Moon Arrows Sun
Arrows
Return Retour
Accueil Home
Imprimer

Les casse-tête des fonctions affines

Une fusée cachée, un chemin de refuges, un loto et une bataille navale : calculer avec des fonctions affines, lire leur signe et croiser leurs droites.

La fusée cachée

Cinq fonctions affines, chacune tracée sur un intervalle, dessinent un objet caché.

  1. Calculer les images des deux bornes de chaque intervalle.
    Fonction
    Intervalle
    Image de la borne de gauche
    Image de la borne de droite
    \(f_1(x) = 1.5x + 9\)
    \(\bigl[ -2 \ ; \ 0 \bigr]\)
    \(f_1(-2) = \)
    \(f_1(0) = \)
    \(f_2(x) = -1.5x + 9\)
    \(\bigl[ 0 \ ; \ 2 \bigr]\)
    \(f_2(0) = \)
    \(f_2(2) = \)
    \(f_3(x) = 1.5x + 7\)
    \(\bigl[ -4 \ ; \ {-}2 \bigr]\)
    \(f_3(-4) = \)
    \(f_3(-2) = \)
    \(f_4(x) = -1.5x + 7\)
    \(\bigl[ 2 \ ; \ 4 \bigr]\)
    \(f_4(2) = \)
    \(f_4(4) = \)
    \(f_5(x) = 1\)
    \(\bigl[ -4 \ ; \ 4 \bigr]\)
    \(f_5(-4) = \)
    \(f_5(4) = \)

    Par exemple, \(f_1(-2) = 1.5 \times (-2) + 9 = -3 + 9 = 6\).

    Fonction
    Intervalle
    Image de la borne de gauche
    Image de la borne de droite
    \(f_1(x) = 1.5x + 9\)
    \(\bigl[ -2 \ ; \ 0 \bigr]\)
    \(f_1(-2) = 6\)
    \(f_1(0) = 9\)
    \(f_2(x) = -1.5x + 9\)
    \(\bigl[ 0 \ ; \ 2 \bigr]\)
    \(f_2(0) = 9\)
    \(f_2(2) = 6\)
    \(f_3(x) = 1.5x + 7\)
    \(\bigl[ -4 \ ; \ {-}2 \bigr]\)
    \(f_3(-4) = 1\)
    \(f_3(-2) = 4\)
    \(f_4(x) = -1.5x + 7\)
    \(\bigl[ 2 \ ; \ 4 \bigr]\)
    \(f_4(2) = 4\)
    \(f_4(4) = 1\)
    \(f_5(x) = 1\)
    \(\bigl[ -4 \ ; \ 4 \bigr]\)
    \(f_5(-4) = 1\)
    \(f_5(4) = 1\)
  2. Dans le repère, tracer chaque fonction sur son intervalle : le segment qui joint les deux points obtenus. Si tout est juste, les segments se raccordent bout à bout.
    Un repère gradué de -4 à 4 en abscisse et de 0 à 9 en ordonnée, un centimètre par unité −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
    La fusée : le nez, deux ailerons et le socle tracés par les cinq fonctions en vert, les deux côtés verticaux du corps en rouge −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 f1 f2 f3 f4 f5
  3. Deux segments manquent pour fermer la fusée : de \((-2 \ ; \ 1)\) à \((-2 \ ; \ 6)\), et de \((2 \ ; \ 1)\) à \((2 \ ; \ 6)\). Les tracer, puis expliquer pourquoi aucun des deux n'est la représentation graphique d'une fonction.

    Sur le segment de \((-2 \ ; \ 1)\) à \((-2 \ ; \ 6)\), le nombre \(-2\) aurait une infinité d'images, toutes les ordonnées de \(1\) à \(6\).

    Une fonction associe à chaque nombre une seule image : un segment vertical n'est la courbe d'aucune fonction.

  4. Le nez et les ailerons ont deux paires de côtés parallèles. Nommer les fonctions de chaque paire, puis comparer leurs coefficients directeurs.
    $$ f_1 \ \text{et} \ f_3 \ : \ a = 1.5 \quad \text{et} \quad f_2 \ \text{et} \ f_4 \ : \ a = -1.5 $$

    Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.

Le chemin des refuges

Chaque sentier de la carte suit la représentation graphique d'une fonction affine \(f(x) = ax + b\), donnée par deux de ses points ou par deux images. Chaque refuge porte un nombre.

La carte des refuges : neuf refuges numérotés reliés par treize sentiers nommés de A à M, du départ au sommet A B C D E F G H I J K L M 2 −3 0.5 −1 4 0 −2 1.5 −0.5 Départ Sommet
Le chemin en rouge : sentiers K, G, M, E et C, par les refuges 2, -3, 0.5, -1, 4 jusqu'au sommet 0 A B C D E F G H I J K L M 2 −3 0.5 −1 4 0 −2 1.5 −0.5 Départ Sommet
  1. Partir du départ. À chaque refuge, calculer dans le tableau le coefficient directeur \(a\) de chaque sentier qui en part, puis suivre le sentier dont \(a\) est le nombre du refuge. Repasser le chemin en couleur. Si tout est juste, il mène au sommet ; un refuge sans sentier qui convienne signale une erreur.
    Carte
    Le sentier
    \(a\)
    Carte
    Le sentier
    \(a\)
    A
    \(f(2) = 1\) et \(f(5) = 10\)
    H
    \(f(0) = 3\) et \(f(4) = 1\)
    B
    \((1 \ ; \ 4)\) et \((3 \ ; \ 8)\)
    I
    \(f(1) = 3\) et \(f(3) = -1\)
    C
    \(f(-1) = -4\) et \(f(2) = 8\)
    J
    \(f(0) = 4\) et \(f(2) = 6\)
    D
    \((1 \ ; \ 2)\) et \((5 \ ; \ 4)\)
    K
    \((1 \ ; \ {-}1)\) et \((4 \ ; \ 5)\)
    E
    \((-2 \ ; \ 6)\) et \((3 \ ; \ 1)\)
    L
    \((1 \ ; \ 2)\) et \((4 \ ; \ 5)\)
    F
    \((0 \ ; \ 5)\) et \((2 \ ; \ {-}3)\)
    M
    \((2 \ ; \ 0)\) et \((6 \ ; \ 2)\)
    G
    \(f(1) = -2.5\) et \(f(3) = -8.5\)

    Le chemin passe par les sentiers K, G, M, E et C. Les autres sentiers sont des pièges : un quotient renversé ou une faute de signe donne le nombre du refuge.

    Carte
    Le sentier
    \(a\)
    Carte
    Le sentier
    \(a\)
    A
    \(f(2) = 1\) et \(f(5) = 10\)
    \(a = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3\)
    H
    \(f(0) = 3\) et \(f(4) = 1\)
    \(a = \frac{1 - 3}{4 - 0} = -0.5\)
    B
    \((1 \ ; \ 4)\) et \((3 \ ; \ 8)\)
    \(a = \frac{8 - 4}{3 - 1} = 2\)
    I
    \(f(1) = 3\) et \(f(3) = -1\)
    \(a = \frac{-1 - 3}{3 - 1} = -2\)
    C
    \(f(-1) = -4\) et \(f(2) = 8\)
    \(a = \frac{8 - (-4)}{2 - (-1)} = 4\)
    J
    \(f(0) = 4\) et \(f(2) = 6\)
    \(a = \frac{6 - 4}{2 - 0} = 1\)
    D
    \((1 \ ; \ 2)\) et \((5 \ ; \ 4)\)
    \(a = \frac{4 - 2}{5 - 1} = 0.5\)
    K
    \((1 \ ; \ {-}1)\) et \((4 \ ; \ 5)\)
    \(a = \frac{5 - (-1)}{4 - 1} = 2\)
    E
    \((-2 \ ; \ 6)\) et \((3 \ ; \ 1)\)
    \(a = \frac{1 - 6}{3 - (-2)} = -1\)
    L
    \((1 \ ; \ 2)\) et \((4 \ ; \ 5)\)
    \(a = \frac{5 - 2}{4 - 1} = 1\)
    F
    \((0 \ ; \ 5)\) et \((2 \ ; \ {-}3)\)
    \(a = \frac{-3 - 5}{2 - 0} = -4\)
    M
    \((2 \ ; \ 0)\) et \((6 \ ; \ 2)\)
    \(a = \frac{2 - 0}{6 - 2} = 0.5\)
    G
    \(f(1) = -2.5\) et \(f(3) = -8.5\)
    \(a = \frac{-8.5 - (-2.5)}{3 - 1} = -3\)
  2. Pour chacun des cinq sentiers du chemin, calculer \(b\), puis écrire \(f(x) = ax + b\). Si tout est juste, \(b\) est le nombre du refuge où mène le sentier.

    Avec un point \((x_1 \ ; \ y_1)\) du sentier, \(b = y_1 - ax_1\) :

    $$ \text{K} \ : \ b = -1 - 2 \times 1 = -3, \ f(x) = 2x - 3 $$
    $$ \text{G} \ : \ b = -2.5 - (-3) \times 1 = 0.5, \ f(x) = -3x + 0.5 $$
    $$ \text{M} \ : \ b = 0 - 0.5 \times 2 = -1, \ f(x) = 0.5x - 1 $$
    $$ \text{E} \ : \ b = 6 - (-1) \times (-2) = 4, \ f(x) = -x + 4 $$
    $$ \text{C} \ : \ b = -4 - 4 \times (-1) = 0, \ f(x) = 4x $$
  3. On passe du calcul à la preuve. Soit \(f(x) = ax + b\) et deux nombres \(x_1 \neq x_2\). Démontrer que \(\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = a\) : les deux points choisis sur une carte ne changent pas \(a\).
    $$ f(x_2) - f(x_1) = (ax_2 + b) - (ax_1 + b) = ax_2 - ax_1 = a(x_2 - x_1) $$

    En divisant par \(x_2 - x_1\), qui n'est pas nul :

    $$ \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = a $$

Le loto des signes

Le meneur de jeu tire neuf boules ; chacune porte une fonction affine \(f\).

Boule 1 : \(f(x) = 2x - 6\)
Boule 2 : \(f(x) = 3 - x\)
Boule 3 : \(f(x) = 2x + 3\)
Boule 4 : \(f(x) = -4x - 6\)
Boule 5 : la droite passe par \((0 \ ; \ {-}1)\) et \((1 \ ; \ 1)\)
Boule 6 : \(f(x) = -0.5x - 2\)
Boule 7 : \(f(1) = 3 \quad \text{et} \quad f(4) = -6\)
Boule 8 : \(f(x) = 3x\)
Boule 9 : \(f(x) = 0.5(x - 5)\)
Le carton du loto : neuf tableaux de signes, chacun avec une case pour le numéro d'une boule x f(x) −∞ 3 +∞ + 0 − x f(x) −∞ −1.5 +∞ − 0 + x f(x) −∞ 0 +∞ − 0 + x f(x) −∞ 0.5 +∞ − 0 + x f(x) −∞ 2 +∞ + 0 − x f(x) −∞ 3 +∞ − 0 + x f(x) −∞ −4 +∞ + 0 − x f(x) −∞ 5 +∞ − 0 + x f(x) −∞ −1.5 +∞ + 0 −
Le carton plein : chaque tableau de signes a reçu le numéro de sa boule x f(x) −∞ 3 +∞ + 0 − 2 x f(x) −∞ −1.5 +∞ − 0 + 3 x f(x) −∞ 0 +∞ − 0 + 8 x f(x) −∞ 0.5 +∞ − 0 + 5 x f(x) −∞ 2 +∞ + 0 − 7 x f(x) −∞ 3 +∞ − 0 + 1 x f(x) −∞ −4 +∞ + 0 − 6 x f(x) −∞ 5 +∞ − 0 + 9 x f(x) −∞ −1.5 +∞ + 0 − 4
  1. Pour chaque boule, trouver le nombre qui annule \(f(x)\) et le signe de \(a\), puis écrire le numéro de la boule dans la case du carton qui porte son tableau de signes. Si tout est juste, chaque case reçoit une boule et une seule : carton plein.

    La boule 5 donne \(a = \frac{1 - (-1)}{1 - 0} = 2\) et \(b = -1\), soit \(f(x) = 2x - 1\) ; la boule 7 donne \(a = \frac{-6 - 3}{4 - 1} = -3\) et \(b = 3 - (-3) \times 1 = 6\), soit \(f(x) = -3x + 6\).

    $$ 1 \ : \ x = 3, \ a > 0 \quad 2 \ : \ x = 3, \ a < 0 \quad 3 \ : \ x = -1.5, \ a > 0 $$
    $$ 4 \ : \ x = -1.5, \ a < 0 \quad 5 \ : \ x = 0.5, \ a > 0 \quad 6 \ : \ x = -4, \ a < 0 $$
    $$ 7 \ : \ x = 2, \ a < 0 \quad 8 \ : \ x = 0, \ a > 0 \quad 9 \ : \ x = 5, \ a > 0 $$

    Quand \(a > 0\), \(f(x)\) est négatif avant le zéro et positif après ; quand \(a < 0\), c'est l'inverse.

  2. Les boules 1 et 2 s'annulent toutes les deux en \(3\). Expliquer pourquoi elles ne vont pas dans la même case.

    Pour la boule 1, \(a = 2 > 0\) : \(f(x)\) est négatif sur \(\bigl] -\infty \ ; \ 3 \bigr[\) et positif sur \(\bigl] 3 \ ; \ +\infty \bigr[\).

    Pour la boule 2, \(f(x) = -x + 3\) : \(a = -1 < 0\), les signes sont inversés. Le même zéro ne suffit pas, le signe de \(a\) départage les deux cases.

La bataille navale

Deux navires se cachent sur des points du quadrillage : un croiseur de trois points alignés et consécutifs, et un sous-marin de deux. Un tir touche là où deux faisceaux se croisent ; les cinq faisceaux suivent les droites des fonctions affines telles que :

$$ \begin{cases} f_1(x) = 1 \\ f_2(x) = x - 2 \\ f_3(x) = x - 3 \\ f_4(1) = -5 \quad \text{et} \quad f_4(3) = -2 \\ f_5(2) = 10 \quad \text{et} \quad f_5(6) = 6 \end{cases} $$
  1. Déterminer les expressions de \(f_4\) et de \(f_5\).
    $$ a = \frac{-2 - (-5)}{3 - 1} = 1.5 \quad \text{et} \quad b = -5 - 1.5 \times 1 = -6.5 \quad \Longrightarrow \quad f_4(x) = 1.5x - 6.5 $$
    $$ a = \frac{6 - 10}{6 - 2} = -1 \quad \text{et} \quad b = 10 - (-1) \times 2 = 12 \quad \Longrightarrow \quad f_5(x) = -x + 12 $$
  2. Le garde-côte tire aux croisements de \(f_1\) et \(f_2\), de \(f_1\) et \(f_3\), de \(f_1\) et \(f_4\), de \(f_3\) et \(f_4\), de \(f_2\) et \(f_5\). Pour chaque tir, résoudre l'équation \(f_i(x) = f_j(x)\), calculer les coordonnées du point de croisement et le placer dans la mer. Si tout est juste, les cinq tirs coulent les deux navires.
    La mer : un repère gradué de 0 à 10 en abscisse et de 0 à 7 en ordonnée, un centimètre par unité 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 0
    Les cinq faisceaux en violet ; les cinq tirs, en rouge, coulent le croiseur de trois points et le sous-marin de deux 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 0 f1 f2 f3 f4 f5
    $$ f_1(x) = f_2(x) \iff 1 = x - 2 \iff x = 3 \quad \Longrightarrow \quad (3 \ ; \ 1) $$
    $$ f_1(x) = f_3(x) \iff 1 = x - 3 \iff x = 4 \quad \Longrightarrow \quad (4 \ ; \ 1) $$
    $$ f_1(x) = f_4(x) \iff 1 = 1.5x - 6.5 \iff x = 5 \quad \Longrightarrow \quad (5 \ ; \ 1) $$
    $$ f_3(x) = f_4(x) \iff x - 3 = 1.5x - 6.5 \iff x = 7 \quad \Longrightarrow \quad (7 \ ; \ 4) $$
    $$ f_2(x) = f_5(x) \iff x - 2 = -x + 12 \iff x = 7 \quad \Longrightarrow \quad (7 \ ; \ 5) $$

    Les trois premiers tirs forment le croiseur, les deux derniers le sous-marin : les deux navires sont coulés.

  3. Les faisceaux \(f_2\) et \(f_3\) ne se croisent jamais. Démontrer que l'équation \(f_2(x) = f_3(x)\) n'a pas de solution, puis dire ce que cela montre pour leurs droites.
    $$ f_2(x) = f_3(x) \iff x - 2 = x - 3 \iff -2 = -3 $$

    L'égalité est fausse pour tout \(x\) : l'équation n'a pas de solution, les deux droites n'ont aucun point commun.

    Elles ont le même coefficient directeur \(a = 1\) et des ordonnées à l'origine différentes : elles sont parallèles.