Retour
Deux engrenages qui doivent revenir en place, des lots à composer sans reste, une fraction à réduire : trois situations où c'est la décomposition en facteurs premiers qui donne la réponse.
Utiliser les multiples pour résoudre un problème de retour en position.
Décomposer un entier en produit de facteurs premiers.
Utiliser les diviseurs communs pour composer des lots identiques.
Rendre une fraction irréductible.
Les deux engrenages
Deux roues dentées sont en prise : la première porte \(12\) dents, la seconde \(18\). On marque une dent sur chacune, et l'on part avec les deux marques face à face.
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Écrire les premiers multiples de \(12\), puis ceux de \(18\).$$ 12 \ ; \ 24 \ ; \ 36 \ ; \ 48 \ ; \ 60 \ ; \ 72 $$$$ 18 \ ; \ 36 \ ; \ 54 \ ; \ 72 $$
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Après combien de dents les deux marques se retrouvent-elles face à face ?
Il faut un nombre de dents qui soit à la fois multiple de \(12\) et de \(18\). Le plus petit est :
$$ 36 \ \text{dents} $$ -
Combien de tours chaque roue a-t-elle alors effectués ?$$ 36 \div 12 = 3 \qquad 36 \div 18 = 2 $$$$ 3 \ \text{tours pour la première, } 2 \ \text{pour la seconde} $$
Les lots de la kermesse
Le foyer dispose de \(84\) stylos et de \(126\) crayons. Il veut composer des lots tous identiques, en utilisant tout, sans qu'il reste quoi que ce soit.
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Décomposer \(84\) et \(126\) en produits de facteurs premiers.$$ 84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7 $$$$ 126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7 $$
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En déduire le plus grand nombre de lots réalisables.
Le nombre de lots doit diviser \(84\) et \(126\). Les facteurs communs aux deux décompositions sont :
$$ 2 \times 3 \times 7 = 42 $$$$ 42 \ \text{lots} $$ -
Donner la composition d'un lot.$$ 84 \div 42 = 2 \qquad 126 \div 42 = 3 $$$$ 2 \ \text{stylos et } 3 \ \text{crayons par lot} $$
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Pourrait-on faire \(21\) lots ? Et \(50\) ?
\(21\) divise \(84\) et \(126\) : c'est possible, avec \(4\) stylos et \(6\) crayons par lot - mais ce n'est pas le maximum.
\(50\) ne divise ni l'un ni l'autre : c'est impossible.
La fraction à réduire
On considère la fraction suivante :
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Décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.$$ 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7 $$$$ 378 = 2 \times 3^3 \times 7 $$
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En déduire l'écriture irréductible de cette fraction.
Les facteurs communs sont \(2\), \(3^2\) et \(7\), soit \(2 \times 9 \times 7 = 126\) :
$$ \frac{252}{378} = \frac{126 \times 2}{126 \times 3} $$$$ \frac{252}{378} = \frac{2}{3} $$ -
Comment être certain que le résultat est bien irréductible ?
\(2\) et \(3\) sont deux nombres premiers différents : ils n'ont aucun diviseur commun autre que \(1\).
C'est l'avantage de la décomposition : une fois tous les facteurs communs retirés, il ne peut plus en rester. Une simplification au jugé, elle, laisse toujours le doute.