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Sur un télésiège, tous les sièges suivent le même déplacement : même direction, même sens, même longueur. Aucun ne tourne, aucun ne grandit.
Décrire ce déplacement demande trois renseignements, et trois seulement. C'est ce que résume une flèche, appelée vecteur, et le glissement qu'elle décrit s'appelle une translation.
Un vecteur ne dit pas où l'on est, mais de combien on se déplace - deux sièges éloignés partagent pourtant le même vecteur.
La translation
La translation qui transforme A en B
L'image d'un point \(M\) par la translation qui transforme \(A\) en \(B\) est le point \(M'\) tel que \(ABM'M\) soit un parallélogramme.
Autrement dit, le segment \(\left[MM'\right]\) a la même direction, le même sens et la même longueur que \(\left[AB\right]\). Une translation conserve les longueurs, les angles et les aires : la figure glisse sans se déformer.
Le vecteur
Un vecteur
Le vecteur \(\vec{AB}\) est le déplacement qui mène de \(A\) à \(B\). Il est défini par une direction, un sens et une longueur.
Deux vecteurs qui ont ces trois caractéristiques en commun sont égaux, où qu'ils soient dessinés : \(\vec{AB} = \vec{CD}\) signifie exactement que \(ABDC\) est un parallélogramme.
Deux cas se retiennent à part, et reviennent sans cesse dans les calculs :
Le vecteur nul ne déplace rien, et l'opposé d'un vecteur revient au point de départ.
Enchaîner deux translations
Glisser de \(A\) à \(B\), puis de \(B\) à \(C\), revient à glisser directement de \(A\) à \(C\). C'est ce qu'écrit la relation de Chasles :
La lettre du milieu disparaît : c'est elle qui signale que les deux vecteurs s'enchaînent bout à bout.
Simplifions cette somme :
Mettre en pratique
Un damier : une pièce va de la case \(A\) à la case \(B\) en avançant de trois cases vers la droite et deux vers le haut. Une seconde pièce part de \(C\) et subit le même déplacement.
\(ABDC\) est alors un parallélogramme : les deux pièces ont bien suivi la même translation.