - 15)(x - 9) $$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :

$$ x - 15 = 0 \quad \text{ou} \quad x - 9 = 0 $$

$$ x = 15 \quad \text{ou} \quad x = 9 $$

L'équation n'a pas d'autre solution : aucun autre prix ne rapporte $2 \ 700 \ \text{€}$. À recette égale, la place à $9 \ \text{€}$ remplit la salle, avec $300$ spectateurs au lieu de $180$.

Le thermomètre américain

Aux États-Unis, les températures se donnent en degrés Fahrenheit. La droite bleue représente la fonction affine $f$ qui convertit une température $x$, en degrés Celsius, en degrés Fahrenheit. La droite rouge représente la règle rapide des voyageurs, « doubler, puis ajouter $30$ » : $g(x) = 2x + 30$.

Lire les coordonnées des deux points marqués sur la droite bleue. En déduire l'expression de $f(x)$.

On lit les points $(- 40 \ ; \ {-}40)$ et $(10 \ ; \ 50)$. Quand $x$ augmente de $10 - (- 40) = 50$, l'image augmente de $50 - (- 40) = 90$ :

$$ a = \frac{90}{50} = 1.8 $$

$f(x) = 1.8x + b$, et $f(10) = 50$ donne $18 + b = 50$, donc $b = 32$ :

$$ f(x) = 1.8x + 32 $$

Vérification : $f(- 40) = - 72 + 32 = - 40$. L'eau gèle à $f(0) = 32 \ \text{°F}$ et bout à $f(100) = 212 \ \text{°F}$.
Le graphique montre une température qui s'écrit avec le même nombre dans les deux unités. Prouver qu'il n'y en a pas d'autre. Quelle température s'écrit, en degrés Fahrenheit, avec le double du nombre de degrés Celsius ?

On résout l'équation $f(x) = x$ :

$$ 1.8x \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 32} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{x} $$

$$ 1.8x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- x} = \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 32} $$

$$ 0.8x = - 32 $$

$$ \frac{0.8x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.8}} = \frac{- 32}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.8}} $$

$$ x = - 40 $$

Chaque étape conserve les solutions, et la dernière n'en laisse qu'une : $- 40 \ \text{°C} = - 40 \ \text{°F}$, et aucune autre température. On résout de même $f(x) = 2x$ :

$$ 1.8x \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 32} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{2x} $$

$$ 1.8x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 2x} = \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 32} $$

$$ - 0.2x = - 32 $$

$$ \frac{- 0.2x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 0.2}} = \frac{- 32}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 0.2}} $$

$$ x = 160 $$

$$ 160 \ \text{°C} = 320 \ \text{°F} $$

Vérification : $f(160) = 288 + 32 = 320$, le double de $160$. C'est une température de four, hors du graphique.
On note $e(x) = g(x) - f(x)$ l'erreur commise par la règle rapide. Exprimer $e(x)$ en fonction de $x$. Pour quelle température la règle rapide est-elle exacte ? De combien se trompe-t-elle à $30 \ \text{°C}$ ? Vérifier sur le graphique.

$$ e(x) = 2x + 30 - (1.8x + 32) = 2x + 30 - 1.8x - 32 $$

$$ e(x) = 0.2x - 2 $$

La règle est exacte quand $e(x) = 0$, c'est-à-dire $0.2x = 2$, soit $x = 10$. À $30 \ \text{°C}$, $e(30) = 6 - 2 = 4$.

$$ \text{exacte à } 10 \ \text{°C} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 4 \ \text{°F de trop à } 30 \ \text{°C} $$

Vérification : les deux droites se coupent au point marqué $(10 \ ; \ 50)$. À $30 \ \text{°C}$, la droite rouge passe à $90$ et la droite bleue à $86$ : l'écart vaut bien $4$.
À Chicago, la température va de $- 20 \ \text{°C}$ en hiver à $35 \ \text{°C}$ en été. Léa, qui part y vivre un an, affirme : « La règle rapide ne me trompera jamais de plus de $5 \ \text{°F}$. » Trancher, puis trouver toutes les températures pour lesquelles la règle rapide se trompe de $5 \ \text{°F}$ au plus.

À $- 20 \ \text{°C}$, la règle rapide donne $g(- 20) = - 10 \ \text{°F}$, au lieu de $f(- 20) = - 4 \ \text{°F}$ : elle se trompe de $6 \ \text{°F}$.

$$ \text{Léa a tort} $$

L'erreur vaut $5$ ou $- 5$ pour :

$$ 0.2x - 2 = 5 \quad \text{donne} \quad x = \frac{7}{0.2} = 35 $$

$$ 0.2x - 2 = - 5 \quad \text{donne} \quad x = \frac{- 3}{0.2} = - 15 $$

La fonction $e$ est affine, de coefficient $0.2$ positif : chaque fois que la température augmente de $1 \ \text{°C}$, l'erreur augmente de $0.2 \ \text{°F}$. De $- 15 \ \text{°C}$ à $35 \ \text{°C}$, elle monte donc régulièrement de $- 5$ à $5$ ; en dessous de $- 15 \ \text{°C}$, elle est plus petite que $- 5$, et au-dessus de $35 \ \text{°C}$, plus grande que $5$.

$$ \text{de } {-}15 \ \text{°C} \quad \text{à} \quad 35 \ \text{°C} $$

Léa peut donc se fier à la règle en été, mais pas les jours où il fait moins de $- 15 \ \text{°C}$.