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Un solide se dessine à plat, alors qu'il ne l'est pas. Tout le chapitre consiste à passer d'une représentation à l'autre - et à savoir calculer ce qu'on ne voit pas.
Reconnaître les solides
Solide |
Sa base |
Ses faces latérales |
|---|---|---|
pavé droit, cube |
un rectangle, un carré |
des rectangles |
prisme droit |
un polygone quelconque |
des rectangles |
cylindre |
un disque |
une surface courbe |
pyramide |
un polygone |
des triangles se rejoignant en un sommet |
cône |
un disque |
une surface courbe pointant en un sommet |
boule |
aucune |
une seule surface, la sphère |
La sphère est la surface, la boule est ce qu'elle contient. Un ballon est une sphère, une bille est une boule : c'est la seule paire de mots que ce chapitre demande de distinguer.
Les volumes
Solide |
Volume |
|---|---|
pavé droit |
\(L \times l \times h\) |
prisme droit, cylindre |
\(\mathcal{B} \times h\) |
pyramide, cône |
\(\dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}\) |
boule de rayon \(R\) |
\(\dfrac{4}{3} \pi R^3\) |
Les quatre lignes se ramènent à deux idées : aire de base fois hauteur quand le solide garde la même section, et le tiers quand il pointe vers un sommet.
La hauteur d'une pyramide n'est pas la longueur d'une arête, ni celle d'une face : c'est la distance du sommet au plan de la base. C'est presque toujours elle qu'il faut calculer d'abord, souvent par Pythagore.
Représenter un solide
Trois façons de le mettre à plat, qui ne disent pas la même chose.
Représentation |
Ce qu'elle conserve |
Ce qu'elle déforme |
|---|---|---|
perspective cavalière |
le parallélisme, les longueurs de la face avant |
les angles droits et les longueurs en fuite |
vues de face, de dessus, de côté |
toutes les longueurs, dans chaque vue |
rien, mais il en faut plusieurs |
patron |
toutes les longueurs et tous les angles |
rien : c'est le solide déplié |
Sur une perspective cavalière, on ne mesure jamais : un angle droit peut y paraître aigu, et deux arêtes de même longueur y être dessinées différemment. Les longueurs se lisent sur l'énoncé, pas sur la figure.
Les sections planes
Couper un solide par un plan laisse apparaître une figure plane, qui dépend de l'orientation de la coupe.
Solide, et coupe |
Section obtenue |
|---|---|
pavé, plan parallèle à une face |
un rectangle identique à cette face |
cylindre, plan parallèle à la base |
un disque identique à la base |
cylindre, plan perpendiculaire à la base |
un rectangle |
pyramide ou cône, plan parallèle à la base |
une réduction de la base |
sphère, plan quelconque |
un cercle |
Se repérer
Dans un pavé, trois nombres suffisent : abscisse, ordonnée et altitude, lues sur les trois arêtes issues d'un même sommet.
Sur une sphère, on utilise deux angles : la latitude, comptée depuis l'équateur vers le nord ou le sud, et la longitude, comptée depuis le méridien de Greenwich vers l'est ou l'ouest.
Les méridiens sont des grands cercles, de même rayon que la sphère ; les parallèles n'en sont pas, sauf l'équateur. C'est pourquoi un degré de latitude vaut partout la même distance, alors qu'un degré de longitude en vaut de moins en moins à mesure qu'on s'approche des pôles.
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Effet d'un rapport \(k\)
Exemple :
Une maquette au \(\frac{1}{10}\) d'un bâtiment de \(2 \ 000 \ \text{m}^3\) :
Diviser les longueurs par dix divise le volume par mille. C'est ce qui rend les maquettes si légères, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre : appliquer le rapport une seule fois.