Problèmes sur la proportionnalité

Les soldes successives

Un manteau coûte \(80 \ \text{€}\). Il est d'abord soldé à \(-30 \ \%\), puis une seconde démarque retire encore \(20 \ \%\) au prix soldé.

1. Calculer le prix après la première remise.

   Baisser de \(30 \ \%\), c'est multiplier par \(0.7\) :

   $$ 80 \times 0.7 = 56 $$

   $$ 56 \ \text{€} $$
2. Calculer le prix final.

   Baisser de \(20 \ \%\), c'est multiplier par \(0.8\) :

   $$ 56 \times 0.8 = 44.80 $$

   $$ 44.80 \ \text{€} $$
3. La remise globale est-elle de \(50 \ \%\) ? Justifier.

   Le coefficient global vaut \(0.7 \times 0.8 = 0.56\), et \(1 - 0.56 = 0.44\) :

   $$ \text{la baisse est de } 44 \ \% $$

   La seconde remise porte sur un prix déjà réduit : elle retire moins que si elle s'appliquait au prix de départ.

La carte au 1/25 000

Une carte de randonnée est à l'échelle \(\frac{1}{25 \ 000}\).

1. Un sentier mesure \(4 \ \text{cm}\) sur cette carte. Calculer sa longueur réelle.
   $$ 4 \times 25 \ 000 = 100 \ 000 \ \text{cm} $$

   $$ 1 \ \text{km} $$
2. Une route mesure \(3.5 \ \text{km}\) en réalité. Calculer la longueur qu'elle occupe sur la carte.

   On convertit d'abord : \(3.5 \ \text{km} = 350 \ 000 \ \text{cm}\).

   $$ 350 \ 000 \div 25 \ 000 = 14 $$

   $$ 14 \ \text{cm} $$
3. Un champ rectangulaire mesure \(2 \ \text{cm}\) sur \(3 \ \text{cm}\) sur la carte. Calculer son aire réelle, en hectares.

   Les côtés réels mesurent \(2 \times 25 \ 000 = 50 \ 000 \ \text{cm}\), soit \(500 \ \text{m}\), et \(3 \times 25 \ 000 = 75 \ 000 \ \text{cm}\), soit \(750 \ \text{m}\).

   $$ 500 \times 750 = 375 \ 000 \ \text{m}^2 $$

   Un hectare vaut \(10 \ 000 \ \text{m}^2\) :

   $$ 37.5 \ \text{ha} $$

   L'aire n'est pas multipliée par \(25 \ 000\) mais par son carré : c'est pourquoi on convertit les longueurs d'abord, et l'on calcule l'aire ensuite.

Le trajet en deux temps

Un automobiliste parcourt \(120 \ \text{km}\) à \(90 \ \text{km/h}\), puis \(60 \ \text{km}\) à \(60 \ \text{km/h}\).

1. Calculer la durée de chaque portion.

   Pour la première portion :

   $$ t_1 = \frac{120}{90} = \frac{4}{3} \ \text{h} $$

   $$ t_1 = 1 \ \text{h} \ 20 \ \text{min} $$

   Pour la seconde portion :

   $$ t_2 = \frac{60}{60} = 1 \ \text{h} $$
2. En déduire la vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet, arrondie au dixième.

   La distance totale vaut \(180 \ \text{km}\), la durée totale \(\frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3} \ \text{h}\).

   $$ v = 180 \div \frac{7}{3} = \frac{540}{7} $$

   $$ v \approx 77.1 \ \text{km/h} $$
3. Expliquer pourquoi cette vitesse moyenne n'est pas \(75 \ \text{km/h}\), la moyenne des deux vitesses.

   Parce que les deux portions n'ont pas la même durée : \(1 \ \text{h} \ 20 \ \text{min}\) à \(90 \ \text{km/h}\) contre \(1 \ \text{h}\) à \(60 \ \text{km/h}\). La vitesse la plus rapide dure plus longtemps, et pèse donc davantage.

Les minutes ne sont pas des centièmes

Un cycliste parcourt \(36 \ \text{km}\) en \(1 \ \text{h} \ 36 \ \text{min}\). Pour calculer sa vitesse moyenne, Léa écrit :

1. Expliquer pourquoi \(1 \ \text{h} \ 36 \ \text{min}\) ne s'écrit pas \(1.36 \ \text{h}\), puis convertir cette durée en heures.

   Une heure compte \(60\) minutes, et non \(100\) : \(36 \ \text{min}\) ne font pas \(0.36 \ \text{h}\).

   $$ 36 \ \text{min} = \frac{36}{60} \ \text{h} = 0.6 \ \text{h} $$

   $$ 1 \ \text{h} \ 36 \ \text{min} = 1.6 \ \text{h} $$
2. Calculer la vitesse moyenne réelle de ce cycliste.
   $$ v = \frac{36}{1.6} $$

   $$ v = 22.5 \ \text{km/h} $$

   En divisant par une durée trop courte, Léa trouvait une vitesse trop grande.

3. Le même cycliste prévoit une sortie de \(54 \ \text{km}\) à cette vitesse moyenne. Calculer la durée de sa sortie, en heures et minutes.
   $$ t = \frac{d}{v} = \frac{54}{22.5} = 2.4 \ \text{h} $$

   Cette fois, on convertit dans l'autre sens :

   $$ 0.4 \ \text{h} = 0.4 \times 60 \ \text{min} = 24 \ \text{min} $$

   $$ t = 2 \ \text{h} \ 24 \ \text{min} $$

Le parquet du salon

Sur le plan d'un appartement, à l'échelle \(\frac{1}{50}\), le salon est un rectangle de \(12 \ \text{cm}\) sur \(9 \ \text{cm}\). On veut y poser du parquet.

1. Calculer les dimensions réelles du salon, en mètres.
   $$ 12 \times 50 = 600 \ \text{cm} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 9 \times 50 = 450 \ \text{cm} $$

   $$ 6 \ \text{m} \quad \text{sur} \quad 4.5 \ \text{m} $$
2. Calculer l'aire réelle de ce salon.
   $$ 6 \times 4.5 = 27 $$

   $$ 27 \ \text{m}^2 $$
3. On prévoit \(10 \ \%\) de surface en plus pour les coupes. Le parquet est vendu en paquets de \(2.2 \ \text{m}^2\). Calculer la surface à acheter, puis le nombre de paquets nécessaires.

   Augmenter de \(10 \ \%\), c'est multiplier par \(1.1\) :

   $$ 27 \times 1.1 = 29.7 \ \text{m}^2 $$

   $$ 29.7 \div 2.2 = 13.5 $$

   Un paquet ne s'achète pas à moitié : il en faut un de plus.

   $$ 14 \ \text{paquets} $$
4. Le magasin A vend le paquet \(32 \ \text{€}\), livraison offerte. Le magasin B affiche le paquet à \(36 \ \text{€}\), mais accorde une remise de \(15 \ \%\) ; sa livraison coûte \(25 \ \text{€}\). Déterminer le magasin le moins cher pour ces \(14\) paquets.

   Au magasin A :

   $$ 14 \times 32 = 448 \ \text{€} $$

   Au magasin B, la remise de \(15 \ \%\) multiplie le prix du paquet par \(0.85\) :

   $$ 36 \times 0.85 = 30.60 \ \text{€} $$

   $$ 14 \times 30.60 + 25 = 428.40 + 25 = 453.40 \ \text{€} $$

   Le paquet est moins cher chez B, mais la livraison fait plus que compenser l'écart de \(19.60 \ \text{€}\) :

   $$ \text{le magasin A est le moins cher} $$

La couronne d'Archimède

Le roi Hiéron a confié \(1 \ 070 \ \text{g}\) d'or à un orfèvre, qui lui rapporte une couronne de \(1 \ 070 \ \text{g}\). Archimède la plonge dans un vase plein à ras bord : l'eau qui déborde occupe exactement la place de la couronne.

Un centimètre cube d'or pèse \(19.3 \ \text{g}\), un centimètre cube d'argent \(10.5 \ \text{g}\).

1. Calculer le volume qu'occuperaient \(1 \ 070 \ \text{g}\) d'or pur, arrondi au dixième. L'orfèvre a-t-il triché ?

   Chaque centimètre cube d'or pèse \(19.3 \ \text{g}\) : le volume est la masse divisée par \(19.3\).

   $$ V = \frac{1 \ 070}{19.3} $$

   $$ V \approx 55.4 \ \text{cm}^3 $$

   La couronne fait déborder \(60 \ \text{cm}^3\) : pour la même masse, elle prend plus de place que l'or pur. Elle contient donc un métal qui pèse moins que l'or pour un même volume.

   $$ \text{l'orfèvre a triché} $$
2. L'orfèvre a remplacé une partie de l'or par de l'argent. Retrouver la masse d'or qu'il a gardée pour lui. On pourra compléter ce tableau, où \(x\) désigne le volume d'argent de la couronne, en \(\text{cm}^3\).

   Volume d'argent (\(\text{cm}^3\))	\(0\)	\(5\)	\(x\)
   Volume d'or (\(\text{cm}^3\))	\(60\)	\(55\)
   Masse de la couronne (\(\text{g}\))	\(1 \ 158\)

   Avec \(5 \ \text{cm}^3\) d'argent et \(55 \ \text{cm}^3\) d'or :

   $$ 55 \times 19.3 + 5 \times 10.5 = 1 \ 061.5 + 52.5 = 1 \ 114 \ \text{g} $$

   Avec \(x\) centimètres cubes d'argent, il reste \(60 - x\) centimètres cubes d'or :

   $$ 19.3 \times (60 - x) + 10.5 \times x = 1 \ 158 - 19.3x + 10.5x = 1 \ 158 - 8.8x $$

   Volume d'argent (\(\text{cm}^3\))	\(0\)	\(5\)	\(x\)
   Volume d'or (\(\text{cm}^3\))	\(60\)	\(55\)	\(60 - x\)
   Masse de la couronne (\(\text{g}\))	\(1 \ 158\)	\(1 \ 114\)	\(1 \ 158 - 8.8x\)

   La couronne pèse \(1 \ 070 \ \text{g}\) :

   $$ 1 \ 158 - 8.8x = 1 \ 070 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 8.8x = 88 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} x = 10 $$

   La couronne contient \(10 \ \text{cm}^3\) d'argent et \(50 \ \text{cm}^3\) d'or, soit \(50 \times 19.3 = 965 \ \text{g}\) d'or. L'orfèvre en avait reçu \(1 \ 070 \ \text{g}\) :

   $$ 1 \ 070 - 965 = 105 $$

   $$ 105 \ \text{g d'or gardés} $$

   Vérification : les \(10 \ \text{cm}^3\) d'argent pèsent \(10 \times 10.5 = 105 \ \text{g}\), et \(965 + 105 = 1 \ 070 \ \text{g}\).

3. Démasqué, l'orfèvre se défend : « Il n'y a même pas \(10 \ \%\) d'argent dans cette couronne. » Archimède répond : « L'argent en occupe plus de \(15 \ \%\). » Trancher.

   L'orfèvre parle de masse : \(105 \ \text{g}\) d'argent sur \(1 \ 070 \ \text{g}\).

   $$ \frac{105}{1 \ 070} \approx 9.8 \ \% $$

   Archimède parle de volume : \(10 \ \text{cm}^3\) d'argent sur \(60 \ \text{cm}^3\).

   $$ \frac{10}{60} \approx 16.7 \ \% $$

   $$ \text{les deux disent vrai} $$

   Ils ne mesurent pas la même part : moins lourd que l'or à volume égal, l'argent occupe une plus grande part du volume que de la masse.

4. Prouver que, dans toute couronne qui mêle de l'or et de l'argent, la part d'argent en volume dépasse sa part en masse. On pourra comparer la masse de la couronne à celle d'une couronne de même volume tout en argent.

   Notons \(V\) le volume de la couronne et \(v\) celui de son argent, en \(\text{cm}^3\) ; l'or occupe le reste, \(V - v\), qui n'est pas nul. La couronne pèse :

   $$ M = 19.3 \times (V - v) + 10.5 \times v $$

   Tout en argent, elle pèserait \(10.5 \times (V - v) + 10.5 \times v = 10.5 \times V\). Or un centimètre cube d'or pèse plus qu'un centimètre cube d'argent :

   $$ M > 10.5 \times V $$

   L'argent pèse \(10.5 \times v\). Diviser un même nombre par un nombre plus grand donne un résultat plus petit :

   $$ \frac{10.5 \times v}{M} < \frac{10.5 \times v}{10.5 \times V} = \frac{v}{V} $$

   $$ \text{part d'argent en masse} < \text{part d'argent en volume} $$

   Vérification sur la couronne du roi : tout en argent, elle pèserait \(10.5 \times 60 = 630 \ \text{g}\), et \(\frac{105}{1 \ 070} < \frac{105}{630} = \frac{10}{60}\).

Les boutons de la photocopieuse

Chaque bouton multiplie toutes les longueurs du document par le pourcentage indiqué. On peut photocopier une copie.

1. Tom photocopie une feuille A4, large de \(21 \ \text{cm}\), avec le bouton \(141 \ \%\), puis il photocopie cette copie avec le bouton \(71 \ \%\). Calculer la largeur finale. Tom retrouve-t-il exactement la largeur de départ ?

   Le bouton \(141 \ \%\) multiplie les longueurs par \(1.41\), le bouton \(71 \ \%\) par \(0.71\) :

   $$ 21 \times 1.41 = 29.61 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 29.61 \times 0.71 = 21.0231 $$

   $$ 21.0231 \ \text{cm} : \text{pas exactement} $$

   Les deux copies multiplient la largeur par \(1.41 \times 0.71 = 1.0011\) : l'écart, d'environ \(0.2 \ \text{mm}\), ne se voit pas, mais il existe.

2. Nina veut agrandir un logo large de \(8 \ \text{cm}\) pour qu'il mesure entre \(12\) et \(13 \ \text{cm}\) de large, en une ou deux copies. Trouver toutes les façons d'y parvenir, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre. On pourra compléter ce tableau, pour deux copies faites avec des boutons d'agrandissement.

   	\(115 \ \%\)	\(122 \ \%\)	\(141 \ \%\)	\(200 \ \%\)
   \(115 \ \%\)	\(1.3225\)
   \(122 \ \%\)
   \(141 \ \%\)				\(2.82\)
   \(200 \ \%\)

   La largeur doit être multipliée par un nombre compris entre deux bornes :

   $$ \frac{12}{8} = 1.5 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{13}{8} = 1.625 $$

   Une seule copie : aucun bouton n'est compris entre \(150 \ \%\) et \(162.5 \ \%\).

   Deux réductions : chacune multiplie par un nombre inférieur à \(1\), et le logo rétrécit.

   Une réduction et un agrandissement : la réduction fait perdre de la largeur, donc l'agrandissement doit multiplier à lui seul par plus de \(1.5\) : c'est le bouton \(200 \ \%\). La réduction doit alors multiplier par un nombre compris entre \(1.5 \div 2 = 0.75\) et \(1.625 \div 2 = 0.8125\) : seul le bouton \(81 \ \%\) convient.

   $$ 8 \times 2 \times 0.81 = 12.96 \ \text{cm} $$

   Deux agrandissements : l'ordre des facteurs ne change pas un produit, et le tableau est symétrique.

   	\(115 \ \%\)	\(122 \ \%\)	\(141 \ \%\)	\(200 \ \%\)
   \(115 \ \%\)	\(1.3225\)	\(1.403\)	\(1.6215\)	\(2.3\)
   \(122 \ \%\)	\(1.403\)	\(1.4884\)	\(1.7202\)	\(2.44\)
   \(141 \ \%\)	\(1.6215\)	\(1.7202\)	\(1.9881\)	\(2.82\)
   \(200 \ \%\)	\(2.3\)	\(2.44\)	\(2.82\)	\(4\)

   Seules les deux cases \(1.6215\) tombent entre \(1.5\) et \(1.625\) : \(8 \times 1.6215 = 12.972 \ \text{cm}\). Deux copies à \(122 \ \%\) échouent de peu, avec \(8 \times 1.4884 \approx 11.91 \ \text{cm}\).

   $$ 115 \ \% \quad \text{et} \quad 141 \ \% \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} 200 \ \% \quad \text{et} \quad 81 \ \% $$

   Chaque couple de boutons marche dans un ordre comme dans l'autre : cela fait quatre façons d'enchaîner les deux copies.

3. Prouver qu'une suite de copies qui n'utilise ni le bouton \(50 \ \%\) ni le bouton \(200 \ \%\), aussi longue soit-elle, ne rend jamais exactement la taille de départ. On pourra décomposer en facteurs premiers le nombre de chacun des six autres boutons, puis \(100\).

   Chaque copie multiplie les longueurs par le nombre de son bouton, divisé par \(100\). Après plusieurs copies, elles sont multipliées par :

   $$ \frac{\text{produit des nombres des boutons}}{100 \times 100 \times \ldots \times 100} $$

   avec autant de facteurs \(100\) que de copies. La taille de départ revient exactement si ce quotient vaut \(1\), c'est-à-dire si le numérateur est égal au dénominateur. Or \(100 = 2^2 \times 5^2\) : le dénominateur ne contient que les facteurs premiers \(2\) et \(5\).

   $$ 71 = 71 \hspace{2em} 81 = 3^4 \hspace{2em} 86 = 2 \times 43 \hspace{2em} 115 = 5 \times 23 \hspace{2em} 122 = 2 \times 61 \hspace{2em} 141 = 3 \times 47 $$

   Les nombres \(71\), \(43\), \(23\), \(61\) et \(47\) sont premiers. Chacun des six boutons apporte donc au numérateur un facteur premier autre que \(2\) et \(5\). La décomposition en facteurs premiers étant unique, le numérateur ne peut pas être égal au dénominateur.

   $$ \text{la taille de départ ne revient jamais exactement} $$

   Avec les deux boutons exclus, c'est possible : \(200 \times 50 = 10 \ 000 = 100 \times 100\), et une copie à \(200 \ \%\) suivie d'une copie à \(50 \ \%\) rend la taille de départ.