Problèmes sur le théorème de Thalès

La distance au viaduc

Un observateur veut connaître approximativement la distance qui le sépare d'un viaduc de \(150 \ \text{m}\) de long. Il plante devant lui un piquet muni d'une barre de \(3 \ \text{m}\), parallèle au viaduc, et se place de sorte que ses lignes de visée vers les deux extrémités du viaduc passent par les extrémités de la barre. Il mesure les distances indiquées sur le schéma :

1. Justifier que l'on peut appliquer le théorème de Thalès, puis écrire les rapports égaux.

   Les deux lignes de visée partent de l'œil de l'observateur, et la barre est parallèle au viaduc : c'est une configuration de Thalès. On note \(D_1\) la distance de l'œil à l'extrémité gauche du viaduc, et \(D_2\) celle à l'extrémité droite :

   $$ \frac{15}{D_1} = \frac{16}{D_2} = \frac{3}{150} $$
2. Calculer les distances \(D_1\) et \(D_2\) qui séparent l'observateur des deux extrémités du viaduc.

   Pour \(D_1\) :

   $$ \frac{15}{D_1} = \frac{3}{150} $$

   En faisant un produit en croix, on obtient :

   $$ D_1 = \frac{15 \times 150}{3} $$

   $$ D_1 = 750 \ \text{m} $$

   Pour \(D_2\) :

   $$ \frac{16}{D_2} = \frac{3}{150} $$

   $$ D_2 = \frac{16 \times 150}{3} $$

   $$ D_2 = 800 \ \text{m} $$

Ajustement du rétroprojecteur

En classe, un rétroprojecteur placé en \(O\) éclaire le tableau. Le segment \(\bigl[OM\bigr]\) est perpendiculaire au tableau, avec \(OM = 1 \ \text{m}\), et la largeur de l'image projetée vaut \(AB = 2 \ \text{m}\).

Pour passer en mode cinéma, on veut une image \(A'B'\) de \(5 \ \text{m}\) de large, projetée sur un écran parallèle au tableau et placé plus loin, en \(M'\).

1. Les droites \((AB)\) et \((A'B')\) sont parallèles. Écrire les rapports égaux donnés par le théorème de Thalès dans le triangle \(OA'B'\).
   $$ \frac{OA}{OA'} = \frac{OB}{OB'} = \frac{AB}{A'B'} $$
2. Les droites \((AM)\) et \((A'M')\) sont parallèles elles aussi. Écrire maintenant les rapports égaux dans le triangle \(OA'M'\).
   $$ \frac{OA}{OA'} = \frac{OM}{OM'} = \frac{AM}{A'M'} $$
3. Justifier alors l'égalité suivante :
   $$ \frac{OM}{OM'} = \frac{AB}{A'B'} $$

   Étape 1 : Repérer, dans la question 1, une égalité qui contient \(\frac{AB}{A'B'}\).

   Étape 2 : Repérer, dans la question 2, une égalité qui contient \(\frac{OM}{OM'}\).

   Conclure :

   Étape 1 : la première question donne :

   $$ \frac{OA}{OA'} = \frac{AB}{A'B'} $$

   Étape 2 : la deuxième donne :

   $$ \frac{OA}{OA'} = \frac{OM}{OM'} $$

   Conclusion : les deux rapports sont égaux au même rapport \(\frac{OA}{OA'}\), ils sont donc égaux entre eux :

   $$ \frac{OM}{OM'} = \frac{AB}{A'B'} $$
4. Calculer la distance \(OM'\), puis dire de combien l'écran est plus éloigné du rétroprojecteur que le tableau.
   $$ \frac{OM}{OM'} = \frac{AB}{A'B'} $$

   $$ \frac{1}{OM'} = \frac{2}{5} $$

   Avec un produit en croix, on obtient :

   $$ OM' = \frac{5 \times 1}{2} $$

   $$ OM' = 2.5 \ \text{m} $$

   L'écran est donc à \(2.5 - 1 = 1.5 \ \text{m}\) plus loin que le tableau.

Les triangles imbriqués par l'extérieur

On dispose de la figure suivante, où les droites \((AB')\) et \((A'B)\) se coupent en \(O\) :

1. On suppose les droites \((AB)\) et \((A'B')\) parallèles. Écrire les rapports égaux donnés par le théorème de Thalès.

   \(A\) se trouve sur la droite \((OB')\) et \(B\) sur la droite \((OA')\) :

   $$ (AB) \parallel (A'B') \Longrightarrow \frac{OA}{OB'} = \frac{OB}{OA'} = \frac{AB}{A'B'} $$
2. On quitte un instant la figure. Pour deux propositions \(P\) et \(Q\), on considère l'implication :
   $$ P \Longrightarrow Q $$
   Écrire sa contraposée.
   $$ \text{non}(Q) \Longrightarrow \text{non}(P) $$
3. De retour sur la figure, énoncer la contraposée du théorème de Thalès dans cette situation.

   Si deux des rapports \(\frac{OA}{OB'}\), \(\frac{OB}{OA'}\) et \(\frac{AB}{A'B'}\) sont différents, alors les droites \((AB)\) et \((A'B')\) ne sont pas parallèles.

   $$ \frac{OA}{OB'} \neq \frac{AB}{A'B'} \Longrightarrow (AB) \nparallel (A'B') $$
4. Avec les longueurs suivantes, déterminer si les droites \((AB)\) et \((A'B')\) sont parallèles.
   $$ OA = 2 \quad \text{et} \quad OB = 2 \hspace{2em} OA' = 4 \quad \text{et} \quad OB' = 4 \hspace{2em} AB = \frac{3}{2} \quad \text{et} \quad A'B' = \frac{7}{2} $$

   Étape 1 : Calculer les rapports \(\frac{OA}{OB'}\), \(\frac{OB}{OA'}\) et \(\frac{AB}{A'B'}\).

   Étape 2 : Comparer ces trois rapports.

   Conclure :

   Étape 1 :

   $$ \frac{OA}{OB'} = \frac{2}{4} $$

   $$ \frac{OA}{OB'} = \frac{1}{2} $$

   $$ \frac{OB}{OA'} = \frac{2}{4} $$

   $$ \frac{OB}{OA'} = \frac{1}{2} $$

   $$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{3}{\cancel{2}} \times \frac{\cancel{2}}{7} $$

   $$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{3}{7} $$

   Étape 2 :

   $$ \frac{OA}{OB'} = \frac{OB}{OA'} \neq \frac{AB}{A'B'} $$

   Conclusion : le dernier rapport n'est pas égal aux deux premiers ; d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites \((AB)\) et \((A'B')\) ne sont pas parallèles.

Le rapport de Tom

Sur la figure, les points \(A\), \(B\) et \(D\) sont alignés, ainsi que les points \(A\), \(C\) et \(E\), et les droites \((BC)\) et \((DE)\) sont parallèles.

Tom cherche la longueur \(DE\) et écrit :

1. Expliquer pourquoi le rapport \(\frac{AB}{BD}\) n'a pas sa place dans l'égalité de Thalès.

   Le théorème compare les côtés du petit triangle \(ABC\) à ceux du grand triangle \(ADE\), en partant du sommet commun \(A\) : \(AB\) se compare à \(AD\). Le segment \(\bigl[BD\bigr]\) n'est un côté d'aucun des deux triangles.

2. Calculer la longueur \(AD\), puis la longueur \(DE\).
   $$ AD = AB + BD = 4 + 6 = 10 \ \text{cm} $$

   Les droites \((BC)\) et \((DE)\) sont parallèles ; d'après le théorème de Thalès :

   $$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} $$

   $$ \frac{4}{10} = \frac{3}{DE} $$

   Avec un produit en croix :

   $$ DE = \frac{10 \times 3}{4} $$

   $$ DE = 7.5 \ \text{cm} $$
3. Dans cette même figure, calculer la longueur \(AE\), puis la longueur \(CE\).
   $$ \frac{4}{10} = \frac{5}{AE} $$

   $$ AE = \frac{10 \times 5}{4} = 12.5 \ \text{cm} $$

   $$ CE = AE - AC = 12.5 - 5 $$

   $$ CE = 7.5 \ \text{cm} $$

L'entrait de l'abri de jardin

Vue de face, la charpente d'un abri de jardin est un triangle \(SAB\) posé au sol \((AB)\). Ses deux chevrons n'ont pas la même longueur : \(SA = 3.2 \ \text{m}\) et \(SB = 2.4 \ \text{m}\). Une poutre, l'entrait \(\bigl[MN\bigr]\), relie les deux chevrons : \(M\) est sur \(\bigl[SA\bigr]\) avec \(SM = 2 \ \text{m}\), \(N\) est sur \(\bigl[SB\bigr]\) avec \(SN = 1.5 \ \text{m}\), et l'entrait mesure \(MN = 2.5 \ \text{m}\).

1. Démontrer que l'entrait \((MN)\) est parallèle au sol \((AB)\).

   Étape 1 : Calculer le rapport \(\frac{SM}{SA}\).

   Étape 2 : Calculer le rapport \(\frac{SN}{SB}\).

   Conclure :

   Étape 1 : sur le chevron \(\bigl[SA\bigr]\) :

   $$ \frac{SM}{SA} = \frac{2}{3.2} = 0.625 $$

   Étape 2 : sur le chevron \(\bigl[SB\bigr]\) :

   $$ \frac{SN}{SB} = \frac{1.5}{2.4} = 0.625 $$

   Conclusion : les deux rapports sont égaux, et les points \(S\), \(M\), \(A\) sont alignés dans le même ordre que les points \(S\), \(N\), \(B\) ; d'après la réciproque du théorème de Thalès :

   $$ (MN) \parallel (AB) $$
2. En déduire la largeur \(AB\) de l'abri au sol.

   Les droites \((MN)\) et \((AB)\) étant parallèles, le théorème de Thalès donne :

   $$ \frac{SM}{SA} = \frac{MN}{AB} \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 0.625 = \frac{2.5}{AB} $$

   $$ AB = \frac{2.5}{0.625} $$

   $$ AB = 4 \ \text{m} $$
3. Pour gagner de la hauteur sous l'entrait, le charpentier le remonte : il fixe maintenant \(M\) à \(1.6 \ \text{m}\) de \(S\). Calculer à quelle distance de \(S\) il doit fixer \(N\) pour que ce nouvel entrait reste parallèle au sol, puis la longueur de poutre nécessaire.

   Pour que l'entrait soit parallèle au sol, le rapport sur \(\bigl[SB\bigr]\) doit être le même que sur \(\bigl[SA\bigr]\) :

   $$ \frac{SM}{SA} = \frac{1.6}{3.2} = 0.5 $$

   $$ \frac{SN}{SB} = 0.5 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} SN = 0.5 \times 2.4 = 1.2 \ \text{m} $$

   L'entrait est alors parallèle au sol, et le théorème de Thalès donne sa longueur :

   $$ \frac{MN}{AB} = 0.5 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} MN = 0.5 \times 4 = 2 \ \text{m} $$

   $$ SN = 1.2 \ \text{m} \quad \text{et} \quad MN = 2 \ \text{m} $$
4. Un voisin a construit le même abri, mais a fixé son entrait avec \(SM = 2 \ \text{m}\) et \(SN = 1.6 \ \text{m}\). Dire si l'entrait du voisin est parallèle au sol.

   Étape 1 : Calculer le rapport \(\frac{SM}{SA}\).

   Étape 2 : Calculer le rapport \(\frac{SN}{SB}\).

   Conclure :

   Étape 1 : sur le chevron \(\bigl[SA\bigr]\) :

   $$ \frac{SM}{SA} = \frac{2}{3.2} = 0.625 $$

   Étape 2 : sur le chevron \(\bigl[SB\bigr]\) :

   $$ \frac{SN}{SB} = \frac{1.6}{2.4} = \frac{2}{3} \approx 0.667 $$

   Conclusion : les deux rapports sont différents ; d'après la contraposée du théorème de Thalès :

   $$ (MN) \text{ n'est pas parallèle à } (AB) $$

Le placard sous l'escalier

Vu de côté, le dessous d'un escalier forme un triangle \(OAB\) rectangle en \(O\), avec \(OA = 3.6 \ \text{m}\) au sol et \(OB = 2.4 \ \text{m}\) le long du mur. Un menuisier y construit un placard rectangulaire \(OMPN\), de largeur \(x = OM\) et de hauteur \(y = MP\), dont le coin \(P\) touche le dessous de l'escalier.

1. Sur la figure, \(x = 1.2 \ \text{m}\). Justifier que les droites \((MP)\) et \((OB)\) sont parallèles, puis calculer la hauteur \(y\) du placard et son aire.

   Les droites \((MP)\) et \((OB)\) sont toutes deux perpendiculaires au sol \((OA)\) : elles sont parallèles.

   Les points \(A\), \(M\), \(O\) sont alignés, ainsi que les points \(A\), \(P\), \(B\), et \((MP) \parallel (OB)\) ; d'après le théorème de Thalès :

   $$ \frac{AM}{AO} = \frac{AP}{AB} = \frac{MP}{OB} $$

   Avec \(AM = 3.6 - 1.2 = 2.4 \ \text{m}\) :

   $$ \frac{2.4}{3.6} = \frac{y}{2.4} \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} y = \frac{2.4 \times 2.4}{3.6} $$

   $$ y = 1.6 \ \text{m} $$

   $$ \mathcal{A} = 1.2 \times 1.6 $$

   $$ \mathcal{A} = 1.92 \ \text{m}^2 $$
2. Pour une largeur \(x\) quelconque, comprise entre \(0\) et \(3.6 \ \text{m}\), montrer que \(y = 2.4 - \frac{2}{3}x\). Compléter ensuite le tableau, puis conjecturer la largeur du plus grand placard.

   largeur \(x\) \(\bigl[\text{m}\bigr]\)	\(0.6\)	\(1.2\)	\(1.8\)	\(2.4\)	\(3\)
   hauteur \(y\) \(\bigl[\text{m}\bigr]\)	\(2\)	\(1.6\)
   aire \(\bigl[\text{m}^2\bigr]\)	\(1.2\)	\(1.92\)

   Étape 1 : Exprimer la longueur \(AM\) en fonction de \(x\).

   Étape 2 : Écrire une égalité reliant \(x\) et \(y\).

   Conclure :

   Étape 1 : \(AM = 3.6 - x\).

   Étape 2 : le même raisonnement qu'à la question 1 donne :

   $$ \frac{3.6 - x}{3.6} = \frac{y}{2.4} $$

   Conclusion : on isole \(y\), puis on développe :

   $$ y = \frac{2.4}{3.6} \times (3.6 - x) = \frac{2}{3} \times (3.6 - x) $$

   $$ y = 2.4 - \frac{2}{3}x $$

   largeur \(x\) \(\bigl[\text{m}\bigr]\)	\(0.6\)	\(1.2\)	\(1.8\)	\(2.4\)	\(3\)
   hauteur \(y\) \(\bigl[\text{m}\bigr]\)	\(2\)	\(1.6\)	\(1.2\)	\(0.8\)	\(0.4\)
   aire \(\bigl[\text{m}^2\bigr]\)	\(1.2\)	\(1.92\)	\(2.16\)	\(1.92\)	\(1.2\)

   Les aires augmentent puis diminuent, de part et d'autre de \(x = 1.8\). On conjecture que le plus grand placard est obtenu pour :

   $$ x = 1.8 \ \text{m} $$
3. Démontrer que, pour toute largeur \(x\), l'aire du placard vaut \(2.16 - \frac{2}{3}(x - 1.8)^2\), puis en déduire les dimensions du plus grand placard.

   Étape 1 : Exprimer l'aire du placard en fonction de \(x\), sous forme développée.

   Étape 2 : Développer \(2.16 - \frac{2}{3}(x - 1.8)^2\).

   Étape 3 : Déterminer la plus grande aire possible du placard, et la largeur qui la donne.

   Conclure :

   Étape 1 : d'une part, l'aire du placard vaut :

   $$ \mathcal{A} = x \times \left( 2.4 - \frac{2}{3}x \right) = 2.4x - \frac{2}{3}x^2 $$

   Étape 2 : d'autre part, avec la deuxième identité remarquable :

   $$ 2.16 - \frac{2}{3}(x - 1.8)^2 = 2.16 - \frac{2}{3}\left( x^2 - 3.6x + 3.24 \right) = 2.16 - \frac{2}{3}x^2 + 2.4x - 2.16 $$

   On retrouve \(2.4x - \frac{2}{3}x^2\) : les deux expressions sont égales.

   Étape 3 : un carré est positif ou nul, donc l'aire s'obtient en retranchant à \(2.16\) un nombre positif ou nul. Elle ne dépasse jamais \(2.16 \ \text{m}^2\), et n'atteint cette valeur que si \(x - 1.8 = 0\).

   Conclusion : le plus grand placard a pour largeur \(x = 1.8\) et pour hauteur \(y = 2.4 - \frac{2}{3} \times 1.8 = 1.2\) :

   $$ x = 1.8 \ \text{m} \quad \text{et} \quad y = 1.2 \ \text{m} $$

   Le plus grand placard a une aire de \(2.16 \ \text{m}^2\), et la conjecture est démontrée.

4. Le menuisier affirme : « Sous n'importe quel escalier, le plus grand placard occupe exactement la moitié de la place. » Vérifier son affirmation pour cet escalier, puis la démontrer pour un escalier quelconque, avec \(OA = a\) et \(OB = b\). On pourra s'inspirer de la question 3, avec \(\frac{a}{2}\) à la place de \(1.8\).

   Étape 1 : Comparer, pour cet escalier, l'aire du plus grand placard à celle du triangle \(OAB\).

   Étape 2 : Exprimer l'aire d'un placard de largeur \(x\) en fonction de \(a\), \(b\) et \(x\).

   Étape 3 : Montrer que cette aire vaut \(\frac{ab}{4} - \frac{b}{a}\left( x - \frac{a}{2} \right)^2\).

   Étape 4 : Déterminer la plus grande aire possible du placard.

   Conclure :

   Étape 1 : la place sous l'escalier est l'aire du triangle \(OAB\), rectangle en \(O\) :

   $$ \frac{3.6 \times 2.4}{2} = 4.32 \ \text{m}^2 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{4.32}{2} = 2.16 \ \text{m}^2 $$

   Pour cet escalier, le plus grand placard occupe bien la moitié de la place.

   Étape 2 : pour un escalier quelconque, le théorème de Thalès donne, comme à la question 2 :

   $$ \frac{a - x}{a} = \frac{y}{b} \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} y = \frac{b}{a} \times (a - x) = b - \frac{b}{a}x $$

   $$ \mathcal{A} = x \times y = bx - \frac{b}{a}x^2 $$

   Étape 3 : on développe, comme à la question 3 :

   $$ \frac{ab}{4} - \frac{b}{a}\left( x - \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{ab}{4} - \frac{b}{a}\left( x^2 - ax + \frac{a^2}{4} \right) = \frac{ab}{4} - \frac{b}{a}x^2 + bx - \frac{ab}{4} $$

   On retrouve \(\mathcal{A}\).

   Étape 4 : comme \(\frac{b}{a}\) est positif et qu'un carré est positif ou nul, l'aire est la plus grande pour \(x = \frac{a}{2}\), et vaut alors \(\frac{ab}{4}\).

   Conclusion : \(\frac{ab}{4}\) est la moitié de l'aire \(\frac{ab}{2}\) du triangle.

   $$ \text{le menuisier a raison} $$

   Le coin \(P\) du plus grand placard est alors le milieu du dessous de l'escalier \(\bigl[AB\bigr]\).

Les ombres sous les lampadaires

Le soir, un lampadaire de \(4.8 \ \text{m}\) éclaire la rue depuis son sommet \(L\). Théo, qui mesure \(1.6 \ \text{m}\), se tient debout en \(F\), à \(6 \ \text{m}\) du pied \(O\) du lampadaire. Le rayon qui frôle le sommet \(E\) de sa tête touche le sol en \(T\) : \(\bigl[FT\bigr]\) est son ombre, de longueur \(s\).

1. Calculer la longueur \(s\) de l'ombre de Théo, puis vérifier au compas sur la figure, tracée à l'échelle, en comparant \(FT\) à \(OF\).

   Le lampadaire et Théo sont verticaux : les droites \((OL)\) et \((FE)\) sont parallèles. Les points \(T\), \(F\), \(O\) sont alignés, ainsi que les points \(T\), \(E\), \(L\) ; d'après le théorème de Thalès :

   $$ \frac{TF}{TO} = \frac{TE}{TL} = \frac{FE}{OL} $$

   $$ \frac{s}{s + 6} = \frac{1.6}{4.8} = \frac{1}{3} $$

   Avec un produit en croix :

   $$ 3s = s + 6 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 2s = 6 $$

   $$ s = 3 \ \text{m} $$

   Vérification : sur la figure, la longueur \(FT\) se reporte exactement deux fois au compas sur \(\bigl[OF\bigr]\), et \(6 = 2 \times 3\).

2. Théo s'éloigne du lampadaire en ligne droite. Montrer que, lorsqu'il est à \(x\) mètres du pied du lampadaire, son ombre mesure \(\frac{x}{2}\). S'il marche à \(1.2 \ \text{m/s}\), à quelle vitesse avance l'extrémité \(T\) de son ombre ?

   Étape 1 : Exprimer la longueur \(TO\) en fonction de \(s\) et de \(x\).

   Étape 2 : Écrire une égalité reliant \(s\) et \(x\).

   Conclure :

   Étape 1 : \(TO = s + x\).

   Étape 2 : le théorème de Thalès s'applique de la même façon qu'à la question 1 :

   $$ \frac{s}{s + x} = \frac{1}{3} $$

   Conclusion : avec un produit en croix :

   $$ 3s = s + x \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 2s = x $$

   $$ s = \frac{x}{2} $$

   L'extrémité de l'ombre est alors à la distance \(OT = x + \frac{x}{2} = 1.5x\) du pied du lampadaire. Chaque seconde, \(x\) augmente de \(1.2 \ \text{m}\), donc \(OT\) augmente de \(1.5 \times 1.2 = 1.8 \ \text{m}\) :

   $$ 1.8 \ \text{m/s} $$

   L'extrémité de l'ombre va plus vite que Théo : son ombre s'allonge de \(0.6 \ \text{m}\) chaque seconde.

3. On change de rue : deux lampadaires identiques de \(4.8 \ \text{m}\), de pieds \(A\) et \(B\), sont distants de \(20 \ \text{m}\). Théo se tient en \(F\), entre \(A\) et \(B\), et chaque lampadaire lui donne une ombre. Démontrer que la longueur totale de ses deux ombres ne dépend pas de l'endroit où il se tient.

   Étape 1 : Exprimer la longueur de chacune des deux ombres, en notant \(x = AF\).

   Étape 2 : Calculer la longueur totale des deux ombres.

   Conclure :

   Étape 1 : on note \(x = AF\), donc \(FB = 20 - x\). D'après la question 2, le lampadaire \(A\) donne à Théo une ombre de \(\frac{x}{2}\) mètres, et le lampadaire \(B\), dont il est à \(20 - x\) mètres, une ombre de \(\frac{20 - x}{2}\) mètres.

   Étape 2 : ensemble :

   $$ \frac{x}{2} + \frac{20 - x}{2} = \frac{x + 20 - x}{2} = \frac{20}{2} $$

   $$ \text{longueur totale} = 10 \ \text{m} $$

   Conclusion : le résultat ne contient plus \(x\) : il est le même partout entre les deux lampadaires.

4. Un autre soir, Théo passe près d'un lampadaire dont il ignore la hauteur, et dont une grille l'empêche d'approcher. Son ombre mesure \(2 \ \text{m}\) ; il recule de \(3 \ \text{m}\) en s'éloignant du lampadaire, et son ombre mesure alors \(2.75 \ \text{m}\). Déterminer la hauteur du lampadaire, et la distance qui l'en séparait au départ.

   On note \(h\) la hauteur du lampadaire et \(d\) la distance de départ entre Théo et son pied. Dans chaque position, le théorème de Thalès donne, comme à la question 1 :

   $$ \frac{2}{2 + d} = \frac{1.6}{h} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{2.75}{2.75 + d + 3} = \frac{1.6}{h} $$

   Les deux premiers rapports sont égaux au même rapport \(\frac{1.6}{h}\), donc égaux entre eux :

   $$ \frac{2}{2 + d} = \frac{2.75}{5.75 + d} $$

   Avec un produit en croix :

   $$ 2 \times (5.75 + d) = 2.75 \times (2 + d) $$

   $$ 11.5 + 2d = 5.5 + 2.75d $$

   $$ 6 = 0.75d \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} d = \frac{6}{0.75} $$

   $$ d = 8 \ \text{m} $$

   On revient à la première égalité :

   $$ \frac{2}{10} = \frac{1.6}{h} \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} h = \frac{10 \times 1.6}{2} $$

   $$ h = 8 \ \text{m} $$

   Vérification avec la seconde position : \(\frac{2.75}{13.75} = 0.2\) et \(\frac{1.6}{8} = 0.2\).