Les nombres fractionnaires en troisième

Multiplier, diviser, additionner des fractions : chaque opération a sa règle, et les priorités restent les mêmes.

Multiplier deux fractions
Diviser par une fraction en multipliant par son inverse
Additionner et soustraire des fractions en les mettant au même dénominateur
Simplifier un produit de fractions pour obtenir une fraction irréductible
Enchaîner plusieurs opérations sur des fractions en respectant les priorités

Il reste un quart d'un gâteau, et trois personnes veulent se le partager. Chacune reçoit le tiers d'un quart.

$$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12} $$

Additionner ces parts demanderait un dénominateur commun ; les multiplier ne demande rien.

Multiplier des fractions se fait en ligne, les additionner demande d'abord de les écrire sur le même dénominateur.

Une fraction

Une fraction est un nombre $F$ qui s'écrit :

$$ F = \frac{a}{b} \hspace{2em} (\text{avec} \ b \neq 0) $$

$a$ est appelé le numérateur;
$b$ est appelé le dénominateur.

Multiplication de fractions

On multiplie les éléments du haut entre eux, et on fait de même pour les éléments du bas.

$$ M = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \hspace{5em} \Bigl(\text{avec} \ (b, d) \neq 0 \Bigr) $$

$$ M = \frac{a \times c}{b \times d} $$

Soit,

$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a c}{bd} $$

Exemple :

$$ M = \frac{1}{7} \times \frac{3}{2} $$

$$ M = \frac{3}{14} $$

Division de fractions

$$ D = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} \hspace{5em} \Bigl(\text{avec} \ (b, c, d) \neq 0 \Bigr) $$

$$ D = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} $$

Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.

$$ D = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $$

Soit,

$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $$

Attention : il est interdit de diviser par zéro (d'où les conditions précédentes).

Exemple :

$$ D = \frac{4}{5} \div \frac{7}{6} $$

$$ D = \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} $$

$$ D = \frac{24}{35} $$

Addition de fractions

On doit absolument mettre tous les termes au même dénominateur pour pouvoir additionner des fractions entres elles.

$$ A = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \hspace{5em} \Bigl(\text{avec} \ (b, d) \neq 0 \Bigr) $$

$$ A = \frac{a}{b} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{d}{d}} + \frac{c}{d} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{b}{b}} $$

$$ A = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} $$

$$ A = \frac{ad + bc}{bd} \hspace{5em} (\text{factorisation}) $$

Soit,

$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{d}{d}} + \frac{c}{d} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{b}{b}} $$

Exemple :

$$ A = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} $$

$$ A = \frac{1}{3} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{4}{4}} - \frac{3}{4} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{3}{3}} $$

$$ A = \frac{4}{12} - \frac{9}{12} $$

$$ A = -\frac{5}{12} $$

Simplification de fractions

De manière générale, on cherche à obtenir une écriture linéaire avec que des produit de fractions :

$$ S = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} \ ...\text{etc}. \hspace{5em} \Bigl(\text{avec} \ (b, d, f \ ...\text{etc}.) \neq 0 \Bigr) $$

pour pouvoir tout simplifier et obtenir une forme irréductible.

Exemple :

$$ S = \frac{64}{45} \times \frac{81}{16} \times \frac{24}{9} $$

Après décomposition, on obtient :

$$ S = \frac{4 \times 4 \times 4}{5 \times 9} \times \frac{9 \times 9}{4 \times 4} \times \frac{4 \times 6}{9} $$

$$ S = \frac{\cancel{4} \times \cancel{4} \times 4}{5 \times \cancel{9}} \times \frac{\cancel{9} \times \cancel{9}}{\cancel{4} \times \cancel{4}} \times \frac{4 \times 6}{\cancel{9}} $$

$$ S = \frac{4 \times 4 \times 6}{5} = \frac{96}{5} $$

Aide: Toutes ces écritures sont équivalentes.

$$ S = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} \hspace{5em} \Bigl(\text{avec} \ (b, d, f) \neq 0 \Bigr) $$

$$ S = \frac{a \times c \times e}{b \times d \times f} $$

$$ S = \frac{a}{d} \times \frac{c}{b} \times e \times \frac{1}{f} $$

La seule chose qui importante, c'est de conserver les éléments à leur place respective :

au numérateur : $a, c, e$
au dénominateur : $b,d,f$

Exemple

Exemple de calcul de fractions

$$ \alpha = \left( 1 -\frac{2}{3} \right) + \frac{5}{2} \times \frac{1}{3} $$

On gère d'abord les parenthèses, on doit mettre au même dénominateur.

$$ \alpha = \underbrace { \left( 1\textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{3}{3}} -\frac{2}{3} \right) } _\text{mettre au même dénominateur} + \frac{5}{2} \times \frac{1}{3} $$

$$ \alpha = \frac{1}{3} + \frac{5}{2} \times \frac{1}{3} $$

On peut dans un second temps gérer la multiplication à droite.

$$ \alpha = \frac{1}{3} + \frac{5 \times 1}{2 \times 3} $$

$$ \alpha = \frac{1}{3} + \frac{5}{6} $$

Enfin, il faut à nouveau mettre au même dénominateur.

$$ \alpha = \frac{1}{3}\textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{2}{2}} + \frac{5}{6} $$

$$ \alpha = \frac{2}{6} + \frac{5}{6} $$

$$ \alpha = \frac{2 + 5}{6} $$

$$ \alpha = \frac{7}{6} $$