Indicateurs statistiques

Pourcentages d'évolution

Calcul d'une évolution

Une hausse et une baisse s'écrivent de la même façon, au signe près, à partir de la valeur de départ :

À noter que dans le cas d'une diminution, le contexte va dépendre de la forme que prendre la taux:

• soit le taux est négatif
• soit le taux est positif mais on précise explicitement que c'est une diminution

Taux d'évolution

Moyennes

Dans cette partie, on distinguera deux manières d'écrire le nombre d'éléments d'une donnée statistique :

• avec un élément par donnée, on appellera \(n\) la somme des éléments
• avec la prise en compte d'un effectif (plusieurs éléments pour une donnée statistique), la somme des effectifs sera notée \(N\):
  $$ N=e_1 + e_2 + e_3 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \dots \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} e_n $$

Avec une série de données ordinaire :

On calcule différents types de moyenne.

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique est celle que l'on calcule généralement dans les bulletins de notes:

1. Calcul simple
   $$ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 \ + \ \dots + \ \ x_n}{n} $$
   $$ (\text{où } n \text{ est le nombre de données}) $$
2. Calcul avec la prise en compte d'effectifs
   $$ \overline{x} = \frac{e_1x_1 + e_2x_2 + e_3x_3 \ + \ \dots + \ \ e_nx_n}{N} $$
   $$ (\text{où } N \text{ est l'effectif total}) $$
   $$ N=e_1 + e_2 + e_3 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \dots \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} e_n $$

Indicateurs de positionnement : \( (Q_1, M, Q_3)\)

Avant de chercher la médiane \((M)\) et les quartiles \((Q_1, Q_3)\), il faut dans un premier temps ranger les données en ordre croissant (ou par ordre alphabétique), en laissant les répétitions éventuelles.

Médiane \( : M\)

Dans les faits, c'est la valeur du \(\frac{n}{2}\)-ième individu.

Exemples :




• Si \(n\) est impair :

  $$ x = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
  $$ (n = 7) \Longrightarrow \frac{n}{2} = 3.5 $$

  On doit prendre la 4 ^ème valeur :

  $$ x = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{11}, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
  $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{M = 11} $$

• Si \(n\) est pair :

  $$ x = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16, \ 16 \Bigr \} $$
  $$ (n = 8) \Longrightarrow \frac{n}{2} = 4 $$

  On doit prendre la moyenne des 4 ^ème et 5 ^ème valeurs :

  $$ x = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{11, \ 12}, \ 14, \ 16, \ 16 \Bigr \} $$
  $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{M = \frac{11 + 12}{2}} $$
  $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{M = 11.5} $$

Quartiles : \((Q_1,Q_3)\)

1. 1 ^er quartile : \(Q_1\)

   Dans les faits, c'est la valeur du \(\frac{n}{4}\)-ième individu.

   Peut importe le résultat, dans tous les cas on arrondit à la valeur supérieure.

   
   

   Exemple :

   $$ x = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
   $$ (n = 7) \Longrightarrow \frac{n}{4} = 1.75 $$

   On doit prendre la 2 ^ème valeur :

   $$ x = \Bigl \{ 10, \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{10}, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{Q_1 = 10} $$
2. 3 ^ème quartile : \(Q_3\)

   Dans les faits, c'est la valeur du \(\frac{3n}{4}\)-ième individu.

   De la même manière, arrondit à la valeur supérieure.

   
   

   Exemple :

   $$ x = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
   $$ (n = 7) \Longrightarrow \frac{3n}{4} = 5.25 $$

   On doit prendre la 6 ^ème valeur :

   $$ x = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{14}, \ 16 \Bigr \} $$
   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{Q_3 = 14} $$
3. Écart inter-quartile : \(Q_3 - Q_1\)

   L'écart inter-quartile est un indicateur de dispersion. On le calcule par la différence des quartiles:

   $$ \Delta Q = Q_3 - Q_1 $$