Problèmes de géométrie dans l'espace en troisième

Une pyramide et sa maquette, un cône qu'on tronque, deux villes sur un même méridien : trois calculs où la difficulté n'est jamais la formule, mais ce qu'il faut décider avant de l'appliquer.

Calculer le volume d'une pyramide, d'un cône, d'une boule.
Appliquer un rapport de réduction aux longueurs, aux aires et aux volumes.
Exploiter une section plane parallèle à la base.
Se repérer sur une sphère.

La pyramide et sa maquette

Une pyramide de verre a une base carrée de $6 \ \text{m}$ de côté, et une hauteur de $5 \ \text{m}$.

Calculer son volume.

$$ V = \frac{6 \times 6 \times 5}{3} = \frac{180}{3} $$

$$ V = 60 \ \text{m}^3 $$
On en réalise une maquette au $\frac{1}{3}$. Donner ses dimensions.

$$ \text{côté} = 2 \ \text{m} \qquad \text{hauteur} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \ \text{m} $$
En déduire le volume de la maquette, sans le recalculer directement.

Les volumes sont multipliés par le cube du rapport :

$$ V' = 60 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{60}{27} $$

$$ V' = \frac{20}{9} \approx 2{,}22 \ \text{m}^3 $$

Le calcul direct $\frac{2 \times 2 \times \frac{5}{3}}{3}$ donne bien la même valeur.

Le cône tronqué

Un cône de révolution a une base de rayon $6 \ \text{cm}$ et une hauteur de $15 \ \text{cm}$. On le coupe par un plan parallèle à la base, situé à $5 \ \text{cm}$ du sommet.

Calculer le volume du cône entier, en valeur exacte.

$$ V = \frac{\pi \times 6^2 \times 15}{3} = \frac{540 \pi}{3} $$

$$ V = 180 \pi \approx 565 \ \text{cm}^3 $$
Quel est le rapport de réduction du petit cône ?

Les hauteurs sont $5$ et $15$, comptées depuis le sommet :

$$ k = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $$
En déduire le rayon de la section.

Les longueurs sont multipliées par $k$ :

$$ r = \frac{6}{3} = 2 \ \text{cm} $$
Calculer le volume du tronc de cône, c'est-à-dire la partie restante.

Le petit cône a pour volume $180\pi \times \left(\frac{1}{3}\right)^3$ :

$$ V_{\text{petit}} = \frac{180 \pi}{27} = \frac{20 \pi}{3} \approx 21 \ \text{cm}^3 $$

$$ V_{\text{tronc}} = 180\pi - \frac{20\pi}{3} = \frac{520 \pi}{3} \approx 545 \ \text{cm}^3 $$

Le petit cône occupe le tiers de la hauteur mais moins de quatre pour cent du volume : c'est l'effet du cube.

Deux villes sur un méridien

On assimile la Terre à une sphère de rayon $6 \ 370 \ \text{km}$. Deux villes sont situées sur un même méridien, l'une à la latitude $48° \ \text{N}$, l'autre à $12° \ \text{N}$.

Que repèrent la latitude et la longitude ?

La latitude mesure l'écart angulaire à l'équateur, vers le nord ou le sud. La longitude mesure l'écart au méridien de Greenwich, vers l'est ou l'ouest.
Calculer la distance entre les deux villes, mesurée le long du méridien.

Un méridien est un grand cercle, de même rayon que la Terre. Sa longueur totale vaut :

$$ 2 \pi \times 6 \ 370 \approx 40 \ 024 \ \text{km} $$

Les deux villes sont séparées de $48 - 12 = 36$ degrés, soit un dixième du tour :

$$ 40 \ 024 \times \frac{36}{360} \approx 4 \ 002 \ \text{km} $$
Pourrait-on faire le même calcul pour deux villes de même latitude, séparées de $36°$ de longitude ?

Non. Le trajet suivrait un parallèle, qui n'est pas un grand cercle : son rayon est plus petit que celui de la Terre, et d'autant plus petit qu'on s'éloigne de l'équateur.

$$ \text{le calcul ne vaut que sur un méridien, ou sur l'équateur} $$