Problèmes sur les indicateurs statistiques

Les huit notes

Un élève a obtenu les notes suivantes :

1. Calculer la moyenne.
   $$ \frac{8 + 12 + 15 + 9 + 14 + 11 + 15 + 6}{8} = \frac{90}{8} $$

   $$ 11{,}25 $$
2. Déterminer la médiane.

   On range d'abord : \(6 \ ; \ 8 \ ; \ 9 \ ; \ 11 \ ; \ 12 \ ; \ 14 \ ; \ 15 \ ; \ 15\).

   Il y a huit valeurs : la médiane est la moyenne de la quatrième et de la cinquième.

   $$ \frac{11 + 12}{2} = 11{,}5 $$
3. Calculer l'étendue.
   $$ 15 - 6 = 9 $$

Les notes de la classe

Le tableau donne les résultats d'un contrôle dans une classe :

1. Quel est l'effectif total ?
   $$ 12 + 15 + 8 + 5 = 40 \ \text{élèves} $$
2. Calculer la moyenne de la classe.
   $$ \frac{12 \times 8 + 15 \times 12 + 8 \times 16 + 5 \times 18}{40} = \frac{96 + 180 + 128 + 90}{40} $$

   $$ \frac{494}{40} = 12{,}35 $$
3. Déterminer la médiane.

   Avec \(40\) valeurs, la médiane est la moyenne de la vingtième et de la vingt-et-unième.

   Les effectifs cumulés valent \(12\), puis \(27\) : ces deux valeurs tombent donc dans la note \(12\).

   $$ \text{médiane} = 12 $$
4. Un élève ayant \(8\) obtient finalement \(18\). Qu'arrive-t-il à la moyenne, et à la médiane ?

   La somme augmente de \(10\), donc la moyenne de \(\frac{10}{40} = 0{,}25\) : elle passe à \(12{,}6\).

   $$ \text{la médiane, elle, ne change pas} $$

Deux groupes, une même moyenne

Deux groupes de cinq élèves ont obtenu ces résultats :

1. Vérifier que les deux groupes ont la même moyenne.
   $$ \frac{50}{5} = 10 \qquad \frac{2 + 6 + 10 + 14 + 18}{5} = \frac{50}{5} = 10 $$

   $$ \text{moyenne} = 10 \ \text{pour les deux} $$
2. Calculer les médianes et les étendues.

   Les deux médianes valent \(10\) : c'est la troisième valeur de chaque série rangée.

   $$ \text{étendue de } A = 0 \qquad \text{étendue de } B = 16 $$
3. Que peut-on en conclure ?

   Moyenne et médiane sont identiques, et pourtant les deux groupes n'ont rien à voir : l'un est parfaitement homogène, l'autre très dispersé.

   $$ \text{seule l'étendue les distingue} $$

   Un indicateur de position ne dit rien de la dispersion : il en faut un second pour décrire une série.