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Problèmes sur les puissances

Des kilomètres aux mètres, des bactéries au Soleil, d'une photo à une clé USB : les puissances de \(10\) rendent comparables des nombres qu'on ne sait plus lire.

Conversion en puissance de 10

Écrire ces longueurs sous forme d'une puissance de \(10\), exprimée en mètres.

  1. \(1 \ 000 \ 000 \ \text{m}\), puis \(1 \ 000 \ \text{km}\).
    $$ 1 \ 000 \ 000 \ \text{m} = 10^6 \ \text{m} $$

    Un kilomètre vaut \(10^3\) mètres :

    $$ 1 \ 000 \ \text{km} = 10^3 \times 10^3 \ \text{m} = 10^{3 + 3} \ \text{m} $$
    $$ 1 \ 000 \ \text{km} = 10^6 \ \text{m} $$
  2. \(0.000 \ 001 \ \text{cm}\), puis \(1 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000 \ \text{km}\).

    Un centimètre vaut \(10^{-2}\) mètre :

    $$ 0.000 \ 001 \ \text{cm} = 10^{-6} \times 10^{-2} \ \text{m} = 10^{-6 - 2} \ \text{m} $$
    $$ 0.000 \ 001 \ \text{cm} = 10^{-8} \ \text{m} $$

    Le nombre de kilomètres s'écrit avec \(15\) zéros :

    $$ 10^{15} \ \text{km} = 10^{15} \times 10^3 \ \text{m} = 10^{15 + 3} \ \text{m} $$
    $$ 10^{15} \ \text{km} = 10^{18} \ \text{m} $$

Conversion en écriture scientifique

Traduire les grandeurs suivantes en écriture scientifique, dans l'unité standard.

  1. Le rayon de la Terre est de \(6 \ 370 \ \text{km}\).

    On met le nombre en écriture scientifique, puis on remplace le kilomètre par \(10^3\) mètres :

    $$ R_T = 6.37 \times 10^3 \ \text{km} $$
    $$ R_T = 6.37 \times 10^3 \times 10^3 \ \text{m} $$
    $$ R_T = 6.37 \times 10^6 \ \text{m} $$
  2. La distance de la Terre à la Lune est de \(384 \ 000 \ \text{km}\).
    $$ D = 3.84 \times 10^5 \ \text{km} $$
    $$ D = 3.84 \times 10^5 \times 10^3 \ \text{m} $$
    $$ D = 3.84 \times 10^8 \ \text{m} $$
  3. Une année-lumière correspond à une distance d'environ \(9 \ 461\) milliards de kilomètres.

    Un milliard vaut \(10^9\) :

    $$ D = 9 \ 461 \times 10^9 \ \text{km} = 9.461 \times 10^3 \times 10^9 \ \text{km} $$
    $$ D = 9.461 \times 10^{12} \times 10^3 \ \text{m} $$
    $$ D = 9.461 \times 10^{15} \ \text{m} $$
  4. « Mille milliards de mille sabords ! »
    $$ N = 10^{3} \times 10^{9} \times 10^{3} = 10^{3 + 9 + 3} $$
    $$ N = 10^{15} \ \text{sabords} $$

Préfixes et puissances de 10

  1. Compléter le tableau suivant.
    Unité
    $$ \text{giga} \ (\mathrm{G}) $$
    $$ \text{kilo} \ (\mathrm{k}) $$
    $$ \text{micro} \ (\mu) $$
    $$ \text{nano} \ (\mathrm{n}) $$
    Puissance de 10
    $$10^{6}$$
    $$10^{3}$$
    $$10^{-3}$$
    $$10^{-9}$$
    Équivalent
    milliard
    million
    millième
    millionième
    Unité
    $$ \text{giga} \ (\mathrm{G}) $$
    $$ \text{méga} \ (\mathrm{M}) $$
    $$ \text{kilo} \ (\mathrm{k}) $$
    $$ \text{milli} \ (\mathrm{m}) $$
    $$ \text{micro} \ (\mu) $$
    $$ \text{nano} \ (\mathrm{n}) $$
    Puissance de 10
    $$10^{9}$$
    $$10^{6}$$
    $$10^{3}$$
    $$10^{0}$$
    $$10^{-3}$$
    $$10^{-6}$$
    $$10^{-9}$$
    Équivalent
    milliard
    million
    millier
    unité
    millième
    millionième
    milliardième
    préfixes des unités et puissances de 10

Une population de bactéries

Une population de bactéries, composée au départ de \(100\) individus, double toutes les heures. On note \(P_0 = 100\).

  1. Que vaut \(P_1\), la population de bactéries au bout d'une heure ?
    $$ P_1 = 100 \times 2 $$
    $$ P_1 = 200 \ \text{individus} $$
  2. Que vaut \(P_2\), la population de ces mêmes bactéries au bout de deux heures ?
    $$ P_2 = 100 \times 2 \times 2 = 100 \times 2^2 $$
    $$ P_2 = 400 \ \text{individus} $$
  3. Au bout de combien d'heures la population dépassera-t-elle \(5 \ 000\) individus ?

    Chaque heure multiplie la population par \(2\) : au bout de \(n\) heures, elle vaut \(100 \times 2^n\).

    $$ P_3 = 800 \longrightarrow P_4 = 1 \ 600 \longrightarrow P_5 = 3 \ 200 \longrightarrow P_6 = 6 \ 400 $$

    \(P_5 = 3 \ 200\) ne dépasse pas encore \(5 \ 000\), mais \(P_6 = 100 \times 2^6 = 6 \ 400\) le dépasse.

    $$ \text{au bout de } 6 \ \text{heures} $$

Comparer la Terre, la Lune et le Soleil

Voici les rayons et les masses de la Terre, du Soleil et de la Lune :

Mesure
Astre
Terre
Soleil
Lune
Longueur du rayon (km)
$$ 6 \ 378 $$
$$ 696 \ 340 $$
$$ 1 \ 737 $$
Masse (kg)
$$ 5.972 \times 10^{24} $$
$$ 1.989 \times 10^{30} $$
$$ 7.35 \times 10^{22} $$
tailles du rayon et masses respectives de la Terre, du Soleil et de la Lune

Ces nombres sont trop grands pour être comparés à l'oeil : on calcule leurs quotients.

  1. Comparer deux à deux les rayons de ces astres, puis conclure sur la taille de chacun par rapport aux autres.

    On note \(R_T\), \(R_S\) et \(R_L\) les rayons respectifs de la Terre, du Soleil et de la Lune.

    Le Soleil et la Terre :

    $$ \frac{R_S}{R_T} = \frac{6.963 \ 4 \times 10^5}{6.378 \times 10^3} = \frac{6.963 \ 4}{6.378} \times 10^{5 - 3} $$
    $$ \frac{R_S}{R_T} \approx 1.09 \times 10^{2} $$

    Le rayon du Soleil est environ cent dix fois plus grand que celui de la Terre.

    Le Soleil et la Lune :

    $$ \frac{R_S}{R_L} = \frac{6.963 \ 4 \times 10^5}{1.737 \times 10^3} = \frac{6.963 \ 4}{1.737} \times 10^{5 - 3} $$
    $$ \frac{R_S}{R_L} \approx 4.01 \times 10^{2} $$

    Le rayon du Soleil est environ quatre cents fois plus grand que celui de la Lune.

    La Terre et la Lune :

    $$ \frac{R_T}{R_L} = \frac{6.378 \times 10^3}{1.737 \times 10^3} = \frac{6.378}{1.737} $$
    $$ \frac{R_T}{R_L} \approx 3.7 $$

    Le rayon de la Terre est un peu moins de quatre fois plus grand que celui de la Lune.

  2. Faire la même comparaison pour les masses de ces trois astres.

    On note \(M_T\), \(M_S\) et \(M_L\) les masses respectives de la Terre, du Soleil et de la Lune.

    Le Soleil et la Terre :

    $$ \frac{M_S}{M_T} = \frac{1.989 \times 10^{30}}{5.972 \times 10^{24}} = \frac{1.989}{5.972} \times 10^{30 - 24} \approx 0.333 \times 10^6 $$
    $$ \frac{M_S}{M_T} \approx 3.33 \times 10^{5} $$

    La masse du Soleil est environ trois cent trente mille fois plus grande que celle de la Terre.

    Le Soleil et la Lune :

    $$ \frac{M_S}{M_L} = \frac{1.989 \times 10^{30}}{7.35 \times 10^{22}} = \frac{1.989}{7.35} \times 10^{30 - 22} \approx 0.271 \times 10^8 $$
    $$ \frac{M_S}{M_L} \approx 2.71 \times 10^{7} $$

    La masse du Soleil est environ vingt-sept millions de fois plus grande que celle de la Lune.

    La Terre et la Lune :

    $$ \frac{M_T}{M_L} = \frac{5.972 \times 10^{24}}{7.35 \times 10^{22}} = \frac{5.972}{7.35} \times 10^{24 - 22} \approx 0.813 \times 10^2 $$
    $$ \frac{M_T}{M_L} \approx 81 $$

    La masse de la Terre est environ quatre-vingts fois plus grande que celle de la Lune, alors que son rayon n'est même pas quatre fois plus grand.

Les trois erreurs de Sofia

Sofia a écrit trois affirmations, toutes fausses. Pour chacune, expliquer l'erreur, puis corriger l'affirmation.

  1. « L'écriture scientifique de \(45 \ 000\) est \(45 \times 10^3\). »

    L'égalité \(45 \ 000 = 45 \times 10^3\) est vraie, mais ce n'est pas une écriture scientifique : le nombre devant la puissance de \(10\) doit être compris entre \(1\) et \(10\), et \(45\) ne l'est pas.

    $$ 45 \ 000 = 4.5 \times 10^4 $$
  2. « \(10^3 \times 10^4 = 10^{12}\). »

    Sofia a multiplié les exposants. Pour un produit de puissances de même base, on les additionne : \(1 \ 000 \times 10 \ 000 = 10 \ 000 \ 000\).

    $$ 10^3 \times 10^4 = 10^{7} $$
  3. « \(0.000 \ 72 = 7.2 \times 10^{4}\). »

    \(7.2 \times 10^4 = 72 \ 000\) est un grand nombre. \(0.000 \ 72\) est plus petit que \(1\) : son exposant est négatif, et la virgule recule de quatre rangs.

    $$ 0.000 \ 72 = 7.2 \times 10^{-4} $$

La clé USB est-elle assez grande ?

Léo possède une clé USB de \(64 \ \text{Go}\). Un gigaoctet vaut \(10^9\) octets, et un mégaoctet \(10^6\) octets. Il voudrait y copier \(250\) vidéos de \(180 \ \text{Mo}\) chacune et \(12 \ 000\) photos de \(3 \ \text{Mo}\) chacune.

  1. Écrire la capacité de la clé, puis la place occupée par les vidéos, en octets et en écriture scientifique.
    $$ 64 \ \text{Go} = 64 \times 10^9 = 6.4 \times 10^{10} \ \text{octets} $$
    $$ 250 \times 180 \ \text{Mo} = 45 \ 000 \times 10^6 = 4.5 \times 10^4 \times 10^6 \ \text{octets} $$
    $$ 6.4 \times 10^{10} \ \text{octets} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 4.5 \times 10^{10} \ \text{octets} $$
  2. Léo pourra-t-il copier toutes ses vidéos et toutes ses photos ? Trancher, en justifiant.
    $$ 12 \ 000 \times 3 \ \text{Mo} = 36 \ 000 \times 10^6 = 3.6 \times 10^{10} \ \text{octets} $$
    $$ 4.5 \times 10^{10} + 3.6 \times 10^{10} = 8.1 \times 10^{10} \ \text{octets} $$

    \(8.1 \times 10^{10}\) est plus grand que \(6.4 \times 10^{10}\) : il manque \(1.7 \times 10^{10}\) octets.

    $$ \text{non, la clé est trop petite} $$
  3. Léo garde toutes ses vidéos. Combien de photos pourra-t-il copier, au plus, avec la place qui reste ?

    Après les vidéos, il reste \(6.4 \times 10^{10} - 4.5 \times 10^{10} = 1.9 \times 10^{10}\) octets. Une photo occupe \(3 \times 10^6\) octets :

    $$ \frac{1.9 \times 10^{10}}{3 \times 10^6} = \frac{1.9}{3} \times 10^{10 - 6} \approx 0.633 \ 3 \times 10^4 = 6 \ 333.3 $$

    Le nombre de photos est entier, et la dernière doit tenir en entier :

    $$ 6 \ 333 \ \text{photos} $$

La balance de la bijoutière

Une bijoutière pèse ses bijoux avec une balance à deux plateaux et quatre masses marquées de \(1 \ \text{g}\), \(3 \ \text{g}\), \(9 \ \text{g}\) et \(27 \ \text{g}\), c'est-à-dire \(3^{0}\), \(3^{1}\), \(3^{2}\) et \(3^{3}\) grammes. Elle peut poser des masses sur les deux plateaux, et ses bijoux pèsent un nombre entier de grammes.

Une balance à deux plateaux en équilibre : sur le plateau de gauche, une bague et les masses de 3 grammes et de 1 gramme ; sur le plateau de droite, la masse de 9 grammes
\(3 \ \text{g}\)
\(1 \ \text{g}\)
\(9 \ \text{g}\)
  1. Sur la figure, la balance est en équilibre. Quelle est la masse de la bague ? Expliquer ensuite comment peser un bijou de \(7 \ \text{g}\), puis un bijou de \(20 \ \text{g}\).

    On note \(m\) la masse de la bague, en grammes. Elle équilibre, avec les masses de \(3 \ \text{g}\) et de \(1 \ \text{g}\), la masse de \(9 \ \text{g}\) :

    $$ m + 3 + 1 = 9 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} m = 9 - 3 - 1 = 5 $$

    Pour \(7 \ \text{g}\), on pose la masse de \(3 \ \text{g}\) à côté du bijou, celles de \(9 \ \text{g}\) et de \(1 \ \text{g}\) sur l'autre plateau. Pour \(20 \ \text{g}\), les masses de \(9 \ \text{g}\) et de \(1 \ \text{g}\) vont à côté du bijou, celles de \(27 \ \text{g}\) et de \(3 \ \text{g}\) sur l'autre plateau.

    $$ 5 \ \text{g} \hspace{2em} 7 + 3 = 9 + 1 \hspace{2em} 20 + 9 + 1 = 27 + 3 $$
  2. On écrit la masse d'un bijou à l'aide des masses marquées : un signe \(+\) pour une masse posée sur l'autre plateau, un signe \(-\) pour une masse posée à côté du bijou. Compléter le tableau, puis expliquer pourquoi la bijoutière peut peser tous les bijoux de \(1 \ \text{g}\) à \(40 \ \text{g}\), et pas au-delà.
    Bijou
    Écriture
    Bijou
    Écriture
    Bijou
    Écriture
    \(1 \ \text{g}\)
    \(1\)
    \(6 \ \text{g}\)
    ..................
    \(11 \ \text{g}\)
    ..................
    \(2 \ \text{g}\)
    \(3 - 1\)
    \(7 \ \text{g}\)
    ..................
    \(12 \ \text{g}\)
    ..................
    \(3 \ \text{g}\)
    \(3\)
    \(8 \ \text{g}\)
    ..................
    \(13 \ \text{g}\)
    ..................
    \(4 \ \text{g}\)
    \(3 + 1\)
    \(9 \ \text{g}\)
    ..................
    \(14 \ \text{g}\)
    \(27 - 9 - 3 - 1\)
    \(5 \ \text{g}\)
    ..................
    \(10 \ \text{g}\)
    ..................
    \(15 \ \text{g}\)
    ..................

    De \(5\) à \(13 \ \text{g}\), on part de la masse de \(9 \ \text{g}\), et l'on ajoute ou retranche l'écriture de \(1\) à \(4 \ \text{g}\) :

    Bijou
    Écriture
    Bijou
    Écriture
    Bijou
    Écriture
    \(1 \ \text{g}\)
    \(1\)
    \(6 \ \text{g}\)
    \(9 - 3\)
    \(11 \ \text{g}\)
    \(9 + 3 - 1\)
    \(2 \ \text{g}\)
    \(3 - 1\)
    \(7 \ \text{g}\)
    \(9 - 3 + 1\)
    \(12 \ \text{g}\)
    \(9 + 3\)
    \(3 \ \text{g}\)
    \(3\)
    \(8 \ \text{g}\)
    \(9 - 1\)
    \(13 \ \text{g}\)
    \(9 + 3 + 1\)
    \(4 \ \text{g}\)
    \(3 + 1\)
    \(9 \ \text{g}\)
    \(9\)
    \(14 \ \text{g}\)
    \(27 - 9 - 3 - 1\)
    \(5 \ \text{g}\)
    \(9 - 3 - 1\)
    \(10 \ \text{g}\)
    \(9 + 1\)
    \(15 \ \text{g}\)
    \(27 - 9 - 3\)

    Avec \(1\), \(3\) et \(9 \ \text{g}\), on pèse ainsi de \(1\) à \(13 \ \text{g}\), car \(1 + 3 + 9 = 13\). La masse de \(27 \ \text{g}\) donne ensuite tout ce qui va de \(27 - 13 = 14\) à \(27 + 13 = 40\) : pour \(27 + k\), on ajoute cette masse sur l'autre plateau à l'écriture de \(k\) ; pour \(27 - k\), on change de plateau toutes les masses de l'écriture de \(k\), comme pour \(14 = 27 - 13\).

    Au-delà, c'est impossible : toutes les masses réunies ne font que \(1 + 3 + 9 + 27 = 40 \ \text{g}\).

    $$ \text{tous les bijoux de } 1 \ \text{g à } 40 \ \text{g} $$
  3. La bijoutière achète une cinquième masse. Elle veut pouvoir peser tous les bijoux de \(1 \ \text{g}\) jusqu'à la plus grande masse possible, sans en manquer aucun. Quelle masse doit-elle choisir, et jusqu'où pourra-t-elle alors peser ?

    On note \(M\) la nouvelle masse. Sans elle, on pèse de \(1\) à \(40 \ \text{g}\). Pour aller plus loin, \(M\) va sur l'autre plateau, et les quatre anciennes masses y ajoutent ou en retranchent de \(0\) à \(40 \ \text{g}\) : on pèse tout ce qui va de \(M - 40\) à \(M + 40\), et rien au-delà, puisque toutes les masses réunies font \(M + 40\).

    • Si \(M \leqslant 81\), alors \(M - 40 \leqslant 41\) : aucun bijou ne manque jusqu'à \(M + 40\), qui vaut au plus \(81 + 40 = 121\).
    • Si \(M > 81\), le bijou de \(41 \ \text{g}\) ne peut pas être pesé : sans \(M\), on ne dépasse pas \(40 \ \text{g}\), et avec \(M\) sur l'autre plateau, on pèse au moins \(M - 40\), qui dépasse \(41\).
    $$ 81 = 3^{4} \ \text{g, pour peser jusqu'à } 121 \ \text{g} $$

    Vérification : \(41 = 81 - 27 - 9 - 3 - 1\) et \(121 = 81 + 27 + 9 + 3 + 1\).

  4. Prouver qu'aucun jeu de cinq masses, quelles qu'elles soient, ne permet de peser tous les bijoux de \(1 \ \text{g}\) à \(122 \ \text{g}\). On pourra compter les placements possibles : chaque masse est posée à côté du bijou, sur l'autre plateau, ou reste sur la table.

    Chaque masse a \(3\) places possibles. Pour cinq masses, le nombre de placements est :

    $$ 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{5} = 243 $$

    Un placement pèse au plus un bijou : celui dont la masse vaut les masses de l'autre plateau moins celles posées à côté du bijou, si ce nombre est positif.

    • Le placement où toutes les masses restent sur la table ne pèse aucun bijou.
    • Les \(242\) autres vont par paires : échanger les deux plateaux change ce nombre en son opposé, et dans chaque paire, un placement au plus pèse un bijou.

    Au plus \(242 \div 2 = 121\) placements pèsent un bijou, donc au plus \(121\) masses différentes, alors qu'il y a \(122\) bijoux de \(1\) à \(122 \ \text{g}\).

    $$ \frac{3^{5} - 1}{2} = 121 < 122 $$

    Les masses \(3^{0}\), \(3^{1}\), \(3^{2}\), \(3^{3}\) et \(3^{4}\) atteignent exactement cette limite : aucun jeu de cinq masses ne fait mieux. Vérification : \(1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121\).

L'humanité dans un morceau de sucre

Un atome a un rayon d'environ \(10^{-10} \ \text{m}\). Presque toute sa masse est rassemblée dans son noyau, dont le rayon mesure environ \(10^{-15} \ \text{m}\) ; autour, c'est du vide. La frise place ces longueurs, en mètres : d'une graduation à la suivante, on multiplie par \(10\).

Frise des longueurs de 10 puissance moins 15 à 10 puissance 3 mètres, une graduation par puissance de 10 : le noyau, l'atome et une bille de 1 centimètre
\(10^{-15}\)
\(10^{-10}\)
\(10^{-5}\)
\(10^{0}\)
\(10^{3}\)
 noyau atome bille
  1. Combien de fois le rayon de l'atome est-il plus grand que celui de son noyau ? Si le noyau était une bille de \(1 \ \text{cm}\) de rayon, quel serait le rayon de l'atome ? Répondre en mètres, puis vérifier sur la frise.
    $$ \frac{10^{-10}}{10^{-15}} = 10^{-10 - (-15)} = 10^{5} $$

    La bille mesure \(1 \ \text{cm} = 10^{-2} \ \text{m}\). L'atome agrandi est \(10^{5}\) fois plus grand :

    $$ 10^{-2} \times 10^{5} = 10^{-2 + 5} = 10^{3} \ \text{m} $$
    $$ 10^{5} \ \text{fois} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 10^{3} \ \text{m} = 1 \ \text{km} $$

    Vérification : de la bille à l'atome agrandi, la frise compte \(5\) graduations, comme du noyau à l'atome.

    Frise des longueurs de 10 puissance moins 15 à 10 puissance 3 mètres : le noyau, l'atome, la bille et l'atome agrandi, cinq graduations séparant le noyau de l'atome comme la bille de l'atome agrandi
    \(10^{-15}\)
    \(10^{-10}\)
    \(10^{-5}\)
    \(10^{0}\)
    \(10^{3}\)
     noyau atome bille atome agrandi
    \(\times 10^{5}\)
    \(\times 10^{5}\)
  2. Multiplier toutes les longueurs par \(k\) multiplie les volumes par \(k^{3}\). Par combien le volume de l'atome est-il plus grand que celui de son noyau ? Quelle fraction du volume de l'atome le noyau occupe-t-il ?

    On passe du noyau à l'atome en multipliant les longueurs par \(10^{5}\) :

    $$ \left(10^{5}\right)^{3} = 10^{5 \times 3} = 10^{15} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{1}{10^{15}} = 10^{-15} $$
    $$ 10^{15} \ \text{fois plus grand} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 10^{-15} \ \text{du volume} $$

    Le noyau n'occupe qu'un millionième de milliardième de l'atome, puisque \(10^{-15} = 10^{-6} \times 10^{-9}\).

  3. Si l'on retirait le vide de tous les atomes d'un corps, son volume serait divisé par \(10^{15}\), et sa masse ne changerait pas. Le corps humain a à peu près la masse volumique de l'eau, \(1 \ \text{kg}\) par litre, et la Terre compte \(8.1 \times 10^{9}\) humains, d'une masse moyenne de \(50 \ \text{kg}\), enfants compris. Trancher : « Sans le vide de ses atomes, l'humanité entière tiendrait dans un morceau de sucre de \(3 \ \text{cm}^3\). »

    La masse de l'humanité vaut :

    $$ 8.1 \times 10^{9} \times 50 = 405 \times 10^{9} = 4.05 \times 10^{11} \ \text{kg} $$

    À raison d'un litre par kilogramme, son volume vaut \(4.05 \times 10^{11}\) litres. Un litre vaut \(1 \ \text{dm}^3\), soit \(10^{3} \ \text{cm}^3\) :

    $$ 4.05 \times 10^{11} \ \text{L} = 4.05 \times 10^{11} \times 10^{3} \ \text{cm}^3 = 4.05 \times 10^{14} \ \text{cm}^3 $$

    Sans le vide des atomes, ce volume est divisé par \(10^{15}\) :

    $$ \frac{4.05 \times 10^{14}}{10^{15}} = 4.05 \times 10^{14 - 15} = 4.05 \times 10^{-1} = 0.405 \ \text{cm}^3 $$
    $$ \text{environ } 0.4 \ \text{cm}^3 < 3 \ \text{cm}^3 : \text{l'affirmation est vraie} $$

    Ce morceau de sucre pèserait pourtant toujours \(4.05 \times 10^{11} \ \text{kg}\), soit \(405\) millions de tonnes.

  4. On retire de même le vide des atomes de la Terre, une boule de \(6 \ 400 \ \text{km}\) de rayon. Léna affirme : « Ce serait encore une boule plus haute que la tour Eiffel, qui mesure \(330 \ \text{m}\). » Trancher. On pourra chercher par quel nombre multiplier les longueurs pour diviser le volume par \(10^{15}\).

    La Terre comprimée est une réduction de la Terre : ses longueurs sont multipliées par un nombre \(k\), son volume par \(k^{3}\). Il faut \(k^{3} = 10^{-15}\), et \(k = 10^{-5}\) convient, puisque :

    $$ \left(10^{-5}\right)^{3} = 10^{-5 \times 3} = 10^{-15} $$

    C'est le seul nombre positif qui convienne : un nombre plus grand aurait un cube plus grand, un nombre plus petit un cube plus petit. Le rayon de la Terre vaut \(6 \ 400 \ \text{km} = 6.4 \times 10^{6} \ \text{m}\) :

    $$ 6.4 \times 10^{6} \times 10^{-5} = 6.4 \times 10^{1} = 64 \ \text{m} $$

    La boule a pour hauteur son diamètre, \(2 \times 64 = 128 \ \text{m}\), moins de la moitié de la tour Eiffel.

    $$ 128 \ \text{m} < 330 \ \text{m} : \text{Léna a tort} $$