Problèmes sur les probabilités

Le dé à six faces

On lance un dé équilibré à six faces.

1. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

   Les issues favorables sont \(2\), \(4\) et \(6\).

   $$ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$
2. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à \(4\) ?

   Les issues favorables sont \(5\) et \(6\).

   $$ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
3. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ou supérieur à \(4\) ?

   Les issues favorables sont \(2\), \(4\), \(5\) et \(6\) - le \(6\) ne se compte qu'une fois.

   $$ \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$

   Additionner les deux probabilités précédentes donnerait \(\frac{5}{6}\), et compterait le \(6\) deux fois.

L'urne et ses deux tirages

Une urne contient \(3\) boules rouges et \(2\) boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on en tire une seconde.

1. Quelle est la probabilité d'obtenir une rouge au premier tirage ?
   $$ \frac{3}{5} $$
2. Pourquoi le second tirage a-t-il les mêmes probabilités que le premier ?

   La boule a été remise : l'urne contient de nouveau \(3\) rouges et \(2\) vertes. Le second tirage se fait donc dans les mêmes conditions.

3. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges.

   C'est le produit des probabilités le long du chemin :

   $$ \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25} $$
4. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge.

   L'événement contraire est « aucune rouge », c'est-à-dire deux vertes :

   $$ \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25} $$

   $$ 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} $$

La punaise

On lance une punaise \(500\) fois. Elle retombe pointe en l'air \(320\) fois. Contrairement au dé, on ne peut pas calculer sa probabilité à l'avance : sa forme n'est pas symétrique.

1. Calculer la fréquence de l'événement « pointe en l'air ».
   $$ \frac{320}{500} $$

   $$ 0{,}64 $$
2. Peut-on affirmer que la probabilité vaut exactement \(0{,}64\) ?

   Non. \(0{,}64\) est une fréquence observée sur une expérience particulière : une autre série de \(500\) lancers donnerait un résultat un peu différent.

   $$ \text{c'est une estimation, pas une valeur exacte} $$
3. Que se passerait-il si l'on effectuait \(50 \ 000\) lancers ?

   La fréquence se rapprocherait de la probabilité cherchée, et varierait beaucoup moins d'une série à l'autre. C'est le principe de toute estimation par l'expérience : plus l'échantillon est grand, plus la fréquence est fiable.