Divisibilité et nombres premiers en troisième

Tous les nombres entiers se fabriquent en multipliant des nombres premiers, et d'une seule façon. C'est ce qui permet de simplifier une fraction à coup sûr, sans tâtonner.

Multiples et diviseurs

Diviseur, multiple

Un entier $b$ est un diviseur de $a$ si la division de $a$ par $b$ tombe juste. On dit alors que $a$ est un multiple de $b$.

Exemple :

$7$ est un diviseur de $42$, car $42 = 7 \times 6$. Et $42$ est un multiple de $7$.

Les deux mots disent la même chose dans les deux sens : dès qu'on écrit $a = b \times c$, on a trouvé deux diviseurs de $a$, et $a$ est multiple de chacun.

La division euclidienne

Quand la division ne tombe pas juste, il reste quelque chose. La division euclidienne garde ce reste au lieu de continuer.

$$ a = b \times q + r \qquad \text{avec} \ 0 \leqslant r < b $$

Exemple :

$$ 47 = 6 \times 7 + 5 $$

Le quotient est $7$, le reste $5$.

Le reste est nul si et seulement si $b$ divise $a$. C'est le test de divisibilité le plus sûr, et il fonctionne toujours.

Les critères de divisibilité

Ils évitent de poser la division, en ne regardant que les chiffres.

Divisible par	Quand	Exemple
$2$	le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8	$134$
$3$	la somme des chiffres est divisible par 3	$732$ car $7 + 3 + 2 = 12$
$5$	le chiffre des unités est 0 ou 5	$215$
$9$	la somme des chiffres est divisible par 9	$837$ car $8 + 3 + 7 = 18$
$10$	le chiffre des unités est 0	$490$

un nombre divisible par 9 l'est toujours par 3 - la réciproque est fausse

Les nombres premiers

Nombre premier

Un nombre premier est un entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

$1$ n'est donc pas premier : il n'a qu'un seul diviseur. Et $2$ est le seul nombre premier pair.

$$ 2 \ , \ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 11 \ , \ 13 \ , \ 17 \ , \ 19 \ , \ 23 \ , \ 29 $$

Ce sont les dix nombres premiers inférieurs à 30, à connaître. Au-delà, on les cherche en éliminant les multiples de ceux qu'on a déjà.

Pour savoir si un nombre est premier, il suffit de l'essayer par les premiers dont le carré ne dépasse pas ce nombre : pour 97, on s'arrête à 7, puisque $11^2 = 121 > 97$. Quatre essais, et c'est réglé.

Décomposer en facteurs premiers

Tout entier supérieur à 1 s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique, à l'ordre près.

Exemple :

Décomposons $360$. On divise par le plus petit premier possible, puis on recommence.

$360$	$2$
$180$	$2$
$90$	$2$
$45$	$3$
$15$	$3$
$5$	$5$
$1$

on s'arrête quand il reste 1 ; la colonne de droite est la décomposition

$$ 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 $$

Rendre une fraction irréductible

Fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1.

La décomposition en facteurs premiers donne la réponse d'un coup : on barre ce qui est commun.

Exemple :

$$ \frac{84}{126} $$

$$ 84 = 2^2 \times 3 \times 7 \qquad 126 = 2 \times 3^2 \times 7 $$

Les facteurs communs sont $2$, $3$ et $7$, soit $42$ :

$$ \frac{84}{126} = \frac{42 \times 2}{42 \times 3} $$

$$ \frac{84}{126} = \frac{2}{3} $$

Simplifier par étapes fonctionne aussi, mais on ne sait jamais quand s'arrêter. Avec les facteurs premiers, on est sûr d'avoir tout enlevé - et $2$ et $3$ n'ont visiblement plus rien en commun.

Divisible par	Quand	Exemple
\(2\)	le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8	\(134\)
\(3\)	la somme des chiffres est divisible par 3	\(732\) car \(7 + 3 + 2 = 12\)
\(5\)	le chiffre des unités est 0 ou 5	\(215\)
\(9\)	la somme des chiffres est divisible par 9	\(837\) car \(8 + 3 + 7 = 18\)
\(10\)	le chiffre des unités est 0	\(490\)

\(360\)	\(2\)
\(180\)	\(2\)
\(90\)	\(2\)
\(45\)	\(3\)
\(15\)	\(3\)
\(5\)	\(5\)
\(1\)