La trigonométrie en troisième

Sinus, cosinus, tangente : trois rapports de côtés qui permettent, dans un triangle rectangle, de retrouver un angle.

Repérer le côté opposé, le côté adjacent et l'hypoténuse pour un angle donné
Écrire le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle aigu
Retrouver un angle à la calculatrice, réglée en degrés

Un panneau routier annonce une descente à $10 \ \%$ : la route perd $10 \ \text{m}$ de hauteur sur $100 \ \text{m}$ parcourus à l'horizontale.

$$ \tan(\alpha) = 0.10 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} \alpha \simeq 5.7° $$

Le panneau donne un rapport de longueurs ; la trigonométrie en fait un angle.

Dans un triangle rectangle, un angle suffit à connaître le rapport de deux côtés, et réciproquement.

Les trois relations trigonométriques fondamentales

Les règles de trigonométrie s'appliquent toujours dans un triangle rectangle.

Papier millimetre — un triangle rectangle avec un angle $\alpha$

Relativement à un angle $\alpha$, on a toujorus les trois relations suivantes :

$$\sin(\alpha) = \frac{\bigl[\text{opposé}\bigr]}{\bigl[\text{hypoténuse}\bigr]} $$

$$\cos(\alpha) = \frac{\bigl[\text{adjacent}\bigr]}{\bigl[\text{hypoténuse}\bigr]} $$

$$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\bigl[\text{opposé}\bigr]}{\bigl[\text{adjacent}\bigr]} $$

Astuce : On peut utiliser le moyen mnémotechnique : $SOH-CAH-TOA$.

Exemple :

Dans le triangle rectangle suivant :

et pour les valeurs suivantes :

$$ \Bigl \{ a = 3, \ b = 4, \ c = 5 \Bigr \}$$

On aura les relations suivantes pour l'angle $\alpha$ :

$$ \sin(\alpha) = \frac{a}{c} $$

$$ \sin(\alpha) = \frac{3}{5} $$

$$\cos(\alpha) = \frac{b}{c} $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{4}{5} $$

$$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} $$

$$ \tan(\alpha) = \frac{3}{4} $$

Retrouver un angle à partir d'une relation fondamentale

Pour faire apparaître un angle alors que l'on dispose uniquement d'une des trois relations ($\sin$, $\cos$ ou $\tan$), on doit utiliser les fonctions trigonométriques réciproques : $\operatorname{Arcsin}$, $\operatorname{Arccos}$ ou $\operatorname{Arctan}$ (notées aussi $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ ou $\tan^{-1}$).

Attention : ne pas confondre avec la notation $x^{-1}$ qui signifie $\frac{1}{x}$ (l'inverse de $x$).

Exemple :

En reprenant l'exemple précédent :

on avait trouvé les relations fondamentales suivantes sur $\alpha$ :

$$ \sin(\alpha) = \frac{3}{5} $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{4}{5} $$

$$ \tan(\alpha) = \frac{3}{4} $$

Alors, leur applique respectivement leur fonction inverse pour en déduire la valeur de l'angle $\alpha$ :

$$ \textcolor{rgb(213 140 57)}{\operatorname{Arcsin}\Bigl(}\sin(\alpha)\textcolor{rgb(213 140 57)}{\Bigr)} = \textcolor{rgb(213 140 57)}{\operatorname{Arcsin}\biggl(}\frac{3}{5}\textcolor{rgb(213 140 57)}{\biggr)} $$

$$ \alpha \approx 36.87 \text{ °}$$

$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{\operatorname{Arccos}\Bigl(}\cos(\alpha)\textcolor{rgb(93 183 129)}{\Bigr)} = \textcolor{rgb(54 152 46)}{\operatorname{Arccos}\biggl(}\frac{4}{5}\textcolor{rgb(93 183 129)}{\biggr)} $$

$$ \alpha \approx 36.87 \text{ °}$$

$$ \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\operatorname{Arctan}\Bigl(}\tan(\alpha)\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Bigr)} = \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\operatorname{Arctan}\biggl(}\frac{3}{4}\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\biggr)} $$

$$ \alpha \approx 36.87 \text{ °}$$

Ces trois fonctions rendent un angle : encore faut-il que la calculatrice le donne en degrés.

Attention : un résultat de $0.64$ au lieu de $36.87$ signale que la calculatrice n'est pas réglée en degrés. Le mode se change dans ses paramètres, et l'écran affiche alors $\text{DEG}$ ou $\text{D}$.