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Des prix qui évoluent, des cartes, des trajets : dans chaque cas, un coefficient fait passer d'une grandeur à l'autre.
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Reconnaître une situation de proportionnalité et son coefficient
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Appliquer une hausse ou une baisse en pourcentage avec un coefficient multiplicateur
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Enchaîner deux évolutions successives
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Utiliser une échelle pour passer du dessin à la réalité
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Calculer une vitesse, une distance ou une durée, et une vitesse moyenne
Un article affiché \(100 \ \text{€}\) hors taxes est vendu \(120 \ \text{€}\) une fois la TVA ajoutée. Une remise de \(20 \ \%\) ne le ramène pas à \(100 \ \text{€}\), mais à \(96\).
Augmenter puis diminuer du même pourcentage ne rend pas le prix de départ.
Une évolution est un coefficient multiplicateur : deux évolutions successives se multiplient, elles ne s'additionnent pas.
Pourcentages, échelles, vitesses : ce sont trois habits de la même idée. Dans chaque cas, deux grandeurs sont liées par un coefficient qui ne change pas.
Le coefficient de proportionnalité
Situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.
Ce nombre est le coefficient de proportionnalité. Le reconnaître, c'est pouvoir compléter n'importe quelle ligne du tableau.
Les pourcentages
Appliquer un pourcentage, c'est multiplier - jamais additionner.
Évolution |
Coefficient multiplicateur |
|---|---|
augmenter de \(15 \ \%\) |
\(\times 1.15\) |
diminuer de \(15 \ \%\) |
\(\times 0.85\) |
prendre \(15 \ \%\) d'une quantité |
\(\times 0.15\) |
Exemple :
Un article à \(80 \ \text{€}\) baisse de \(30 \ \%\), puis de \(20 \ \%\) supplémentaires.
Deux baisses de \(30 \ \%\) et \(20 \ \%\) ne font pas \(50 \ \%\). Le coefficient global est \(0.7 \times 0.8 = 0.56\), soit une baisse de \(44 \ \%\) : la seconde remise porte sur un prix déjà réduit.
Les échelles
Échelle
L'échelle est le coefficient qui fait passer de la réalité au dessin, les deux longueurs étant exprimées dans la même unité.
Exemple :
Sur une carte au \(\frac{1}{25 \ 000}\), une route mesure \(4 \ \text{cm}\).
Les deux longueurs doivent être dans la même unité avant tout calcul. C'est là que se perdent la plupart des points, bien plus que dans la multiplication.
Vitesse, débit, densité
Ce sont des grandeurs quotients : une grandeur divisée par une autre.
Exemple :
Un train parcourt \(240 \ \text{km}\) en \(1 \ \text{h} \ 30\).
\(1 \ \text{h} \ 30\) s'écrit \(1.5 \ \text{h}\), et non \(1.30\). Une durée en heures et minutes doit être convertie en heures décimales avant d'entrer dans une division.
La vitesse moyenne
Elle ne se calcule jamais en faisant la moyenne des vitesses : c'est la distance totale divisée par la durée totale.
La raison tient en une phrase : on passe plus de temps à la vitesse la plus lente, qui pèse donc davantage. Faire la moyenne des deux vitesses reviendrait à leur donner le même poids.