Problèmes sur la trigonométrie en troisième

Une route en pente, une échelle de pompiers : dans un triangle rectangle, un angle et une longueur suffisent à connaître tout le reste.

Choisir la relation trigonométrique adaptée aux côtés connus.
Calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle.
Décider, par le calcul, si une contrainte d'angle est respectée.

Jamais deux sans trois

Dans un triangle rectangle, il suffit de connaître :

une longueur et un angle pour déterminer une autre longueur ;
deux longueurs pour déterminer un angle.

Dans chacun des cas suivants, les données sont écrites sous la figure. Les résultats sont arrondis au centième.

Une longueur et un angle sont connus
1. À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la longueur $BC$.
  
  un triangle rectangle $ABC$
  
  $$ \textcolor{rgb(213 140 57)}{AB = 3 \quad \text{et} \quad \widehat{C} = 30°} $$
  
  Par rapport à $\widehat{C}$, $AB$ est le côté opposé et $BC$ l'hypoténuse :
  
  $$ \sin(\widehat{C}) = \frac{AB}{BC} $$
  
  $$ BC = \frac{AB}{\sin(\widehat{C})} = \frac{3}{\sin(30°)} = \frac{3}{0.5} $$
  
  $$ BC = 6 $$
2. À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la longueur $c$.
  
  un triangle rectangle de côtés $a$, $b$ et $c$
  
  $$ \textcolor{rgb(213 140 57)}{a = 9 \quad \text{et} \quad \beta = 45°} $$
  
  Par rapport à $\beta$, $c$ est le côté adjacent et $a$ l'hypoténuse :
  
  $$ \cos(\beta) = \frac{c}{a} $$
  
  $$ c = a \times \cos(\beta) = 9 \times \cos(45°) $$
  
  $$ c \approx 6.36 $$
3. À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer la longueur $BC$.
  
  un triangle rectangle $ABC$
  
  $$ \textcolor{rgb(213 140 57)}{AC = 4 \quad \text{et} \quad \widehat{A} = 30°} $$
  
  Par rapport à $\widehat{A}$, $BC$ est le côté opposé et $AC$ le côté adjacent :
  
  $$ \tan(\widehat{A}) = \frac{BC}{AC} $$
  
  $$ BC = AC \times \tan(\widehat{A}) = 4 \times \tan(30°) $$
  
  $$ BC \approx 2.31 $$
Deux longueurs sont connues (calculatrice réglée en degrés)
1. À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer l'angle $\widehat{C}$.
  
  un triangle rectangle $ABC$
  
  $$ \textcolor{rgb(213 140 57)}{BC = 6 \quad \text{et} \quad AC = 10} $$
  
  Par rapport à $\widehat{C}$, $BC$ est le côté adjacent et $AC$ l'hypoténuse :
  
  $$ \cos(\widehat{C}) = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{10} $$
  
  $$ \widehat{C} = \operatorname{Arccos}\left( \frac{6}{10} \right) $$
  
  $$ \widehat{C} \approx 53.13° $$
2. À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer l'angle $\alpha$.
  
  un triangle rectangle de côtés $a$, $b$ et $c$
  
  $$ \textcolor{rgb(213 140 57)}{a = 3 \quad \text{et} \quad c = 5} $$
  
  Par rapport à $\alpha$, $a$ est le côté opposé et $c$ l'hypoténuse :
  
  $$ \sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{3}{5} $$
  
  $$ \alpha = \operatorname{Arcsin}\left( \frac{3}{5} \right) $$
  
  $$ \alpha \approx 36.87° $$
3. À l'aide d'une relation trigonométrique, déterminer l'angle $\beta$.
  
  un triangle rectangle de côtés $a$, $b$ et $c$
  
  $$ \textcolor{rgb(213 140 57)}{a = 5 \quad \text{et} \quad b = 6} $$
  
  Par rapport à $\beta$, $b$ est le côté opposé et $a$ le côté adjacent :
  
  $$ \tan(\beta) = \frac{b}{a} = \frac{6}{5} $$
  
  $$ \beta = \operatorname{Arctan}\left( \frac{6}{5} \right) $$
  
  $$ \beta \approx 50.19° $$

La route à 10 %

Sur la route pour aller au ski, un panneau annonce une pente de $10 \ \%$ : la route s'élève de $10 \ \text{m}$ pour $100 \ \text{m}$ parcourus à l'horizontale.

Sur le schéma, $L$ est la distance parcourue à l'horizontale, $h$ la hauteur gagnée, $D$ la longueur de route et $\alpha$ l'angle entre la route et l'horizontale. On prend $L = 500 \ \text{m}$.

À l'aide de la pente, calculer la hauteur $h$.

La pente est le rapport de la hauteur gagnée à la distance horizontale :

$$ \frac{h}{500} = \frac{10}{100} $$

Avec un produit en croix :

$$ h = \frac{10 \times 500}{100} $$

$$ h = 50 \ \text{m} $$
Écrire la relation trigonométrique qui relie l'angle $\alpha$ aux seules longueurs $L$ et $h$.

Par rapport à $\alpha$, $h$ est le côté opposé et $L$ le côté adjacent :

$$ \tan(\alpha) = \frac{h}{L} $$
En déduire l'angle $\alpha$, arrondi au centième de degré.

$$ \tan(\alpha) = \frac{50}{500} = 0.1 $$

$$ \alpha = \operatorname{Arctan}(0.1) $$

À la calculatrice, réglée en degrés :

$$ \alpha \approx 5.71° $$
Connaissant l'angle $\alpha$, calculer la longueur de route $D$, arrondie au décimètre, par la relation de votre choix.

On garde la valeur de $\alpha$ donnée par la calculatrice, sans l'arrondir en cours de calcul.

$$ \sin(\alpha) = \frac{h}{D} $$

$$ D = \frac{50}{\sin(\alpha)} $$

$$ D \approx 502.5 \ \text{m} $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{L}{D} $$

$$ D = \frac{500}{\cos(\alpha)} $$

$$ D \approx 502.5 \ \text{m} $$
À l'aide du théorème de Pythagore, retrouver la longueur $D$ sans utiliser l'angle.

Le triangle est rectangle, d'hypoténuse $D$ :

$$ D^2 = L^2 + h^2 = 500^2 + 50^2 $$

$$ D^2 = 250 \ 000 + 2 \ 500 = 252 \ 500 $$

$$ D = \sqrt{252 \ 500} $$

$$ D \approx 502.5 \ \text{m} $$

Le cosinus de Lina

Le triangle $EFG$ est rectangle en $F$, avec $EG = 8 \ \text{cm}$ et $\widehat{E} = 40°$.

Lina cherche la longueur $FG$ et écrit :

$$ FG = 8 \times \cos(40°) \approx 6.13 \ \text{cm} $$

Nommer, par rapport à l'angle $\widehat{E}$, le rôle de chacun des côtés $\bigl[EG\bigr]$, $\bigl[FG\bigr]$ et $\bigl[EF\bigr]$.

$\bigl[EG\bigr]$ est l'hypoténuse, opposée à l'angle droit ; $\bigl[FG\bigr]$ est le côté opposé à $\widehat{E}$ ; $\bigl[EF\bigr]$ est le côté adjacent à $\widehat{E}$.
Expliquer l'erreur de Lina, puis calculer la longueur $FG$, arrondie au centième.

Le cosinus relie le côté adjacent à l'hypoténuse. Or $\bigl[FG\bigr]$ est le côté opposé à $\widehat{E}$ : c'est le sinus qui convient.

$$ \sin(\widehat{E}) = \frac{FG}{EG} $$

$$ FG = EG \times \sin(\widehat{E}) = 8 \times \sin(40°) $$

$$ FG \approx 5.14 \ \text{cm} $$
Le nombre trouvé par Lina est pourtant la longueur d'un côté de ce même triangle. Dire lequel, puis vérifier les deux longueurs avec le théorème de Pythagore.

$8 \times \cos(40°)$ donne le côté adjacent à $\widehat{E}$ :

$$ EF \approx 6.13 \ \text{cm} $$

Vérification, l'hypoténuse étant $EG$ :

$$ EF^2 + FG^2 \approx 6.13^2 + 5.14^2 \approx 37.58 + 26.42 = 64 = EG^2 $$

L'échelle des pompiers

Un camion de pompiers porte une grande échelle orientable, qui pivote en $P$, à $2.5 \ \text{m}$ au-dessus du sol. Une personne attend les secours à une fenêtre $F$ située à $28 \ \text{m}$ de hauteur. Pour que le camion reste stable, l'angle $\alpha$ entre l'échelle et l'horizontale ne doit pas dépasser $75°$.

On note $H$ le point de la façade situé à la même hauteur que $P$, et $d = PH$ la distance entre le pivot et la façade.

Justifier que le triangle $PHF$ est rectangle, puis calculer la longueur $HF$.

La façade est verticale et $\bigl[PH\bigr]$ est horizontal : le triangle $PHF$ est rectangle en $H$.

$$ HF = 28 - 2.5 $$

$$ HF = 25.5 \ \text{m} $$
L'échelle, déployée à $30 \ \text{m}$, touche exactement la fenêtre : $PF = 30 \ \text{m}$. Calculer l'angle $\alpha$, arrondi au dixième de degré, et dire si la règle de stabilité est respectée.

Par rapport à $\alpha$, $HF$ est le côté opposé et $PF$ l'hypoténuse :

$$ \sin(\alpha) = \frac{HF}{PF} = \frac{25.5}{30} = 0.85 $$

$$ \alpha = \operatorname{Arcsin}(0.85) $$

$$ \alpha \approx 58.2° $$

Comme $58.2° < 75°$, la règle de stabilité est respectée.
Dans cette même position, calculer la distance $d$ entre le pivot et la façade, arrondie au centimètre.

Dans le triangle $PHF$, rectangle en $H$, d'après le théorème de Pythagore :

$$ d^2 = PF^2 - HF^2 = 30^2 - 25.5^2 = 900 - 650.25 = 249.75 $$

$$ d = \sqrt{249.75} $$

$$ d \approx 15.80 \ \text{m} $$
On change de rue : dans une ruelle étroite, le camion se place avec son pivot à $d = 7 \ \text{m}$ de la façade, et l'on raccourcit l'échelle pour qu'elle touche la fenêtre, toujours à $28 \ \text{m}$ de hauteur. Dire si les pompiers peuvent intervenir.

Étape 1 : Calculer l'angle $\alpha$ que fait alors l'échelle avec l'horizontale.

Étape 2 : Vérifier la règle de stabilité.

Étape 3 : Vérifier que l'échelle est assez longue pour atteindre la fenêtre.

Conclure :

Étape 1 : cette fois, on connaît les deux côtés de l'angle droit : $HF = 25.5 \ \text{m}$, opposé à $\alpha$, et $PH = 7 \ \text{m}$, adjacent.

$$ \tan(\alpha) = \frac{25.5}{7} $$

$$ \alpha = \operatorname{Arctan}\left( \frac{25.5}{7} \right) \approx 74.6° $$

Étape 2 : comme $74.6° < 75°$, la règle est respectée, de justesse.

Étape 3 : l'échelle mesure alors $\sqrt{7^2 + 25.5^2} \approx 26.44 \ \text{m}$, moins que ses $30 \ \text{m}$.

Conclusion : les deux conditions sont remplies :

$$ \text{les pompiers peuvent intervenir} $$
Déterminer la distance minimale entre le pivot et la façade qui respecte la règle de stabilité, arrondie au centimètre.

Plus le camion est proche de la façade, plus l'angle est grand. La distance minimale correspond à $\alpha = 75°$ :

$$ \tan(75°) = \frac{25.5}{d} $$

$$ d = \frac{25.5}{\tan(75°)} \approx 6.833 \ \text{m} $$

On arrondit par excès : à $6.83 \ \text{m}$, l'angle dépasserait déjà $75°$.

$$ d_{\min} \approx 6.84 \ \text{m} $$

L'équerre à $30°$

Une équerre d'écolier a la forme d'un triangle $ABC$ rectangle en $C$, avec $\widehat{BAC} = 30°$ et $\widehat{ABC} = 60°$.

À la calculatrice, $\sin(30°) = 0.5$. Prévoir ce que cette valeur indique sur les longueurs $BC$ et $AB$, puis vérifier au compas sur la figure.

Par rapport à l'angle $\widehat{BAC}$, $\bigl[BC\bigr]$ est le côté opposé et $\bigl[AB\bigr]$ l'hypoténuse :

$$ \sin(\widehat{BAC}) = \frac{BC}{AB} = 0.5 $$

$$ AB = 2 \times BC $$

Vérification : l'écartement $BC$, reporté deux fois au compas sur $\bigl[AB\bigr]$ à partir de $B$, arrive exactement en $A$.
Sans calculatrice, démontrer que $\sin(30°) = \frac{1}{2}$ exactement. On pourra accoler à l'équerre une seconde équerre identique, symétrique de la première par rapport à la droite $(AC)$, et nommer $B'$ le symétrique de $B$.

Étape 1 : Montrer que $C$ est le milieu de $\bigl[BB'\bigr]$.

Étape 2 : Montrer que le triangle $ABB'$ est équilatéral.

Étape 3 : Exprimer $BC$ en fonction de $AB$.

Conclure :

Étape 1 : la symétrie conserve les longueurs et les angles : $CB' = CB$, $\widehat{AB'C} = 60°$ et $\widehat{B'AC} = 30°$.

Les angles $\widehat{BCA}$ et $\widehat{ACB'}$ sont droits, donc $\widehat{BCB'} = 180°$ : les points $B$, $C$, $B'$ sont alignés, et $C$ est le milieu de $\bigl[BB'\bigr]$.

Étape 2 : dans le triangle $ABB'$, les trois angles mesurent $60°$ : en $B$, en $B'$, et en $A$, où $\widehat{BAB'} = 30° + 30°$. Ce triangle est donc équilatéral, et $BB' = AB$.

Étape 3 : $C$ est le milieu de $\bigl[BB'\bigr]$, donc :

$$ BC = \frac{BB'}{2} = \frac{AB}{2} \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2} $$

Conclusion : dans le triangle $ABC$, rectangle en $C$, $\bigl[BC\bigr]$ est le côté opposé à l'angle $\widehat{BAC}$ et $\bigl[AB\bigr]$ l'hypoténuse :

$$ \sin(30°) = \frac{1}{2} $$
En déduire les valeurs exactes de $\cos(30°)$ et de $\tan(30°)$, puis les vérifier à la calculatrice.

Les rapports ne dépendent que de l'angle : on peut choisir l'unité de longueur pour que $BC = 1$, donc $AB = 2$. Dans le triangle $ABC$, rectangle en $C$, d'après le théorème de Pythagore :

$$ AC^2 = AB^2 - BC^2 = 4 - 1 = 3 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} AC = \sqrt{3} $$

Par rapport à l'angle $\widehat{BAC}$, $\bigl[AC\bigr]$ est le côté adjacent :

$$ \cos(30°) = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \tan(30°) = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

Vérification : $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ et $\cos(30°) \approx 0.866$ ; $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$ et $\tan(30°) \approx 0.577$.
On prolonge le côté $\bigl[CA\bigr]$ au-delà de $A$, jusqu'au point $D$ tel que $AD = AB$. Démontrer que $\widehat{ADB} = 15°$, puis que $\tan(15°) = 2 - \sqrt{3}$. On pourra calculer le produit $\bigl(2 + \sqrt{3}\bigr)\bigl(2 - \sqrt{3}\bigr)$.

Étape 1 : Calculer l'angle $\widehat{BAD}$.

Étape 2 : Calculer l'angle $\widehat{ADB}$.

Étape 3 : Exprimer $\tan(15°)$ à l'aide de $\sqrt{3}$, en prenant $BC = 1$.

Étape 4 : Montrer que $2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$.

Conclure :

Étape 1 : les points $C$, $A$, $D$ sont alignés, donc $\widehat{BAD} = 180° - \widehat{BAC} = 180° - 30° = 150°$.

Étape 2 : le triangle $ABD$ est isocèle en $A$, car $AD = AB$ : ses deux angles à la base sont égaux. Comme la somme des angles d'un triangle vaut $180°$ :

$$ \widehat{ADB} = \frac{180° - 150°}{2} $$

$$ \widehat{ADB} = 15° $$

Étape 3 : avec $BC = 1$, $AC = \sqrt{3}$ et $AD = AB = 2$, on a $CD = 2 + \sqrt{3}$. Dans le triangle $BCD$, rectangle en $C$, l'angle en $D$ mesure $15°$ ; $\bigl[BC\bigr]$ lui est opposé et $\bigl[CD\bigr]$ adjacent :

$$ \tan(15°) = \frac{BC}{CD} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} $$

Étape 4 : avec la troisième identité remarquable :

$$ \bigl(2 + \sqrt{3}\bigr)\bigl(2 - \sqrt{3}\bigr) = 2^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2 = 4 - 3 = 1 $$

Le produit vaut $1$ : $2 - \sqrt{3}$ est l'inverse de $2 + \sqrt{3}$, c'est-à-dire $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$.

Conclusion : $\tan(15°)$ et $2 - \sqrt{3}$ sont égaux au même nombre $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ :

$$ \tan(15°) = 2 - \sqrt{3} $$

Vérification : $2 - \sqrt{3} \approx 0.268$ et $\tan(15°) \approx 0.268$.

Les rangées de panneaux solaires

Sur le toit plat d'un entrepôt, on installe des rangées de panneaux solaires tournés vers le sud. Chaque panneau mesure $2 \ \text{m}$ de bas en haut et fait un angle $\alpha$ avec l'horizontale. Une rangée ne doit pas faire d'ombre à la suivante, même le 21 décembre à midi, quand le soleil de midi est au plus bas de l'année : à Paris, il n'est alors qu'à $18°$ au-dessus de l'horizon.

On prend $\alpha = 30°$. Calculer la hauteur $h$ du bord haut d'un panneau et la longueur $p$ qu'il occupe au sol, au centimètre près.

Le panneau, la verticale de son bord haut et le sol forment un triangle rectangle d'hypoténuse $2 \ \text{m}$. Par rapport à l'angle $\alpha$, $h$ est le côté opposé et $p$ le côté adjacent :

$$ \sin(30°) = \frac{h}{2} \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} h = 2 \times \sin(30°) = 2 \times 0.5 $$

$$ h = 1 \ \text{m} $$

$$ \cos(30°) = \frac{p}{2} \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} p = 2 \times \cos(30°) $$

$$ p \approx 1.73 \ \text{m} $$
Pour ce même panneau, le 21 décembre à midi, calculer la longueur $s$ de l'ombre portée derrière lui, puis l'écart minimal $e$ entre les bords bas de deux rangées voisines, au centimètre près.

Le rayon qui frôle le bord haut, la verticale de ce bord et le sol forment un triangle rectangle. Par rapport à l'angle de $18°$, $h$ est le côté opposé et $s$ le côté adjacent :

$$ \tan(18°) = \frac{h}{s} \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} s = \frac{1}{\tan(18°)} $$

$$ s \approx 3.08 \ \text{m} $$

Le bord bas de la rangée suivante ne doit pas être plus près que l'extrémité de l'ombre. En gardant les valeurs de la calculatrice :

$$ e = p + s \approx 1.7321 + 3.0777 $$

$$ e \approx 4.81 \ \text{m} $$
Le toit mesure $30 \ \text{m}$ du sud au nord, et la première rangée est posée au bord sud. Déterminer combien de rangées inclinées à $30°$ on peut installer.

Avec $n$ rangées, il y a $n - 1$ écarts $e$ entre le bord bas de la première et celui de la dernière, puis la dernière occupe encore $p$. La profondeur occupée vaut donc $(n - 1) \times e + p$ :

$$ 5 \times 4.8097 + 1.7321 \approx 25.78 \ \text{m} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 6 \times 4.8097 + 1.7321 \approx 30.59 \ \text{m} $$

Six rangées tiennent sur les $30 \ \text{m}$, sept dépasseraient :

$$ 6 \ \text{rangées} $$

Le propriétaire voudrait $8$ rangées, quitte à moins incliner les panneaux. Déterminer, au degré près, la plus forte inclinaison qui le permet, en complétant le tableau. Entre $15°$ et $25°$, un panneau produit environ $97 \ \%$ de ce qu'il produit à $30°$ : trancher entre $6$ rangées à $30°$ et $8$ rangées à cette inclinaison.

inclinaison $\alpha$	$19°$	$20°$	$21°$	$22°$
$p$ $\bigl[\text{m}\bigr]$	$1.89$
$s$ $\bigl[\text{m}\bigr]$	$2.00$
$e$ $\bigl[\text{m}\bigr]$	$3.90$
profondeur de $8$ rangées $\bigl[\text{m}\bigr]$	$29.16$

Étape 1 : Exprimer ce que produisent les $8$ rangées à cette inclinaison, en nombre de rangées inclinées à $30°$.

Étape 2 : Comparer avec les $6$ rangées à $30°$.

Conclure :

Pour une inclinaison $\alpha$, la hauteur vaut $h = 2 \times \sin(\alpha)$, puis $p = 2 \times \cos(\alpha)$, $s = \frac{h}{\tan(18°)}$, $e = p + s$, et $8$ rangées occupent $7 \times e + p$. Les calculs sont faits sans arrondir, les résultats arrondis au centimètre :

inclinaison $\alpha$	$19°$	$20°$	$21°$	$22°$
$p$ $\bigl[\text{m}\bigr]$	$1.89$	$1.88$	$1.87$	$1.85$
$s$ $\bigl[\text{m}\bigr]$	$2.00$	$2.11$	$2.21$	$2.31$
$e$ $\bigl[\text{m}\bigr]$	$3.90$	$3.98$	$4.07$	$4.16$
profondeur de $8$ rangées $\bigl[\text{m}\bigr]$	$29.16$	$29.77$	$30.38$	$30.98$

La profondeur occupée augmente avec l'inclinaison : elle tient dans les $30 \ \text{m}$ jusqu'à $20°$, et les dépasse dès $21°$.

$$ \alpha = 20° $$

Étape 1 : à $20°$, les $8$ rangées produisent autant que $8 \times 0.97 = 7.76$ rangées inclinées à $30°$.

Étape 2 : $7.76 > 6$ : c'est plus que les $6$ rangées à $30°$.

Conclusion : mieux vaut plus de rangées, moins inclinées :

$$ 8 \ \text{rangées à} \ 20° $$

Moins inclinés mais plus nombreux, les panneaux produisent environ $29 \ \%$ de plus, car $\frac{7.76}{6} \approx 1.29$.

inclinaison \(\alpha\)	\(19°\)	\(20°\)	\(21°\)	\(22°\)
\(p\) \(\bigl[\text{m}\bigr]\)	\(1.89\)
\(s\) \(\bigl[\text{m}\bigr]\)	\(2.00\)
\(e\) \(\bigl[\text{m}\bigr]\)	\(3.90\)
profondeur de \(8\) rangées \(\bigl[\text{m}\bigr]\)	\(29.16\)

inclinaison \(\alpha\)	\(19°\)	\(20°\)	\(21°\)	\(22°\)
\(p\) \(\bigl[\text{m}\bigr]\)	\(1.89\)	\(1.88\)	\(1.87\)	\(1.85\)
\(s\) \(\bigl[\text{m}\bigr]\)	\(2.00\)	\(2.11\)	\(2.21\)	\(2.31\)
\(e\) \(\bigl[\text{m}\bigr]\)	\(3.90\)	\(3.98\)	\(4.07\)	\(4.16\)
profondeur de \(8\) rangées \(\bigl[\text{m}\bigr]\)	\(29.16\)	\(29.77\)	\(30.38\)	\(30.98\)

Jamais deux sans trois

La route à 10 %

Le cosinus de Lina

L'échelle des pompiers

L'équerre à \(30°\)

Les rangées de panneaux solaires