Théorème de Thalès en troisième

Après un détour par la logique, des triangles de même forme permettent de calculer une longueur ou de prouver un parallélisme.

Distinguer une implication, sa contraposée et sa réciproque
Reconnaître deux triangles semblables et leur rapport d'agrandissement ou de réduction
Calculer une longueur avec le théorème de Thalès, dans les deux configurations
Démontrer que deux droites sont parallèles avec la réciproque du théorème

Une photo agrandie de $10 \ \text{cm}$ à $15 \ \text{cm}$ de large voit toutes ses longueurs multipliées par $1.5$ : les visages ne sont pas déformés.

Sur le terrain, c'est le même mécanisme qui donne la largeur d'une rivière sans la traverser.

Deux parallèles coupent deux sécantes en longueurs proportionnelles : c'est tout le théorème, et sa réciproque teste le parallélisme.

Connecteurs logiques

Soient $(A, B)$ deux propositions logiques (uniquement deux états : vrai ou faux ).

Implication logique

Une implication part d'une cause $(A)$, et engendre une conséquence $(B)$.

$$ A \Longrightarrow B \hspace{2em} (\text{Implication}) $$

Contraposée

La contraposée (d'une implication) est la même chose, mais présentée autrement.

$$ \text{non}(B) \Longrightarrow \text{non}(A) \hspace{2em} (\text{Contraposée}) $$

Réciproque

La réciproque (d'une implication) est l'implication inverse. La cause et la conséquence ont été intervertis.

$$ B \Longrightarrow A \hspace{2em} (\text{Réciproque}) $$

Exemple :

Prenons les deux propositions suivantes :

$A$ : "il pleut"
$B$ : "je prends mon parapluie en sortant"

Énoncez les implication, contraposée et réciproque à partir de $A$ et $B$ :

Implication :

Contraposée :

Réciproque :

Similarité de deux triangles

Deux triangles semblables

Deux triangles sont dit semblables lorsqu'ils ont:

leurs longueurs respectives proportionnelles;
leurs angles respectivement égaux.

Cela implique alors qu'il existe un rapport $\textcolor{rgb(163 96 190)}{k}$ entre les longueurs respectives

$$ \begin{Bmatrix} \overline{A'B'} = \textcolor{rgb(163 96 190)}{k} \times \overline{AB} \\ \overline{B'C'} = \textcolor{rgb(163 96 190)}{k} \times \overline{BC} \\ \overline{A'C'} = \textcolor{rgb(163 96 190)}{k} \times \overline{AC} \end{Bmatrix} $$

$$ \Longleftrightarrow $$

$$ \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \textcolor{rgb(163 96 190)}{k}, \ \frac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}} = \textcolor{rgb(163 96 190)}{k}, \ \frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}} = \textcolor{rgb(163 96 190)}{k} $$

Où ce rapport $\textcolor{rgb(163 96 190)}{k}$ correspondant à :

un agrandissement (si $\textcolor{rgb(163 96 190)}{k} > 1$);
une réduction (si $\textcolor{rgb(163 96 190)}{k} < 1$);
une conservation (si $\textcolor{rgb(163 96 190)}{k} = 1$).

En revanche, les valeurs d'angles eux sont bien conservés :

$$ \begin{Bmatrix} \widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'} = \textcolor{rgb(232 124 124)}{\alpha} \\ \widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'} = \textcolor{rgb(93 183 129)}{\beta} \\ \widehat{BCA}= \widehat{B'C'A'} = \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\gamma} \end{Bmatrix} $$

Théorème de Thalès et réciproque

Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès part de l'hypothèse d'un parallélisme entre deux droites, pour en déduire une égalité entre rapports de longueur.

$$ \bigl( \text{parallélisme} \Longrightarrow \text{égalité} \bigr) $$

Triangles imbriqués par l'intérieur

Dans deux triangles semblables imbriqués $ ABC $ et $ ADE $ tels que la figure suivante:

Deux triangles semblables (imbriqués)

On aura toujours la relation suivante :

$$ (BC) \parallel (DE) \Longrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \hspace{2em} \bigl(\text{Théorème de Thalès} \bigr) $$
Triangles imbriqués par l'extérieur

Si les triangles sont tels que la figure suivante, imbriqués par l'extérieur:

Deux triangles semblables (imbriqués par l'extérieur)

La relation précédente vaut toujours, mais il faut faire attention à bien prendre en compte le changement de côté après dépliage.

Réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès fait le chemin inverse ; elle part de l'hypothèse d'une égalité entre rapports de longueur, pour en déduire un éventuel parallélisme entre deux droites.

$$ \bigl( \text{égalité} \Longrightarrow \text{parallélisme} \bigr) $$

Dans ce cas, on aura :

$$ \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \Longrightarrow (BC) \parallel (DE) \hspace{2em} \bigl(\text{Réciproque du théorème de Thalès} \bigr) $$