Problèmes sur les nombres fractionnaires

Fractions, décimaux et pourcentages

1. Compléter le tableau suivant, en arrondissant si besoin au centième près.

   Fraction	Nombre décimal	Pourcentage
   $$ \frac{1}{2} $$	$$ $$	$$ $$
   $$ $$	$$ 0.1 $$	$$ $$
   $$ $$	$$ $$	$$ 15 \ \% $$
   $$ \frac{8}{7} $$	$$ $$	$$ $$
   $$ $$	$$ 0.125 $$	$$ $$
   $$ $$	$$ $$	$$ 75 \ \% $$
   $$ \frac{3}{7} $$	$$ $$	$$ $$
   $$ $$	$$ 0.45 $$	$$ $$

   Fraction	Nombre décimal	Pourcentage
   $$ \frac{1}{2} $$	$$ 0.5 $$	$$ 50 \ \% $$
   $$ \frac{1}{10} $$	$$ 0.1 $$	$$ 10 \ \% $$
   $$ \frac{3}{20} $$	$$ 0.15 $$	$$ 15 \ \% $$
   $$ \frac{8}{7} $$	$$ \approx 1.14 $$	$$ \approx 114 \ \% $$
   $$ \frac{1}{8} $$	$$ 0.125 $$	$$ 12.5 \ \% $$
   $$ \frac{3}{4} $$	$$ 0.75 $$	$$ 75 \ \% $$
   $$ \frac{3}{7} $$	$$ \approx 0.43 $$	$$ \approx 43 \ \% $$
   $$ \frac{9}{20} $$	$$ 0.45 $$	$$ 45 \ \% $$

Opérations de base sur les fractions

1. Calculer les expressions suivantes, en donnant le résultat sous forme de fraction irréductible.
   $$ A = 2 \times \frac{3}{4} $$

   $$ B = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} $$

   $$ C = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \div \frac{3}{4} $$

   $$ D = \left( \frac{1}{2} \div \frac{1}{2} \right) \times \frac{3}{4} $$
   $$ A = 2 \times \frac{3}{4} $$

   $$ A = \frac{2 \times 3}{4} $$

   $$ A = \frac{6}{4} $$

   $$ A = \frac{3 \textcolor{rgb(232 124 124)}{\times \cancel{2}}}{2 \textcolor{rgb(232 124 124)}{\times \cancel{2}}} $$

   $$ A = \frac{3}{2} $$

   $$ B = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} $$

   $$ B = 5 \times \frac{1}{\cancel{2}} \times \frac{\cancel{2}}{3} $$

   $$ B = \frac{5}{3} $$

   $$ C = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \div \frac{3}{4} $$

   $$ C = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{3} $$

   $$ C = \frac{2}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \times \frac{\cancel{4}}{3} $$

   $$ C = \frac{2}{3} $$

   $$ D = \left( \frac{1}{2} \div \frac{1}{2} \right) \times \frac{3}{4} $$

   $$ D = \left( \frac{1}{2} \times \frac{2}{1} \right) \times \frac{3}{4} $$

   $$ D = \left( \frac{1}{\cancel{2}} \times \frac{\cancel{2}}{1} \right) \times \frac{3}{4} $$

   $$ D = \frac{3}{4} $$

Challenge dessin

Voici un carré de \(20\) carreaux sur \(20\).

1. Colorier un quart de ce carré en vert, deux cinquièmes en bleu et un dixième en rouge.

   Le carré compte \(400\) carreaux : \(100\) en vert, \(160\) en bleu et \(40\) en rouge.

   
2. Déterminer la part de ce même carré restée incolore, d'abord en comptant sur le dessin, puis par un calcul.

   On dispose de \(20 \times 20\) carreaux, c'est-à-dire \(400\) carreaux. On appelle \(T\) le tout et \(I\) la partie incolore.

   • En comptant sur le dessin :

     La partie non coloriée représente \(5 \times 20 = 100\) carreaux. On a donc :

     $$ I = T \times \frac{100}{400} $$
     $$ I = \frac{T}{4} $$

   • Par un calcul :

     $$ I = T - T \times \frac{1}{4} - T \times \frac{2}{5} - T \times \frac{1}{10} $$

     On choisit \(20\) comme dénominateur commun :

     $$ I = T \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{20}{20}} - T \times \frac{1}{4} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{5}{5}} - T \times \frac{2}{5} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{4}{4}} - T \times \frac{1}{10} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{2}{2}} $$
     $$ I = \frac{20T}{20} - \frac{5T}{20} - \frac{8T}{20} - \frac{2T}{20} $$
     $$ I = \frac{20T - 5T - 8T - 2T}{20} $$
     $$ I = \frac{5T}{20} $$
     $$ I = \frac{\cancel{5}T}{\cancel{5} \times 4} $$
     $$ I = \frac{T}{4} $$

Les dépenses contraintes

Les dépenses contraintes d'un foyer s'élèvent chaque mois à :

• \(650 \ \text{€}\) pour le logement ;
• \(450 \ \text{€}\) pour la nourriture ;
• \(220 \ \text{€}\) pour le transport ;
• \(100 \ \text{€}\) pour la santé ;
• \(80 \ \text{€}\) pour les frais de communication ;
• \(65 \ \text{€}\) pour des frais divers.

1. Expliquer, pour chaque poste, à quoi correspond la dépense.

   Poste	Logement	Nourriture	Transport	Santé	Communication	Autres
   Dépense	.............................	.............................	.............................	.............................	.............................	.............................

   Poste	Logement	Nourriture	Transport	Santé	Communication	Autres
   Dépense	le loyer / le crédit	fruits / légumes / viandes / fromage / pain	l'essence / l'assurance / le titre de transport	le médecin / les médicaments	abonnements de téléphone / internet	petits achats en ville

2. Calculer, pour chaque poste, la part du total qu'il représente, en pourcentage arrondi au centième.

   Poste	Logement	Nourriture	Transport	Santé	Communication	Autres	Total
   Dépense	..............	..............	..............	..............	..............	..............	..............
   Part du total	..............	..............	..............	..............	..............	..............	..............

   Poste	Logement	Nourriture	Transport	Santé	Communication	Autres	Total
   Dépense	650	450	220	100	80	65	1565
   Part du total	$$ \approx 41.53 \ \% $$	$$ \approx 28.75 \ \% $$	$$ \approx 14.06 \ \% $$	$$ \approx 6.39 \ \% $$	$$ \approx 5.11 \ \% $$	$$ \approx 4.15 \ \% $$	$$ \approx 100 \ \% $$

3. Le salaire médian en France est de \(2 \ 183 \ \text{€}\) net par mois. Quelle part de ce salaire les dépenses contraintes représentent-elles ?

   On calcule le quotient des dépenses contraintes par le salaire :

   $$ P = \frac{1 \ 565}{2 \ 183} $$

   $$ P \approx 71.7 \ \% $$

Cas pratiques de la vie réelle

Les situations suivantes sont indépendantes les unes des autres.

1. Une petite parcelle rectangulaire mesure \(\frac{3}{4} \ \text{m}\) de long sur \(\frac{1}{3} \ \text{m}\) de large. Calculer son aire.
   $$ S = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} $$

   $$ S = \frac{\cancel{3} \times 1}{4 \times \cancel{3}} $$

   $$ S = \frac{1}{4} \ \text{m}^2 $$
2. Une corde mesure \(\frac{4}{5} \ \text{m}\) de long. Combien de morceaux de \(\frac{1}{10} \ \text{m}\) peut-on y découper ?

   On appelle \(N\) le nombre de morceaux : c'est le nombre de fois que \(\frac{1}{10}\) est contenu dans \(\frac{4}{5}\).

   $$ N = \frac{4}{5} \div \frac{1}{10} $$

   $$ N = \frac{4}{5} \times \frac{10}{1} = \frac{40}{5} $$

   $$ N = 8 \ \text{morceaux} $$
3. Lors d'une soirée, les deux tiers des invités ont goûté au gâteau et, parmi eux, un quart a aussi mangé de la glace. Quelle part de l'ensemble des invités a mangé du gâteau et de la glace ?

   On prend un quart des deux tiers, donc on multiplie les deux fractions :

   $$ F = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} $$

   $$ F = \frac{1 \times \cancel{2}}{\cancel{2} \times 2 \times 3} $$

   $$ F = \frac{1}{6} $$
4. Dans un magasin, tous les articles sont soldés d'un quart de leur prix. Un T-shirt coûtait \(20 \ \text{€}\). Calculer son prix soldé.

   On retire un quart du prix de départ :

   $$ P = 20 - \frac{1}{4} \times 20 $$

   $$ P = 20 - 5 $$

   $$ P = 15 \ \text{€} $$
5. On a peint les trois cinquièmes d'une pièce en deux heures. Au même rythme, combien de temps faut-il pour peindre la pièce entière ?

   Si \(\frac{3}{5}\) de la pièce prennent \(2 \ \text{h}\), un cinquième prend \(2 \div 3 = \frac{2}{3} \ \text{h}\), et la pièce entière cinq fois plus :

   $$ T = 5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3} = 3 + \frac{1}{3} $$

   Un tiers d'heure vaut \(20 \ \text{min}\) :

   $$ T = 3 \ \text{h} \ 20 \ \text{min} $$
6. J'utilise la moitié de mon temps libre pour faire mes devoirs, et le tiers pour jouer aux jeux vidéo. Quelle part de ce temps libre me reste-t-il ?

   On appelle \(T\) le temps libre, et \(R\) le temps qui reste :

   $$ R = T - T \times \frac{1}{2} - T \times \frac{1}{3} $$

   On met tout au même dénominateur :

   $$ R = T \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{6}{6}} - T \times \frac{1}{2} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{3}{3}} - T \times \frac{1}{3} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{2}{2}} $$

   $$ R = \frac{6T - 3T - 2T}{6} $$

   $$ R = \frac{T}{6} $$

   Il reste un sixième du temps libre.

7. Une recette américaine demande « \(3 \tfrac{1}{3}\) cups of flour », soit \(3 \tfrac{1}{3}\) tasses de farine. On en a déjà versé deux tasses. Quelle quantité reste-t-il à ajouter ?

   En écriture américaine, \(3 \tfrac{1}{3}\) signifie \(3 + \frac{1}{3}\). Il reste donc \(1 + \frac{1}{3}\) tasse à ajouter :

   $$ Q = 1 \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{3}{3}} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 1}{3} $$

   $$ Q = \frac{4}{3} \ \text{tasse} $$

Parts de pizza

On démarre avec une pizza entière. Chaque part mangée est une fraction de la pizza entière. Calculer, après chaque repas, la fraction de pizza qui reste.

1. Au repas du midi, j'en mange un tiers ; au repas du soir, un quart. Calculer le reste après chacun de ces deux repas.

   On appelle \(R_1\) le reste après le midi :

   $$ R_1 = 1 - \frac{1}{3} $$

   $$ R_1 = 1 \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{3}{3}} - \frac{1}{3} $$

   $$ R_1 = \frac{3 - 1}{3} $$

   $$ R_1 = \frac{2}{3} $$

   On appelle \(R_2\) le reste après le soir :

   $$ R_2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} $$

   $$ R_2 = \frac{2}{3} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{4}{4}} - \frac{1}{4} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{3}{3}} $$

   $$ R_2 = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} $$

   $$ R_2 = \frac{5}{12} $$
2. Au petit déjeuner, j'en mange un sixième. Quelle part de pizza reste-t-il finalement ?

   On appelle \(R_3\) le reste après le petit déjeuner.

   $$ R_3 = \frac{5}{12} - \frac{1}{6} $$

   $$ R_3 = \frac{5}{12} - \frac{1}{6} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{2}{2}} $$

   $$ R_3 = \frac{5}{12} - \frac{2}{12} $$

   $$ R_3 = \frac{3}{12} $$

   $$ R_3 = \frac{1}{4} $$

   Il reste un quart de la pizza.

Remonter à la somme de départ

Marc dépense les deux cinquièmes de son argent de poche pour un livre, puis le tiers de ce qui lui reste pour une place de cinéma.

1. Marc affirme qu'il lui reste \(1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{3}\) de son argent. Expliquer son erreur, puis calculer la fraction de son argent qui lui reste vraiment.

   Le tiers n'est pas pris sur tout l'argent, mais sur ce qui reste après le livre, c'est-à-dire sur \(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\). La place de cinéma coûte donc :

   $$ \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5} $$

   $$ R = \frac{3}{5} - \frac{1}{5} $$

   $$ R = \frac{2}{5} $$
2. Il reste \(24 \ \text{€}\) à Marc. Retrouver son argent de poche de départ.

   Les deux cinquièmes de la somme de départ valent \(24 \ \text{€}\). Un cinquième vaut donc \(24 \div 2 = 12 \ \text{€}\), et la somme entière cinq fois plus :

   $$ 24 \div \frac{2}{5} = 24 \times \frac{5}{2} = 5 \times 12 $$

   $$ 60 \ \text{€} $$

   Vérification : le livre coûte \(\frac{2}{5} \times 60 = 24\), il reste \(36\) ; le cinéma coûte \(\frac{1}{3} \times 36 = 12\), il reste bien \(24\).

La cuve d'eau de pluie

Une cuve de récupération d'eau de pluie porte une jauge graduée en huitièmes. Le matin, elle est pleine aux trois quarts. Après avoir arrosé le jardin avec \(30\) litres, elle n'est plus pleine qu'aux cinq huitièmes.

1. Calculer la contenance de la cuve.

   Les \(30\) litres correspondent à la différence entre les deux niveaux :

   $$ \frac{3}{4} - \frac{5}{8} = \frac{3}{4} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{2}{2}} - \frac{5}{8} = \frac{6}{8} - \frac{5}{8} = \frac{1}{8} $$

   Un huitième de la cuve vaut \(30\) litres, et la cuve entière huit fois plus :

   $$ 8 \times 30 $$

   $$ 240 \ \text{L} $$
2. Un orage doit apporter \(100\) litres d'eau dans cette même cuve, dans son état d'après l'arrosage. Va-t-elle déborder ? Trancher, en justifiant.

   Après l'arrosage, la cuve est vide sur \(1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}\) de sa hauteur. La place libre vaut :

   $$ \frac{3}{8} \times 240 = 3 \times 30 = 90 \ \text{L} $$

   \(100\) litres ne tiennent pas dans \(90\) litres de place libre : la cuve débordera de \(10\) litres.

   $$ \text{oui, elle déborde} $$

Les dix-sept chameaux

Un vieil homme laisse \(17\) chameaux à ses trois fils : la moitié à l'aîné, le tiers au cadet et le neuvième au benjamin. Un chameau ne se coupe pas.

1. Expliquer pourquoi le partage est impossible tel quel. Un sage prête alors son chameau aux trois frères : partager les \(18\) chameaux selon le testament, en coloriant sur la bande la part de chaque fils, puis dire ce que devient le chameau du sage.

   \(17\) n'est divisible ni par \(2\), ni par \(3\), ni par \(9\) : par exemple \(17 \div 2 = 8.5\), et l'aîné devrait recevoir un demi-chameau. Avec \(18\) chameaux :

   $$ 18 \div 2 = 9 \hspace{2em} 18 \div 3 = 6 \hspace{2em} 18 \div 9 = 2 $$

   $$ 9 + 6 + 2 = 17 $$

   Les trois parts n'occupent que les \(17\) cases du troupeau : la case du sage reste libre.

   $$ 9 \ ; \ 6 \quad \text{et} \quad 2 \ \text{chameaux, et le sage reprend le sien} $$
2. Calculer \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\), et en déduire pourquoi il reste exactement un chameau. Les fils ont-ils été avantagés ou lésés par rapport au testament ? Trancher, en comparant ce que chacun reçoit à ce que le testament lui promettait.
   $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} = \frac{17}{18} $$

   Le testament ne partage que \(\frac{17}{18}\) du troupeau. Sur \(18\) chameaux, le dix-huitième qui manque vaut exactement un chameau : celui du sage.

   Le testament promettait à chaque fils une part des \(17\) chameaux. On la compare à ce qu'il reçoit :

   $$ 9 - \frac{17}{2} = \frac{18 - 17}{2} = \frac{1}{2} \hspace{2em} 6 - \frac{17}{3} = \frac{18 - 17}{3} = \frac{1}{3} \hspace{2em} 2 - \frac{17}{9} = \frac{18 - 17}{9} = \frac{1}{9} $$

   $$ \text{tous avantagés, de } \frac{1}{2} \ ; \ \frac{1}{3} \quad \text{et} \quad \frac{1}{9} \ \text{de chameau} $$

   Personne n'est lésé : le testament laissait \(\frac{1}{18}\) des \(17\) chameaux sans héritier, soit \(\frac{17}{18}\) de chameau, et le sage l'a réparti entre les fils. Vérification : \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{17}{18}\).

3. On change de testament : l'aîné reçoit toujours la moitié et le cadet le tiers, mais le benjamin reçoit \(\frac{1}{c}\) du troupeau, \(c\) étant un nombre entier. Le sage prête encore son chameau, et l'on note \(N\) le nombre de chameaux après le prêt. L'astuce réussit si chaque fils reçoit un nombre entier de chameaux et si le sage récupère exactement le sien. Prouver qu'elle réussit exactement lorsque \(N\) est un multiple de \(2\), de \(3\) et de \(c\), et que :
   $$ \frac{1}{c} + \frac{1}{N} = \frac{1}{6} $$

   Si l'astuce réussit : les fils reçoivent \(\frac{N}{2}\), \(\frac{N}{3}\) et \(\frac{N}{c}\) chameaux, des nombres entiers : \(N\) est un multiple de \(2\), de \(3\) et de \(c\). Le chameau que récupère le sage représente \(\frac{1}{N}\) des \(N\) chameaux, et les quatre parts forment tout le troupeau prêté :

   $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{c} + \frac{1}{N} = 1 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} \frac{1}{c} + \frac{1}{N} = 1 - \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} $$

   Réciproquement : si \(N\) est un multiple de \(2\), de \(3\) et de \(c\), les trois parts sont des nombres entiers. Si de plus \(\frac{1}{c} + \frac{1}{N} = \frac{1}{6}\), les fils reçoivent ensemble \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{c} = 1 - \frac{1}{N}\) du troupeau prêté, soit \(N - 1\) chameaux : il en reste exactement un pour le sage.

   $$ N \ \text{multiple de } 2 \ ; \ 3 \quad \text{et} \quad c \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{1}{c} + \frac{1}{N} = \frac{1}{6} $$

   Vérification avec le premier testament : \(\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}\).

4. Trouver tous les testaments de ce type pour lesquels l'astuce réussit, avec le nombre de chameaux laissés, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre. On pourra compléter ce tableau, puis expliquer pourquoi il est inutile d'essayer d'autres valeurs de \(c\).

   \(c\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)	\(11\)	\(12\)
   \(\frac{1}{6} - \frac{1}{c}\)	\(\frac{1}{42}\)	..........	..........	..........	..........	..........
   \(N\)	\(42\)	..........	..........	..........	..........	..........
   Parts entières ?	oui	..........	..........	..........	..........	..........
   Chameaux laissés	\(41\)	..........	..........	..........	..........	..........

   Pour chaque valeur de \(c\), on calcule \(\frac{1}{6} - \frac{1}{c}\), qui doit s'écrire \(\frac{1}{N}\). Par exemple, pour \(c = 10\) :

   $$ \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $$

   Mais \(15\) n'est pas un multiple de \(2\) : l'aîné recevrait \(7.5\) chameaux. Pour \(c = 11\), \(\frac{1}{6} - \frac{1}{11} = \frac{5}{66}\) est irréductible, et n'a pas \(1\) pour numérateur.

   \(c\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)	\(11\)	\(12\)
   \(\frac{1}{6} - \frac{1}{c}\)	\(\frac{1}{42}\)	\(\frac{1}{24}\)	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{15}\)	\(\frac{5}{66}\)	\(\frac{1}{12}\)
   \(N\)	\(42\)	\(24\)	\(18\)	\(15\)	aucun	\(12\)
   Parts entières ?	oui	oui	oui	non	-	oui
   Chameaux laissés	\(41\)	\(23\)	\(17\)	-	-	\(11\)

   Il est inutile d'essayer d'autres valeurs. Si \(c \leqslant 6\), alors \(\frac{1}{c} \geqslant \frac{1}{6}\), et \(\frac{1}{N} = \frac{1}{6} - \frac{1}{c}\) ne serait pas positif. Si \(c \geqslant 13\) : \(N\) est un multiple de \(c\), donc \(N \geqslant c\) et \(\frac{1}{N} \leqslant \frac{1}{c}\). On aurait alors :

   $$ \frac{1}{6} = \frac{1}{c} + \frac{1}{N} \leqslant \frac{2}{c} \leqslant \frac{2}{13} < \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $$

   C'est impossible. Il ne reste que les valeurs de \(c\) du tableau :

   $$ \frac{1}{7} : 41 \hspace{2em} \frac{1}{8} : 23 \hspace{2em} \frac{1}{9} : 17 \hspace{2em} \frac{1}{12} : 11 \ \text{chameaux} $$

   Vérification pour \(41\) chameaux : avec celui du sage, \(42 \div 2 = 21\), \(42 \div 3 = 14\) et \(42 \div 7 = 6\), et \(21 + 14 + 6 = 41\).

Le 29 février

La Terre fait le tour du Soleil en \(365.242 \ 2\) jours environ : c'est l'année solaire. Une année du calendrier compte \(365\) jours, ou \(366\) quand elle est bissextile. Depuis \(1582\), une année est bissextile si son numéro est un multiple de \(4\), sauf les multiples de \(100\) qui ne sont pas des multiples de \(400\).

1. Combien d'années bissextiles compte-t-on de \(1601\) à \(2000\) ? Barrer sur la frise celles qui ne le sont pas, puis écrire la durée moyenne d'une année sur cette période sous la forme \(365 + \frac{a}{b}\) jours. Vérifier enfin que \(\frac{a}{b} = \frac{1}{4} - \frac{1}{100} + \frac{1}{400}\).

   Les multiples de \(4\) vont de \(1604\) à \(2000\), soit \((2000 - 1604) \div 4 + 1 = 100\) années. Parmi elles, \(1700\), \(1800\) et \(1900\) sont des multiples de \(100\) mais pas de \(400\) ; \(2000\), multiple de \(400\), reste bissextile.

   Les \(400\) années comptent \(400 \times 365 + 97\) jours. En moyenne :

   $$ \frac{400 \times 365 + 97}{400} = 365 + \frac{97}{400} $$

   $$ \frac{1}{4} - \frac{1}{100} + \frac{1}{400} = \frac{100}{400} - \frac{4}{400} + \frac{1}{400} = \frac{97}{400} $$

   $$ 97 \ \text{années bissextiles} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 365 + \frac{97}{400} \ \text{jours} $$

   La vérification se lit dans la règle : un jour de plus tous les \(4\) ans, un de moins tous les \(100\) ans, un de plus tous les \(400\) ans.

2. Avant \(1582\), le calendrier julien rendait bissextile une année sur quatre, sans exception. De quelle durée l'année julienne dépassait-elle l'année solaire ? En \(1582\), pour rattraper le décalage accumulé depuis l'an \(325\), le jeudi \(4\) octobre a été suivi du vendredi \(15\) octobre. Vérifier que ce saut est cohérent.

   L'année julienne dure en moyenne \(365 + \frac{1}{4} = 365.25\) jours :

   $$ 365.25 - 365.242 \ 2 = 0.007 \ 8 \ \text{jour par an} $$

   De \(325\) à \(1582\), il s'est écoulé \(1582 - 325 = 1 \ 257\) ans :

   $$ 1 \ 257 \times 0.007 \ 8 \approx 9.8 \ \text{jours} $$

   $$ \text{environ } 10 \ \text{jours} $$

   Le saut du \(4\) au \(15\) octobre supprime bien \(10\) jours, du \(5\) au \(14\) octobre.

3. On revient au calendrier actuel, dit grégorien. Au bout de combien d'années aura-t-il pris un jour de décalage sur le Soleil ?

   D'après la première question, l'année grégorienne dure en moyenne \(365 + \frac{97}{400} = 365.242 \ 5\) jours :

   $$ 365.242 \ 5 - 365.242 \ 2 = 0.000 \ 3 \ \text{jour par an} $$

   Il faut autant d'années que de fois \(0.000 \ 3\) dans un jour :

   $$ 1 \div 0.000 \ 3 \approx 3 \ 333 $$

   $$ \text{environ } 3 \ 300 \ \text{ans} $$
4. On ajoute une exception : les années multiples d'un nombre \(N\), lui-même multiple de \(400\), ne sont plus bissextiles. Trouver toutes les valeurs de \(N\) qui ramènent le décalage à moins d'un jour en \(10 \ 000\) ans, puis celle qui le rend le plus petit.

   Sur \(N\) années, l'exception retire une seule année bissextile. La durée moyenne d'une année perd donc \(\frac{1}{N}\) de jour, et son écart avec l'année solaire devient :

   $$ 0.000 \ 3 - \frac{1}{N} $$

   Moins d'un jour en \(10 \ 000\) ans, c'est un écart compris entre \(-0.000 \ 1\) et \(0.000 \ 1\) jour par an :

   $$ 0.000 \ 2 < \frac{1}{N} < 0.000 \ 4 \hspace{2em} \text{soit} \hspace{2em} \frac{1}{5 \ 000} < \frac{1}{N} < \frac{1}{2 \ 500} $$

   Une fraction de numérateur \(1\) est d'autant plus petite que son dénominateur est grand : \(N\) est strictement compris entre \(2 \ 500\) et \(5 \ 000\).

   $$ N = 2 \ 800 \ ; \ 3 \ 200 \ ; \ 3 \ 600 \ ; \ 4 \ 000 \ ; \ 4 \ 400 \quad \text{ou} \quad 4 \ 800 $$

   L'écart est le plus petit quand \(\frac{1}{N}\) est le plus proche de \(0.000 \ 3\), qui vaut environ \(\frac{1}{3 \ 333}\). En dessous de \(3 \ 200\) ou au-dessus de \(3 \ 600\), \(\frac{1}{N}\) s'en éloigne davantage : on compare ces deux multiples de \(400\), qui encadrent \(3 \ 333\).

   $$ 0.000 \ 3 - \frac{1}{3 \ 200} = -0.000 \ 012 \ 5 \hspace{2em} 0.000 \ 3 - \frac{1}{3 \ 600} \approx 0.000 \ 022 \ 2 $$

   $$ N = 3 \ 200 $$

   Un jour de décalage n'arriverait alors qu'au bout de \(1 \div 0.000 \ 012 \ 5 = 80 \ 000\) ans. L'astronome John Herschel avait proposé \(N = 4 \ 000\).