Les applications de la proportionnalité en troisième

Pourcentages, échelles, vitesses : ce sont trois habits de la même idée. Dans chaque cas, deux grandeurs sont liées par un coefficient qui ne change pas.

Le coefficient de proportionnalité

Situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.

Ce nombre est le coefficient de proportionnalité. Le reconnaître, c'est pouvoir compléter n'importe quelle ligne du tableau.

Les pourcentages

Appliquer un pourcentage, c'est multiplier - jamais additionner.

Évolution	Coefficient multiplicateur
augmenter de $15 \ \%$	$\times 1{,}15$
diminuer de $15 \ \%$	$\times 0{,}85$
prendre $15 \ \%$ d'une quantité	$\times 0{,}15$

augmenter et prendre ne sont pas la même opération : le premier garde le tout, le second non

Exemple :

Un article à $80 \ \text{€}$ baisse de $30 \ \%$, puis de $20 \ \%$ supplémentaires.

$$ 80 \times 0{,}7 = 56 \qquad 56 \times 0{,}8 = 44{,}80 $$

Deux baisses de $30 \ \%$ et $20 \ \%$ ne font pas $50 \ \%$. Le coefficient global est $0{,}7 \times 0{,}8 = 0{,}56$, soit une baisse de $44 \ \%$ : la seconde remise porte sur un prix déjà réduit.

Les échelles

Échelle

L'échelle est le coefficient qui fait passer de la réalité au dessin, les deux longueurs étant exprimées dans la même unité.

$$ \text{échelle} = \frac{\text{longueur sur le dessin}}{\text{longueur réelle}} $$

Exemple :

Sur une carte au $\frac{1}{25 \ 000}$, une route mesure $4 \ \text{cm}$.

$$ 4 \times 25 \ 000 = 100 \ 000 \ \text{cm} = 1 \ \text{km} $$

Les deux longueurs doivent être dans la même unité avant tout calcul. C'est là que se perdent la plupart des points, bien plus que dans la multiplication.

Vitesse, débit, densité

Ce sont des grandeurs quotients : une grandeur divisée par une autre.

$$ v = \frac{d}{t} \qquad d = v \times t \qquad t = \frac{d}{v} $$

Exemple :

Un train parcourt $240 \ \text{km}$ en $1 \ \text{h} \ 30$.

$$ v = \frac{240}{1{,}5} = 160 \ \text{km/h} $$

$1 \ \text{h} \ 30$ s'écrit $1{,}5 \ \text{h}$, et non $1{,}30$. Une durée en heures et minutes doit être convertie en heures décimales avant d'entrer dans une division.

La vitesse moyenne

Elle ne se calcule jamais en faisant la moyenne des vitesses : c'est la distance totale divisée par la durée totale.

$$ v_{\text{moyenne}} = \frac{\text{distance totale}}{\text{durée totale}} $$

La raison tient en une phrase : on passe plus de temps à la vitesse la plus lente, qui pèse donc davantage. Faire la moyenne des deux vitesses reviendrait à leur donner le même poids.

Évolution	Coefficient multiplicateur
augmenter de \(15 \ \%\)	\(\times 1{,}15\)
diminuer de \(15 \ \%\)	\(\times 0{,}85\)
prendre \(15 \ \%\) d'une quantité	\(\times 0{,}15\)