Problèmes sur les indicateurs statistiques en troisième

Des notes, un diagramme, deux sprinteuses : des séries où la moyenne seule ne dit pas tout.

Calculer une moyenne, une médiane et une étendue.
Traiter une série donnée par des effectifs ou par un diagramme.
Comparer deux séries à l'aide de plusieurs indicateurs, et trancher.

Les huit notes

Un élève a obtenu les notes suivantes :

$$ 8 \ ; \ 12 \ ; \ 15 \ ; \ 9 \ ; \ 14 \ ; \ 11 \ ; \ 15 \ ; \ 6 $$

Calculer la moyenne de ces notes.

$$ \overline{x} = \frac{8 + 12 + 15 + 9 + 14 + 11 + 15 + 6}{8} = \frac{90}{8} $$

$$ \overline{x} = 11.25 $$
Déterminer la médiane de ces notes.

On range d'abord les notes : $6 \ ; \ 8 \ ; \ 9 \ ; \ 11 \ ; \ 12 \ ; \ 14 \ ; \ 15 \ ; \ 15$.

Il y a huit valeurs : la médiane est la moyenne de la quatrième et de la cinquième.

$$ \frac{11 + 12}{2} $$

$$ \text{médiane} = 11.5 $$
Calculer l'étendue de ces notes.

$$ 15 - 6 $$

$$ \text{étendue} = 9 $$

Les notes de la classe

Le tableau donne les résultats d'un contrôle dans une classe :

Note	$8$	$12$	$16$	$18$
Effectif	$12$	$15$	$8$	$5$

répartition des notes du contrôle

Calculer l'effectif total de la classe.

$$ N = 12 + 15 + 8 + 5 $$

$$ N = 40 \ \text{élèves} $$
Calculer la moyenne de la classe.

$$ \overline{x} = \frac{12 \times 8 + 15 \times 12 + 8 \times 16 + 5 \times 18}{40} = \frac{96 + 180 + 128 + 90}{40} = \frac{494}{40} $$

$$ \overline{x} = 12.35 $$
Déterminer la médiane des notes de la classe.

Avec $40$ valeurs rangées, la médiane est la moyenne de la vingtième et de la vingt-et-unième.

Les effectifs cumulés valent $12$, puis $27$ : ces deux valeurs sont donc des $12$.

$$ \text{médiane} = 12 $$
Après correction d'une erreur, un élève qui avait $8$ obtient finalement $18$. Dire ce que deviennent la moyenne et la médiane de la classe.

La somme des notes augmente de $10$, donc la moyenne augmente de $\frac{10}{40} = 0.25$ :

$$ \overline{x} = 12.6 $$

Les effectifs cumulés valent maintenant $11$, puis $26$ : la vingtième et la vingt-et-unième valeurs sont toujours des $12$, et la médiane reste égale à $12$.

Deux groupes, une même moyenne

Deux groupes de cinq élèves ont obtenu ces résultats :

$$ \text{groupe } A : \ 10 \ ; \ 10 \ ; \ 10 \ ; \ 10 \ ; \ 10 $$

$$ \text{groupe } B : \ 2 \ ; \ 6 \ ; \ 10 \ ; \ 14 \ ; \ 18 $$

Vérifier que les deux groupes ont la même moyenne.

$$ \overline{x}_A = \frac{10 \times 5}{5} = 10 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \overline{x}_B = \frac{2 + 6 + 10 + 14 + 18}{5} = \frac{50}{5} = 10 $$

$$ \overline{x}_A = \overline{x}_B = 10 $$
Déterminer la médiane et l'étendue de chacun des deux groupes.

Les deux médianes valent $10$ : c'est la troisième valeur de chaque série rangée.

$$ \text{étendue de } A = 10 - 10 = 0 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{étendue de } B = 18 - 2 = 16 $$
Conclure sur ce que les indicateurs disent, ou ne disent pas, de ces deux groupes.

Moyenne et médiane sont identiques, et pourtant les deux groupes n'ont rien à voir : l'un est parfaitement homogène, l'autre très dispersé. Seule l'étendue les distingue.

Un indicateur de position ne dit rien de la dispersion : il en faut un second pour décrire une série.

Le diagramme de Sam

On a demandé à chaque élève d'une classe combien il a de frères et sœurs. Le diagramme en bâtons donne les réponses :

Lire sur le diagramme l'effectif de chaque bâton, puis calculer l'effectif total de la classe.

Les bâtons ont pour hauteurs $4$, $9$, $7$, $3$ et $2$ :

$$ N = 4 + 9 + 7 + 3 + 2 $$

$$ N = 25 \ \text{élèves} $$
Sam affirme : « la médiane vaut $2$, car c'est la valeur du milieu entre $0$ et $4$ ». Expliquer son erreur, puis déterminer la vraie médiane de la série.

La médiane partage les élèves, et non les valeurs possibles, en deux groupes de même effectif. Sam a pris le milieu de l'axe sans tenir compte du nombre d'élèves de chaque bâton.

Avec $25$ élèves rangés, la médiane est la treizième valeur. Les effectifs cumulés valent $4$, puis $4 + 9 = 13$ : la treizième valeur est un $1$.

$$ \text{médiane} = 1 $$
Pour la moyenne, Sam calcule $\frac{4 + 9 + 7 + 3 + 2}{5} = 5$. Expliquer, sans calcul, pourquoi ce résultat est impossible, puis calculer la vraie moyenne de la série.

Aucun élève n'a plus de $4$ frères et sœurs : la moyenne ne peut pas dépasser $4$. Sam a fait la moyenne des effectifs, et non celle des valeurs.

$$ \overline{x} = \frac{4 \times 0 + 9 \times 1 + 7 \times 2 + 3 \times 3 + 2 \times 4}{25} = \frac{0 + 9 + 14 + 9 + 8}{25} = \frac{40}{25} $$

$$ \overline{x} = 1.6 $$

Quelle sprinteuse sélectionner ?

Un club doit choisir une seule sprinteuse pour une finale de $100 \ \text{m}$. Voici les temps, en secondes, de ses sept dernières courses :

$$ \text{Inès} : \ 11.8 \ ; \ 12.4 \ ; \ 11.9 \ ; \ 11.7 \ ; \ 13.6 \ ; \ 11.9 \ ; \ 12.0 $$

$$ \text{Chloé} : \ 12.0 \ ; \ 12.1 \ ; \ 11.9 \ ; \ 12.1 \ ; \ 12.0 \ ; \ 12.2 \ ; \ 12.0 $$

À la course, un temps plus petit est meilleur.

Calculer le temps moyen de chacune des deux sprinteuses, arrondi au centième.

$$ \overline{x}_{\text{Inès}} = \frac{11.8 + 12.4 + 11.9 + 11.7 + 13.6 + 11.9 + 12.0}{7} = \frac{85.3}{7} \approx 12.19 \ \text{s} $$

$$ \overline{x}_{\text{Chloé}} = \frac{12.0 + 12.1 + 11.9 + 12.1 + 12.0 + 12.2 + 12.0}{7} = \frac{84.3}{7} \approx 12.04 \ \text{s} $$

$$ \overline{x}_{\text{Inès}} \approx 12.19 \ \text{s} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \overline{x}_{\text{Chloé}} \approx 12.04 \ \text{s} $$
Déterminer la médiane et l'étendue des temps de chacune.

On range les temps. Pour Inès : $11.7 \ ; \ 11.8 \ ; \ 11.9 \ ; \ 11.9 \ ; \ 12.0 \ ; \ 12.4 \ ; \ 13.6$.

Pour Chloé : $11.9 \ ; \ 12.0 \ ; \ 12.0 \ ; \ 12.0 \ ; \ 12.1 \ ; \ 12.1 \ ; \ 12.2$.

Avec sept valeurs, la médiane est la quatrième.

$$ \text{Inès} : \ \text{médiane} = 11.9 \ \text{s} \quad \text{et} \quad \text{étendue} = 13.6 - 11.7 = 1.9 \ \text{s} $$

$$ \text{Chloé} : \ \text{médiane} = 12.0 \ \text{s} \quad \text{et} \quad \text{étendue} = 12.2 - 11.9 = 0.3 \ \text{s} $$
Lors de la course en $13.6 \ \text{s}$, Inès a trébuché au départ. Calculer son temps moyen sur ses six autres courses, et sa médiane sur ces six courses.

$$ \frac{85.3 - 13.6}{6} = \frac{71.7}{6} = 11.95 \ \text{s} $$

Il reste six valeurs rangées, $11.7 \ ; \ 11.8 \ ; \ 11.9 \ ; \ 11.9 \ ; \ 12.0 \ ; \ 12.4$ : la médiane est la moyenne de la troisième et de la quatrième.

$$ \text{moyenne} = 11.95 \ \text{s} \quad \text{et} \quad \text{médiane} = 11.9 \ \text{s} $$

Une seule course ratée faisait monter la moyenne de près de $0.25 \ \text{s}$ ; la médiane, elle, n'a pas bougé.
Le club veut la sprinteuse qui a le plus de chances de courir la finale en $12.0 \ \text{s}$ ou moins. Choisir une sprinteuse, en justifiant avec deux indicateurs au moins.

La médiane d'Inès, $11.9 \ \text{s}$, est plus petite que celle de Chloé : au moins la moitié de ses courses se sont faites en $11.9 \ \text{s}$ ou moins. Sans sa chute, sa moyenne, $11.95 \ \text{s}$, passe aussi sous celle de Chloé, $12.04 \ \text{s}$.

$$ \text{le club sélectionne Inès} $$

Chloé reste la plus régulière, avec une étendue de $0.3 \ \text{s}$ seulement : un club qui craindrait avant tout une course ratée pourrait la préférer. C'est l'indicateur choisi qui décide, et il faut le dire.

Le Rubik's cube en compétition

En compétition, chaque concurrent résout le Rubik's cube cinq fois. On retire son meilleur et son moins bon temps : la moyenne des trois temps restants est son résultat officiel. Voici les quatre premiers temps d'Inès, en secondes.

À sa cinquième résolution, Inès met $13.00 \ \text{s}$. Calculer son résultat officiel, puis la moyenne, la médiane et l'étendue de ses cinq temps.

Les cinq temps rangés : $11.20 \ ; \ 12.10 \ ; \ 12.70 \ ; \ 13.00 \ ; \ 14.20$. On retire $11.20$ et $14.20$ :

$$ \frac{12.10 + 12.70 + 13.00}{3} = \frac{37.80}{3} $$

$$ \text{résultat officiel} = 12.60 \ \text{s} $$

$$ \overline{x} = \frac{11.20 + 12.10 + 12.70 + 13.00 + 14.20}{5} = \frac{63.20}{5} $$

$$ \overline{x} = 12.64 \ \text{s} \hspace{2em} \text{médiane} = 12.70 \ \text{s} \hspace{2em} \text{étendue} = 14.20 - 11.20 = 3.00 \ \text{s} $$
On revient aux quatre premiers temps d'Inès : le cinquième n'est pas encore connu. Déterminer le meilleur et le moins bon résultat officiel qu'elle peut encore obtenir.

On note $t$ le cinquième temps, en secondes, et l'on regarde quels temps sont retirés.

Si $t \leqslant 11.20$ : $t$ est le meilleur temps et $14.20$ le moins bon.

$$ \frac{11.20 + 12.10 + 12.70}{3} = \frac{36.00}{3} = 12.00 $$

Si $t \geqslant 14.20$ : $11.20$ est le meilleur temps et $t$ le moins bon.

$$ \frac{12.10 + 12.70 + 14.20}{3} = \frac{39.00}{3} = 13.00 $$

Si $t$ est entre les deux : on retire $11.20$ et $14.20$, et $t$ compte dans le résultat.

$$ \frac{12.10 + 12.70 + t}{3} = \frac{24.80 + t}{3} $$

Plus $t$ est grand, plus ce résultat l'est : il va de $\frac{24.80 + 11.20}{3} = 12.00$ à $\frac{24.80 + 14.20}{3} = 13.00$.

$$ \text{au mieux } 12.00 \ \text{s} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{au pire } 13.00 \ \text{s} $$
Pour passer au tour suivant, Inès doit obtenir un résultat officiel d'au plus $12.40 \ \text{s}$. Trouver tous les cinquièmes temps qui la qualifient.

D'après la question précédente, un temps de $11.20 \ \text{s}$ ou moins la qualifie, avec $12.00 \ \text{s}$, et un temps de $14.20 \ \text{s}$ ou plus l'élimine, avec $13.00 \ \text{s}$. Entre les deux :

$$ \frac{24.80 + t}{3} \leqslant 12.40 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 24.80 + t \leqslant 37.20 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} t \leqslant 12.40 $$

$$ \text{tout temps d'au plus } 12.40 \ \text{s} $$

Vérification : avec $12.40 \ \text{s}$, elle garde $12.10$ ; $12.40$ et $12.70$, dont la moyenne vaut exactement $12.40$.
Trouver tous les cinquièmes temps pour lesquels le résultat officiel d'Inès est égal à la médiane de ses cinq temps, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre. On pourra distinguer trois cas, selon la place du cinquième temps par rapport à $12.10$ et à $12.70$.

La médiane est le troisième des cinq temps rangés. On note encore $t$ le cinquième temps.

Premier cas, $t \leqslant 12.10$ : la médiane vaut $12.10$. Si $t \leqslant 11.20$, le résultat vaut $12.00$, qui n'est pas $12.10$. Sinon :

$$ \frac{24.80 + t}{3} = 12.10 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 24.80 + t = 36.30 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} t = 11.50 $$

et $11.50$ est bien compris entre $11.20$ et $12.10$.

Deuxième cas, $12.10 \leqslant t \leqslant 12.70$ : la médiane est $t$ lui-même.

$$ \frac{24.80 + t}{3} = t \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 24.80 + t = 3t \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} t = 12.40 $$

Troisième cas, $t \geqslant 12.70$ : la médiane vaut $12.70$. Si $t \geqslant 14.20$, le résultat vaut $13.00$, qui n'est pas $12.70$. Sinon :

$$ \frac{24.80 + t}{3} = 12.70 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 24.80 + t = 38.10 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} t = 13.30 $$

et $13.30$ est bien compris entre $12.70$ et $14.20$. Les trois cas couvrent tous les temps possibles :

$$ t = 11.50 \ \text{s} \ ; \ t = 12.40 \ \text{s} \quad \text{ou} \quad t = 13.30 \ \text{s} $$

Vérification sur la droite graduée : chaque fois, les deux temps retenus de part et d'autre de la médiane en sont à la même distance. $11.50$ et $12.70$ sont à $0.60$ de $12.10$ ; $12.10$ et $12.70$ à $0.30$ de $12.40$ ; $12.10$ et $13.30$ à $0.60$ de $12.70$.

Les salaires de la boulangerie

Voici les salaires nets mensuels des sept salariés d'une boulangerie.

Calculer la moyenne, la médiane et l'étendue de ces salaires.

$$ \overline{x} = \frac{1 \ 450 + 1 \ 520 + 1 \ 600 + 1 \ 750 + 1 \ 900 + 2 \ 380 + 3 \ 400}{7} = \frac{14 \ 000}{7} $$

Les salaires sont déjà rangés sur le diagramme ; avec sept valeurs, la médiane est la quatrième.

$$ \overline{x} = 2 \ 000 \ \text{€} \hspace{2em} \text{médiane} = 1 \ 750 \ \text{€} \hspace{2em} \text{étendue} = 3 \ 400 - 1 \ 450 = 1 \ 950 \ \text{€} $$

Pour l'augmentation annuelle, le patron propose $3 \ \%$ pour tous, le délégué du personnel $60 \ \text{€}$ pour tous. Comparer le coût mensuel des deux propositions, puis déterminer, sans recalculer chaque salaire, la moyenne, la médiane et l'étendue après chacune d'elles.

Avec $3 \ \%$ : chaque salaire est multiplié par $1.03$, donc leur total aussi : $14 \ 000 \times 1.03 = 14 \ 420 \ \text{€}$, soit $420 \ \text{€}$ de plus. L'ordre des salaires ne change pas : le salaire du milieu, le plus haut et le plus bas sont eux aussi multipliés par $1.03$, et l'écart entre les deux derniers également.

Avec $60 \ \text{€}$ : le total augmente de $7 \times 60 = 420 \ \text{€}$. L'ordre ne change pas non plus : le salaire du milieu gagne $60 \ \text{€}$, et le plus haut comme le plus bas aussi, si bien que leur écart ne bouge pas.

$$ \text{même coût} : 420 \ \text{€ par mois} $$

	avant	$3 \ \%$ pour tous	$60 \ \text{€}$ pour tous
moyenne (€)	$2 \ 000$	$2 \ 000 \times 1.03 = 2 \ 060$	$2 \ 000 + 60 = 2 \ 060$
médiane (€)	$1 \ 750$	$1 \ 750 \times 1.03 = 1 \ 802.50$	$1 \ 750 + 60 = 1 \ 810$
étendue (€)	$1 \ 950$	$1 \ 950 \times 1.03 = 2 \ 008.50$	$1 \ 950$

Chaque salarié de la boulangerie vote pour la proposition qui l'augmente le plus. Prouver qu'un salarié préfère les $60 \ \text{€}$ exactement quand il gagne moins que la moyenne, puis dire quelle proposition l'emporte.

Pour un salaire $s$, en euros, les $3 \ \%$ rapportent $0.03 \times s$. Ils rapportent moins que $60 \ \text{€}$ quand :

$$ 0.03 \times s < 60 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} s < \frac{60}{0.03} = 2 \ 000 $$

et $2 \ 000 \ \text{€}$ est justement la moyenne. Cinq salariés gagnent moins que $2 \ 000 \ \text{€}$, deux gagnent plus.

$$ \text{les } 60 \ \text{€ l'emportent, par cinq voix contre deux} $$
Le délégué en conclut : « Dans toute entreprise où les deux propositions coûtent autant, les $60 \ \text{€}$ l'emportent. » Trancher, puis dire quel indicateur, comparé à la moyenne, permet de prévoir le vote.

Dans une entreprise de $n$ salariés dont les salaires totalisent $S$ euros, les deux propositions coûtent autant quand $0.03 \times S = 60 \times n$, c'est-à-dire quand $\frac{S}{n} = \frac{60}{0.03} = 2 \ 000$ : la moyenne vaut alors $2 \ 000 \ \text{€}$. Comme à la boulangerie, un salarié préfère les $60 \ \text{€}$ exactement quand il gagne moins que la moyenne.

Or rien n'oblige la majorité à gagner moins que la moyenne. Par exemple, dans une entreprise de cinq salariés qui gagnent $1 \ 500$ ; $2 \ 100$ ; $2 \ 100$ ; $2 \ 100$ et $2 \ 200 \ \text{€}$ :

$$ \overline{x} = \frac{10 \ 000}{5} = 2 \ 000 \ \text{€} \hspace{2em} 0.03 \times 10 \ 000 = 300 \ \text{€} = 5 \times 60 \ \text{€} $$

Les deux propositions coûtent autant, mais quatre salariés sur cinq gagnent plus que la moyenne et votent pour les $3 \ \%$.

$$ \text{le délégué se trompe} $$

Ce qui décide, c'est la médiane : $1 \ 750 \ \text{€}$ à la boulangerie, sous la moyenne ; $2 \ 100 \ \text{€}$ dans cette entreprise, au-dessus. Avec un nombre impair de salariés, si la médiane est inférieure à la moyenne, le salarié du milieu et tous ceux qui gagnent moins que lui, plus de la moitié, préfèrent les $60 \ \text{€}$. Si elle est supérieure, plus de la moitié préfèrent les $3 \ \%$.

$$ \text{c'est la médiane qui prévoit le vote} $$

	avant	\(3 \ \%\) pour tous	\(60 \ \text{€}\) pour tous
moyenne (€)	\(2 \ 000\)	\(2 \ 000 \times 1.03 = 2 \ 060\)	\(2 \ 000 + 60 = 2 \ 060\)
médiane (€)	\(1 \ 750\)	\(1 \ 750 \times 1.03 = 1 \ 802.50\)	\(1 \ 750 + 60 = 1 \ 810\)
étendue (€)	\(1 \ 950\)	\(1 \ 950 \times 1.03 = 2 \ 008.50\)	\(1 \ 950\)