Le théorème de Pythagore et sa réciproque en troisième

Un théorème pour calculer une longueur, sa réciproque pour démontrer qu'un triangle est rectangle.

Une échelle de $4 \ \text{m}$ est posée contre un mur, le pied à $1.50 \ \text{m}$. Jusqu'où monte-t-elle ?

$$ h^2 = 4^2 - 1.5^2 = 13.75 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} h \simeq 3.71 \ \text{m} $$

Personne n'a mesuré le long du mur : le calcul a suffi, parce que le mur et le sol font un angle droit.

Dans un triangle rectangle, les trois côtés sont liés par une seule égalité - et cette égalité reconnaît aussi l'angle droit.

Le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle $ABC$, rectangle en $B$:

On a aura toujours l'égalité de Pythagore vérifiée:

$$ \bigl(AB \perp BC \bigr) \Longrightarrow \Bigl(AB^2 + BC^2 = AC^2\Bigr) \hspace{2em} (\text{Théorème de Pythagore}) $$

Dans un triangle ( a priori ) rectangle $ABC$, avec $AC$ comme plus grand côté:

Si l'égalité de Pythagore est vérifiée, alors il existe un angle droit entre $AB$ et $BC$ (les deux plus petites longueurs):

$$ \Bigl(AB^2 + BC^2 = AC^2\Bigr) \Longrightarrow \bigl(AB \perp BC \bigr) \hspace{2em} (\text{Théorème de Pythagore (réciproque)}) $$