Les probabilités en troisième

Mesurer par un nombre la chance qu'un événement se produise, et raisonner juste face au hasard.

Utiliser le vocabulaire expérience, issue et événement
Calculer une probabilité quand toutes les issues ont la même chance
Calculer la probabilité de l'événement contraire
Calculer une probabilité à l'aide d'un arbre pour deux expériences successives
Distinguer fréquence observée et probabilité

Au loto, remplir une grille donne environ une chance sur $19$ millions de gagner le gros lot. En jouant une grille par semaine, il faudrait des centaines de milliers d'années.

La probabilité n'est pas nulle pour autant : quelqu'un gagne, presque chaque semaine.

Une probabilité très petite ne dit pas que c'est impossible, mais qu'il faudrait répéter très longtemps.

Une probabilité mesure la chance qu'un événement se produise, par un nombre compris entre $0$ et $1$. Elle ne prédit rien pour une expérience isolée.

Le vocabulaire

Expérience, issue, événement

Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, appelés issues, sans qu'on puisse dire lequel se produira. Un événement rassemble une ou plusieurs issues.

Exemple :

Lancer un dé est une expérience aléatoire ; ses issues sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ ; « obtenir un nombre pair » est un événement, qui rassemble trois issues.

Calculer une probabilité

Cas d'équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire :

$$ P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}} $$

Exemple :

$$ P(\text{nombre pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ :

$$ 0 \leqslant P \leqslant 1 $$

Une probabilité de $0$ désigne un événement impossible, de $1$ un événement certain. Un résultat hors de cet intervalle signale une erreur de calcul, sans avoir à chercher où.

L'événement contraire

$$ P(\text{contraire de } A) = 1 - P(A) $$

C'est le raccourci le plus utile : quand un énoncé dit « au moins un », il est presque toujours plus court de compter le cas « aucun » et de le retrancher à $1$.

Deux expériences à la suite

On représente la situation par un arbre. Chaque branche porte une probabilité, et un chemin complet décrit une issue de l'expérience double.

$$ \text{la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées} $$

Exemple :

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ vertes. On tire deux fois, en remettant la boule après le premier tirage.

$$ P(\text{deux rouges}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25} $$

Avec remise, les deux tirages sont identiques : la composition de l'urne n'a pas changé. Sans remise, elle change, et la seconde fraction n'est plus la même - c'est la seule chose à vérifier dans l'énoncé.

Fréquence et probabilité

La fréquence se mesure après coup, sur des lancers réellement effectués. La probabilité se calcule avant, sur le modèle.

Les deux se rapprochent quand le nombre d'expériences augmente, mais ne coïncident jamais exactement sur un petit nombre d'essais.

Obtenir six fois « pile » de suite ne rend pas « face » plus probable au lancer suivant : la pièce n'a pas de mémoire. C'est l'erreur de raisonnement la plus répandue sur ce chapitre.