Problèmes sur la géométrie dans l'espace

La pyramide et sa maquette

Une pyramide de verre a une base carrée de \(6 \ \text{m}\) de côté, et une hauteur de \(5 \ \text{m}\).

1. Calculer son volume.
   $$ V = \frac{6 \times 6 \times 5}{3} = \frac{180}{3} $$

   $$ V = 60 \ \text{m}^3 $$
2. On en réalise une maquette au \(\frac{1}{3}\). Donner les dimensions de cette maquette.

   Toutes les longueurs sont multipliées par \(\frac{1}{3}\) :

   $$ \text{côté} = 2 \ \text{m} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{hauteur} = \frac{5}{3} \approx 1.67 \ \text{m} $$
3. En déduire le volume de la maquette, sans le recalculer directement.

   Les volumes sont multipliés par le cube du rapport :

   $$ V' = 60 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{60}{27} $$

   $$ V' = \frac{20}{9} \approx 2.22 \ \text{m}^3 $$

   Le calcul direct \(\frac{2 \times 2 \times \frac{5}{3}}{3}\) donne bien la même valeur.

Le cône tronqué

Un cône de révolution a une base de rayon \(6 \ \text{cm}\) et une hauteur de \(15 \ \text{cm}\). On le coupe par un plan parallèle à la base, situé à \(5 \ \text{cm}\) du sommet.

1. Calculer le volume du cône entier, en valeur exacte.
   $$ V = \frac{\pi \times 6^2 \times 15}{3} = \frac{540 \pi}{3} $$

   $$ V = 180 \pi \approx 565 \ \text{cm}^3 $$
2. Quel est le rapport de réduction du petit cône ?

   Les hauteurs sont \(5\) et \(15\), comptées depuis le sommet :

   $$ k = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $$
3. En déduire le rayon de la section.

   Les longueurs sont multipliées par \(k\) :

   $$ r = \frac{6}{3} = 2 \ \text{cm} $$
4. Calculer le volume du tronc de cône, c'est-à-dire la partie restante.

   Le petit cône a pour volume \(180\pi \times \left(\frac{1}{3}\right)^3\) :

   $$ V_{\text{petit}} = \frac{180 \pi}{27} = \frac{20 \pi}{3} \approx 21 \ \text{cm}^3 $$

   $$ V_{\text{tronc}} = 180\pi - \frac{20\pi}{3} = \frac{540\pi}{3} - \frac{20\pi}{3} $$

   $$ V_{\text{tronc}} = \frac{520 \pi}{3} \approx 545 \ \text{cm}^3 $$

   Le petit cône occupe le tiers de la hauteur mais moins de quatre pour cent du volume : c'est l'effet du cube.

Deux villes sur un méridien

On assimile la Terre à une sphère de rayon \(6 \ 370 \ \text{km}\). Deux villes sont situées sur un même méridien, l'une à la latitude \(48° \ \text{N}\), l'autre à \(12° \ \text{N}\).

1. Que repèrent la latitude et la longitude ?

   La latitude mesure l'écart angulaire à l'équateur, vers le nord ou le sud. La longitude mesure l'écart au méridien de Greenwich, vers l'est ou l'ouest.

2. Calculer la distance entre les deux villes, mesurée le long du méridien.

   Un méridien est un grand cercle, de même rayon que la Terre. Sa longueur totale vaut :

   $$ 2 \pi \times 6 \ 370 \approx 40 \ 024 \ \text{km} $$

   Les deux villes sont séparées de \(48 - 12 = 36\) degrés, soit un dixième du tour :

   $$ 40 \ 024 \times \frac{36}{360} \approx 4 \ 002 \ \text{km} $$
3. Pourrait-on faire le même calcul pour deux villes de même latitude, séparées de \(36°\) de longitude ?

   Non. Le trajet suivrait un parallèle, qui n'est pas un grand cercle : son rayon est plus petit que celui de la Terre, et d'autant plus petit qu'on s'éloigne de l'équateur. Le calcul ne vaut que sur un méridien, ou sur l'équateur.

Remplir un verre conique

Un verre a la forme d'un cône de révolution, pointe en bas, de rayon \(4 \ \text{cm}\) et de hauteur \(12 \ \text{cm}\). Sur la figure, on l'a rempli jusqu'à la moitié de sa hauteur.

1. Calculer le volume du verre plein, en valeur exacte puis arrondi au \(\text{cm}^3\).
   $$ V = \frac{\pi \times 4^2 \times 12}{3} = \frac{192 \pi}{3} $$

   $$ V = 64 \pi \approx 201 \ \text{cm}^3 $$
2. Rempli jusqu'à la moitié de sa hauteur, ce même verre est « à moitié plein », affirme Léa. A-t-elle raison ? Justifier.

   Étape 1 : Déterminer le rapport de réduction qui transforme le verre en cône de liquide.

   Étape 2 : Calculer le volume du liquide.

   Étape 3 : Comparer ce volume à celui du verre plein.

   Conclure :

   Étape 1 : le liquide forme un petit cône, réduction du verre de rapport \(k = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\).

   Étape 2 : son volume est multiplié par \(k^3\) :

   $$ 64 \pi \times \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{64 \pi}{8} = 8 \pi \approx 25 \ \text{cm}^3 $$

   Étape 3 : le liquide n'occupe qu'un huitième du verre.

   Conclusion : un huitième est bien moins que la moitié.

   $$ \text{Léa a tort} $$
3. On verse maintenant \(27 \pi \ \text{cm}^3\) dans le verre vide. Vérifier que \(\left( \frac{3}{4} \right)^3 = \frac{27}{64}\), puis retrouver la hauteur atteinte par le liquide.
   $$ \left( \frac{3}{4} \right)^3 = \frac{3 \times 3 \times 3}{4 \times 4 \times 4} = \frac{27}{64} $$

   Le liquide occupe \(\frac{27 \pi}{64 \pi} = \frac{27}{64}\) du volume du verre. C'est le cube du rapport de réduction, qui vaut donc \(k = \frac{3}{4}\). Les hauteurs sont multipliées par \(k\) :

   $$ 12 \times \frac{3}{4} $$

   $$ 9 \ \text{cm} $$

La boîte de balles de tennis

Trois balles de tennis de rayon \(3.3 \ \text{cm}\) sont vendues dans une boîte cylindrique juste à leur taille : elles touchent le fond, le couvercle et la paroi.

1. Calculer le volume d'une balle, arrondi au dixième de \(\text{cm}^3\).
   $$ V_{\text{balle}} = \frac{4}{3} \times \pi \times 3.3^3 = 47.916 \pi $$

   $$ V_{\text{balle}} \approx 150.5 \ \text{cm}^3 $$
2. Justifier les dimensions de la boîte indiquées sur la figure, puis calculer son volume.

   Le rayon de la boîte est celui d'une balle, \(3.3 \ \text{cm}\), soit un diamètre de \(6.6 \ \text{cm}\). Sa hauteur vaut trois diamètres : \(3 \times 6.6 = 19.8 \ \text{cm}\).

   $$ V_{\text{boîte}} = \pi \times 3.3^2 \times 19.8 = 215.622 \pi $$

   $$ V_{\text{boîte}} \approx 677.4 \ \text{cm}^3 $$
3. Quelle fraction du volume de cette même boîte les trois balles occupent-elles ?
   $$ \frac{3 \times 47.916 \pi}{215.622 \pi} = \frac{143.748}{215.622} $$

   $$ \frac{2}{3} $$

   Le quotient tombe juste, quel que soit le rayon \(r\) des balles : \(3 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = 4 \pi r^3\) et \(\pi r^2 \times 6r = 6 \pi r^3\).

4. Un fabricant propose plutôt une boîte en forme de pavé droit de \(6.6 \ \text{cm}\) sur \(6.6 \ \text{cm}\) sur \(19.8 \ \text{cm}\). Laquelle des deux boîtes laisse le moins de place vide ? Trancher.

   Étape 1 : Calculer le volume du pavé.

   Étape 2 : Calculer la fraction du pavé que les trois balles occupent.

   Étape 3 : Comparer avec la fraction du cylindre qu'elles occupent.

   Conclure :

   Étape 1 :

   $$ V_{\text{pavé}} = 6.6 \times 6.6 \times 19.8 = 862.488 \ \text{cm}^3 $$

   Étape 2 : les trois balles occupent \(3 \times 150.5 \approx 451.6 \ \text{cm}^3\) :

   $$ \frac{451.6}{862.488} \approx 0.52 $$

   Étape 3 : les balles remplissent environ \(52 \ \%\) du pavé, contre environ \(67 \ \%\) du cylindre.

   Conclusion : le cylindre est le mieux rempli, c'est lui qui laisse le moins de place vide.

   $$ \text{la boîte cylindrique} $$

La cloche à fromage

Une cloche à fromage en verre a la forme d'une demi-sphère de \(12 \ \text{cm}\) de rayon, posée sur un plateau. On y range des fromages en forme de cylindre, posés au centre \(O\) du plateau. La figure montre la coupe par un plan qui contient l'axe de la cloche : un fromage de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) y apparaît comme un rectangle.

1. Une tomme de \(20 \ \text{cm}\) de diamètre et de \(7 \ \text{cm}\) de haut tient-elle sous la cloche ? Prévoir, puis trancher par le calcul.

   Étape 1 : Repérer les points de la tomme les plus éloignés de \(O\).

   Étape 2 : Calculer la distance de ces points à \(O\).

   Étape 3 : Comparer cette distance au rayon de la cloche.

   Conclure :

   Le rayon et la hauteur de la tomme sont inférieurs à \(12 \ \text{cm}\) : on peut s'attendre à ce qu'elle tienne.

   Étape 1 : les points du fromage les plus éloignés de \(O\) sont ceux du bord du dessus, comme \(M\).

   Étape 2 : dans le triangle \(OKM\), rectangle en \(K\), avec \(OK = 7\) et \(KM = 10\), d'après le théorème de Pythagore :

   $$ OM^2 = OK^2 + KM^2 = 7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149 $$

   $$ OM = \sqrt{149} \approx 12.2 \ \text{cm} $$

   Étape 3 : le bord de la tomme est à plus de \(12 \ \text{cm}\) du centre.

   Conclusion : il sortirait de la demi-sphère.

   $$ \text{la tomme ne tient pas sous la cloche} $$

   Plus généralement, un fromage tient sous la cloche lorsque \(OM \leqslant 12\), c'est-à-dire lorsque \(r^2 + h^2 \leqslant 144\).

2. Un fromager veut un fromage de \(18 \ \text{cm}\) de diamètre. Déterminer, au millimètre près, la plus grande hauteur qui lui permet de tenir sous la cloche.

   Avec \(r = 9\), il faut \(9^2 + h^2 \leqslant 144\), soit \(h^2 \leqslant 144 - 81 = 63\). La hauteur la plus grande vérifie \(h^2 = 63\) :

   $$ h = \sqrt{63} \approx 7.94 \ \text{cm} $$

   On arrondit par défaut : avec \(8 \ \text{cm}\), \(81 + 64 = 145\) dépasserait \(144\).

   $$ h \approx 7.9 \ \text{cm} $$
3. Parmi tous les fromages qui tiennent sous la cloche, on cherche celui dont le volume est le plus grand. Expliquer pourquoi il touche la cloche, puis montrer qu'un fromage de hauteur \(h\) qui touche la cloche a pour volume \(V = \pi \times \bigl(144 - h^2\bigr) \times h\). Compléter enfin le tableau.

   hauteur \(h\) \(\bigl[\text{cm}\bigr]\)	\(2\)	\(4\)	\(6\)	\(8\)	\(10\)
   volume \(V\) \(\bigl[\text{cm}^3\bigr]\)	\(880\)

   Étape 1 : Montrer qu'un fromage qui ne touche pas la cloche n'a pas le plus grand volume.

   Étape 2 : Exprimer \(r^2\) en fonction de \(h\), pour un fromage qui touche la cloche.

   Conclure :

   Étape 1 : si un fromage ne touche pas la cloche, son bord \(M\) est à moins de \(12 \ \text{cm}\) de \(O\) : on peut l'élargir un peu sans changer sa hauteur, et son volume augmente. Le plus grand fromage touche donc la cloche, et \(OM = 12\).

   Étape 2 : dans le triangle \(OKM\), rectangle en \(K\), d'après le théorème de Pythagore, \(r^2 + h^2 = 144\), donc \(r^2 = 144 - h^2\).

   Conclusion : le volume d'un cylindre est l'aire de sa base multipliée par sa hauteur :

   $$ V = \pi \times r^2 \times h = \pi \times \bigl(144 - h^2\bigr) \times h $$

   Arrondis au \(\text{cm}^3\) :

   hauteur \(h\) \(\bigl[\text{cm}\bigr]\)	\(2\)	\(4\)	\(6\)	\(8\)	\(10\)
   volume \(V\) \(\bigl[\text{cm}^3\bigr]\)	\(880\)	\(1 \ 608\)	\(2 \ 036\)	\(2 \ 011\)	\(1 \ 382\)

   Le volume augmente puis diminue : le plus grand fromage a une hauteur comprise entre \(4\) et \(8 \ \text{cm}\).

4. Déterminer, au millimètre près, la hauteur du plus grand fromage, puis son diamètre et son volume. Le fromager affirme qu'il occupe plus de la moitié de la cloche : trancher.

   Étape 1 : Calculer le volume de la cloche.

   Étape 2 : Comparer le volume du plus grand fromage à celui de la cloche.

   Conclure :

   On affine le tableau, en gardant les valeurs de la calculatrice et en arrondissant les volumes au dixième :

   hauteur \(h\) \(\bigl[\text{cm}\bigr]\)	\(5\)	\(6.5\)	\(7\)	\(7.5\)
   volume \(V\) \(\bigl[\text{cm}^3\bigr]\)	\(1 \ 869.2\)	\(2 \ 077.8\)	\(2 \ 089.2\)	\(2 \ 067.6\)

   Le plus grand volume est obtenu entre \(6.5\) et \(7.5 \ \text{cm}\). On resserre au millimètre :

   hauteur \(h\) \(\bigl[\text{cm}\bigr]\)	\(6.7\)	\(6.8\)	\(6.9\)	\(7\)	\(7.1\)
   volume \(V\) \(\bigl[\text{cm}^3\bigr]\)	\(2 \ 086.1\)	\(2 \ 088.4\)	\(2 \ 089.4\)	\(2 \ 089.2\)	\(2 \ 087.6\)

   Le volume est le plus grand pour \(h \approx 6.9 \ \text{cm}\). Le rayon vérifie alors \(r^2 = 144 - {6.9}^2 = 96.39\) :

   $$ r = \sqrt{96.39} \approx 9.82 \ \text{cm} \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 2r \approx 19.6 \ \text{cm} $$

   $$ h \approx 6.9 \ \text{cm} \quad \text{et} \quad \text{diamètre} \approx 19.6 \ \text{cm} \quad \text{et} \quad V \approx 2 \ 089 \ \text{cm}^3 $$

   Étape 1 : la cloche est une demi-boule de rayon \(12 \ \text{cm}\) :

   $$ V_{\text{cloche}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times \pi \times 12^3 = 1 \ 152 \pi \approx 3 \ 619 \ \text{cm}^3 $$

   Étape 2 :

   $$ \frac{2 \ 089}{3 \ 619} \approx 0.58 $$

   Conclusion : le plus grand fromage occupe environ \(58 \ \%\) de la cloche, plus de la moitié :

   $$ \text{le fromager a raison} $$

La montgolfière

Une montgolfière s'élève parce que l'air chaud de son enveloppe est plus léger que l'air extérieur : chaque mètre cube d'air chaud soulève environ \(0.25 \ \text{kg}\). On assimile l'enveloppe à une sphère de \(16 \ \text{m}\) de diamètre. Sa toile pèse \(90 \ \text{kg}\) ; la nacelle, le brûleur et les bouteilles de gaz, \(150 \ \text{kg}\) ; chaque personne à bord, pilote compris, environ \(80 \ \text{kg}\).

1. Calculer le volume de l'enveloppe et la masse que soulève l'air chaud, puis déterminer combien de personnes, pilote compris, la montgolfière peut emporter.

   L'enveloppe est une boule de rayon \(8 \ \text{m}\) :

   $$ V = \frac{4}{3} \times \pi \times 8^3 = \frac{2 \ 048 \pi}{3} \approx 2 \ 145 \ \text{m}^3 $$

   $$ 0.25 \times \frac{2 \ 048 \pi}{3} \approx 536 \ \text{kg} $$

   Une fois la toile et la nacelle soulevées, il reste :

   $$ 536 - 90 - 150 = 296 \ \text{kg} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{296}{80} = 3.7 $$

   $$ 3 \ \text{personnes} $$
2. Le fabricant propose un modèle réduit : toutes les longueurs sont divisées par \(2\), la toile est la même et sa masse reste proportionnelle à son aire. Léo affirme que ce modèle soulèvera deux fois moins de masse. Trancher, puis dire si ce modèle peut décoller avec la même nacelle.

   Étape 1 : Calculer la masse que soulève l'air chaud du modèle réduit.

   Étape 2 : Comparer cette masse à celle que soulève la grande montgolfière.

   Conclure :

   Étape 1 : le rapport de réduction vaut \(k = \frac{1}{2}\). Le volume d'air chaud est multiplié par \(k^3 = \frac{1}{8}\) :

   $$ 536 \times \frac{1}{8} = 67 \ \text{kg} $$

   Étape 2 : \(536 \div 67 = 8\) : le modèle réduit soulève huit fois moins de masse que la grande montgolfière.

   Conclusion : il ne soulève pas deux fois moins de masse :

   $$ \text{Léo a tort} $$

   L'aire de la toile est multipliée par \(k^2 = \frac{1}{4}\) :

   $$ 90 \times \frac{1}{4} = 22.5 \ \text{kg} $$

   Une fois sa toile soulevée, il ne lui reste que \(67 - 22.5 = 44.5 \ \text{kg}\), bien moins que les \(150 \ \text{kg}\) de la nacelle : il ne peut pas décoller avec elle.

3. On fabrique des montgolfières miniatures dans la même toile, sans nacelle ni passager. Une miniature de \(1.6 \ \text{m}\) de diamètre peut-elle s'élever ? Démontrer qu'une montgolfière trop petite ne s'élève jamais, et déterminer, au décimètre près, le plus petit diamètre qui permet à la toile seule de s'élever.

   Étape 1 : Comparer, pour la miniature de \(1.6 \ \text{m}\), la masse que soulève l'air chaud à celle de la toile.

   Étape 2 : Écrire la condition pour qu'une montgolfière de rapport de réduction \(k\) s'élève.

   Étape 3 : Déterminer les valeurs de \(k\) pour lesquelles elle s'élève.

   Conclure :

   Étape 1 : pour \(1.6 \ \text{m}\) de diamètre, \(k = \frac{1.6}{16} = 0.1\) :

   $$ 536 \times {0.1}^3 \approx 0.54 \ \text{kg} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 90 \times {0.1}^2 = 0.9 \ \text{kg} $$

   L'air chaud soulève moins que la masse de la toile : cette miniature ne s'élève pas.

   Étape 2 : pour un rapport \(k\) quelconque, l'air chaud soulève environ \(536 \times k^3\) et la toile pèse \(90 \times k^2\). La montgolfière s'élève lorsque \(536 \times k^3 > 90 \times k^2\).

   Étape 3 : en divisant les deux membres par \(k^2\), qui est positif :

   $$ 536 \times k > 90 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} k > \frac{90}{536} \approx 0.168 $$

   Conclusion : plus la montgolfière est petite, plus \(k\) est petit : en dessous de ce rapport, elle ne s'élève jamais. Le diamètre doit dépasser :

   $$ 16 \times \frac{90}{536} \approx 2.69 \ \text{m} $$

   $$ \text{diamètre minimal} \approx 2.7 \ \text{m} $$

   Vérification : pour \(2.6 \ \text{m}\), \(k = 0.1625\), l'air soulève environ \(2.30 \ \text{kg}\) pour \(2.38 \ \text{kg}\) de toile ; pour \(2.7 \ \text{m}\), \(k = 0.16875\), il soulève environ \(2.58 \ \text{kg}\) pour \(2.56 \ \text{kg}\).