Problèmes sur le théorème de Thalès

La distance au viaduc

Un observateur tente de déterminer approximativement la distance qui le sépare du point.

Pour cela, il a planté un piquet parallèle au pont, et a mesuré les distances présentes sur le schéma suivant :

De plus, il sait que ce viaduc mesure \(150 \ m\).

Calculer les deux distances qui le sépare du pont (à gauche et à droite).

Ajustement du rétroprojecteur

En salle de classe, on dispose d'un rétroprojecteur situé à une distance :

La largeur projettée sur le tableau est elle de :

Pour mettre ce rétroprojecteur en mode cinéma, on a besoin que l'image projettée \(\bigl[ A'B' \bigr]\) soit de \(5 \ m\).

1. Écrire les rapports de longueur grâce au théorème de Thalès dans le triangle \(OA'B'\).
   $$ \frac{\bigl[OA\bigr]}{\bigl[OA'\bigr]} = \frac{\bigl[OB\bigr]}{\bigl[OB'\bigr]} = \frac{\bigl[AB\bigr]}{\bigl[A'B'\bigr]} $$
2. Écrire maintenant les rapports de longueur dans le triangle \(OA'M'\).
   $$ \frac{\bigl[OA\bigr]}{\bigl[OA'\bigr]} = \frac{\bigl[OM\bigr]}{\bigl[OM'\bigr]} = \frac{\bigl[AM\bigr]}{\bigl[A'M'\bigr]} $$
3. Justifier alors le fait que :
   $$ \frac{\bigl[OM\bigr]}{\bigl[OM'\bigr]} = \frac{\bigl[AB\bigr]}{\bigl[A'B'\bigr]} $$

   Dans la première relation on tire que :

   $$ \frac{\bigl[OA\bigr]}{\bigl[OA'\bigr]} = \frac{\bigl[AB\bigr]}{\bigl[A'B'\bigr]} $$

   Et dans la seconde que :

   $$ \frac{\bigl[OA\bigr]}{\bigl[OA'\bigr]} = \frac{\bigl[OM\bigr]}{\bigl[OM'\bigr]} $$

   Les deux rapports étant égal au même rapport \(\frac{\bigl[OA\bigr]}{\bigl[OA'\bigr]}\), ils sont égaux entre eux. Donc :

   $$ \frac{\bigl[OM\bigr]}{\bigl[OM'\bigr]} = \frac{\bigl[AB\bigr]}{\bigl[A'B'\bigr]} $$
4. Effecteur maintenant l'application numérique et en déduire \(\bigl[A'B'\bigr]\).
   $$ \frac{\bigl[OM\bigr]}{\bigl[OM'\bigr]} = \frac{\bigl[AB\bigr]}{\bigl[A'B'\bigr]} $$

   $$ \frac{1}{\bigl[OM'\bigr]} = \frac{2}{5} $$

   Avec un produit en croix, on obtient que :

   $$ \bigl[OM'\bigr] = \frac{5 \times 1}{2} $$

   $$ \bigl[OM'\bigr] = 2.5 \ m $$

Le théorème de Thalès avec deux triangles imbriqués par l'extérieur

On dispose de la figure suivante :

1. Si les droites \((AB)\) et \((A'B')\) sont parallèles, énoncer le théorème de Thalès correspondant.
   $$ (AB) \parallel (A'B') \Longrightarrow \frac{OA}{OB'} = \frac{OB}{OA'} = \frac{AB}{A'B'} $$
2. Dans un cas général, avec deux propositions logiques \(A\) et \(B\). Si on a l'implication suivante :
   $$ A \Longrightarrow B $$

   Quelle est sa contraposée ?

   $$ non(B) \Longrightarrow non(A) $$
3. Énoncer maintenant la contraposée du théorème de Thalès dans cette situation.

   La contraposée du théorème de Thalès nous dit dans ce cas que :

   Si au moins une des deux égalités est fausse, alors les droites \((AB)\) et \((A'B')\) ne sont pas parallèles entre elles :

   $$ \Biggl[ \left(\frac{OA}{OB'} \neq \frac{OB}{OA'} \right) \text{ ou } \left(\frac{OA}{OB'} \neq \frac{AB}{A'B'} \right) \text{ ou } \left(\frac{OB}{OA'} \neq \frac{AB}{A'B'} \right) \Biggr] \Longrightarrow (AB) \xcancel{\parallel} (A'B') $$

   .

4. Enfin, vérifier ces les droites \((AB)\) et \((A'B')\) sont parallèles avec les valeurs suivantes :
   $$ \left \{ \begin{gather*} \bigl[ OA\bigr] = 2, \ \bigl[ OB\bigr] = 2, \\ \\ \bigl[ OA'\bigr] = 4, \ \bigl[ OB'\bigr] = 4, \\ \\ \bigl[ AB\bigr] = \frac{3}{2}, \ \bigl[ A'B'\bigr] = \frac{7}{2} \end{gather*} \right \} $$

   Calculons les différents rapports et comparons-les :

   $$ \frac{OA}{OB'} = \frac{2}{4} $$

   $$ \frac{OA}{OB'} = \frac{\cancel{2} \times 1}{\cancel{2} \times 2} $$

   $$ \frac{OA}{OB'} = \frac{1}{2} $$

   $$ \frac{OB}{OA'} = \frac{2}{4} $$

   $$ \frac{OB}{OA'} = \frac{1}{2} $$

   $$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{2}} $$

   $$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{3}{\cancel{2}} \times \frac{\cancel{2}}{7} $$

   $$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{3}{7} $$

   $$ \frac{OA}{OB'} = \frac{OB}{OA'} \neq \frac{AB}{A'B'} $$

   Le dernier rapport n'est pas égal aux deux premiers, alors les droites \((AB)\) et \((A'B')\) ne sont pas parallèles entre elles .