Les probabilités en troisième

Une probabilité mesure la chance qu'un événement se produise, par un nombre compris entre $0$ et $1$. Elle ne prédit rien pour une expérience isolée.

Le vocabulaire

Expérience, issue, événement

Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, appelés issues, sans qu'on puisse dire lequel se produira. Un événement rassemble une ou plusieurs issues.

Exemple :

Lancer un dé est une expérience aléatoire ; ses issues sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ ; « obtenir un nombre pair » est un événement, qui rassemble trois issues.

Calculer une probabilité

Cas d'équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire :

$$ P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}} $$

Exemple :

$$ P(\text{nombre pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ :

$$ 0 \leqslant P \leqslant 1 $$

Une probabilité de $0$ désigne un événement impossible, de $1$ un événement certain. Un résultat hors de cet intervalle signale une erreur de calcul, sans avoir à chercher où.

L'événement contraire

$$ P(\text{contraire de } A) = 1 - P(A) $$

C'est le raccourci le plus utile : quand un énoncé dit « au moins un », il est presque toujours plus court de compter le cas « aucun » et de le retrancher à $1$.

Deux expériences à la suite

On représente la situation par un arbre. Chaque branche porte une probabilité, et un chemin complet décrit une issue de l'expérience double.

$$ \text{la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées} $$

Exemple :

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ vertes. On tire deux fois, en remettant la boule après le premier tirage.

$$ P(\text{deux rouges}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25} $$

Avec remise, les deux tirages sont identiques : la composition de l'urne n'a pas changé. Sans remise, elle change, et la seconde fraction n'est plus la même - c'est la seule chose à vérifier dans l'énoncé.

Fréquence et probabilité

La fréquence se mesure après coup, sur des lancers réellement effectués. La probabilité se calcule avant, sur le modèle.

Les deux se rapprochent quand le nombre d'expériences augmente, mais ne coïncident jamais exactement sur un petit nombre d'essais.

Obtenir six fois « pile » de suite ne rend pas « face » plus probable au lancer suivant : la pièce n'a pas de mémoire. C'est l'erreur de raisonnement la plus répandue sur ce chapitre.