La racine carrée en troisième

Un potager carré occupe $20 \ \text{m}^2$. Quelle longueur de grillage faut-il pour en faire le tour ? Il faut d'abord retrouver le côté, c'est-à-dire le nombre dont le carré vaut $20$.

Aucun entier ne convient : $4^2 = 16$ et $5^2 = 25$. Le côté cherché est entre les deux, et porte un nom, la racine carrée de $20$.

Élever au carré et prendre la racine carrée sont deux gestes inverses : l'un part du côté et donne l'aire, l'autre part de l'aire et rend le côté.

La racine carrée d'un nombre positif

La racine carrée

Soit $a$ un nombre positif. La racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$.

La définition se relit comme une équivalence, qui sert dans les deux sens :

$$ \sqrt{a} = b \iff b^2 = a \qquad (a \geqslant 0 \quad \text{et} \quad b \geqslant 0) $$

Les deux conditions comptent : $\sqrt{-9}$ n'existe pas, et $(-3)^2$ vaut aussi $9$ sans que $-3$ soit la racine carrée de $9$.

Le carré et la racine se défont l'un l'autre, chacun dans son sens :

$$ \left(\sqrt{a}\right)^2 = a $$

$$ \sqrt{a^2} = a \qquad (a \geqslant 0) $$

Les carrés parfaits

Un carré parfait est le carré d'un entier : sa racine carrée tombe juste. Les douze premiers se retiennent, et servent à tout le reste du chapitre.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$n^2$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$
$n$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$n^2$	$49$	$64$	$81$	$100$	$121$	$144$

les carrés des entiers de 0 à 12

Quand $a$ n'est pas un carré parfait, on encadre $\sqrt{a}$ par les deux entiers consécutifs dont les carrés encadrent $a$.

Encadrons $\sqrt{20}$ :

$$ 16 < 20 < 25 $$

$$ \sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25} $$

$$ 4 < \sqrt{20} < 5 \hspace{2em} (\sqrt{20} \simeq 4{,}47) $$

Résoudre une équation du type $x^2 = a$

Une équation $x^2 = a$ ne se résout pas en prenant la racine des deux côtés sans réfléchir : un carré ne distingue pas un nombre de son opposé, donc une solution positive en cache une négative.

$$ x^2 = a \iff x = \sqrt{a} \quad \text{ou} \quad x = - \sqrt{a} \qquad (a > 0) $$

Deux cas particuliers ferment la liste :

$$ x^2 = 0 \iff x = 0 $$

$$ x^2 = a \ \text{n'a aucune solution} \qquad (a < 0) $$

Résolvons l'équation :

$$ x^2 = 9 $$

$$ x = \sqrt{9} \quad \text{ou} \quad x = - \sqrt{9} $$

$$ x = 3 \quad \text{ou} \quad x = - 3 \hspace{2em} \mathcal{S} = \Bigl\{ - 3 \ ; \ 3 \Bigr\} $$

La même équation, lue sur un graphique

La courbe de la fonction carré monte de part et d'autre de l'origine. Résoudre $x^2 = 9$, c'est chercher les abscisses des points de la courbe situés à la hauteur $9$.

La droite horizontale coupe la courbe en deux points quand $a > 0$, en un seul quand $a = 0$, et ne la coupe pas quand $a < 0$ : le graphique retrouve les trois cas de la résolution.

Mettre en pratique

Le potager de $20 \ \text{m}^2$ : quel côté, et quelle longueur de grillage ?

$$ c^2 = 20 $$

$$ c = \sqrt{20} \simeq 4{,}47 \ \text{m} $$

$$ P = 4 \times \sqrt{20} \simeq 17{,}9 \ \text{m} $$

Seule la solution positive a un sens ici : un côté ne peut pas mesurer $-4{,}47 \ \text{m}$.

\(n\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(n^2\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)	\(9\)	\(16\)	\(25\)	\(36\)
\(n\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)	\(11\)	\(12\)
\(n^2\)	\(49\)	\(64\)	\(81\)	\(100\)	\(121\)	\(144\)

La racine carrée d'un nombre positif

La racine carrée

Les carrés parfaits

Résoudre une équation du type \(x^2 = a\)

La même équation, lue sur un graphique

Mettre en pratique