Les fonctions affines en seconde

Une droite se résume à deux nombres : on les calcule, et ils disent tout de la fonction.

Reconnaître une fonction affine et la droite qui la représente
Calculer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine à partir de deux points
Déduire le signe et les variations du signe du coefficient directeur
Calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites
Interpréter le coefficient directeur comme un taux d'accroissement constant

Un forfait mobile coûte $8 \ \text{€}$ par mois, plus $0.05 \ \text{€}$ par SMS hors forfait. Le prix d'un mois où l'on en envoie $x$ s'écrit :

$$ f(x) = 0.05x + 8 $$

$8$ est ce que l'on paie sans rien envoyer, $0.05$ le prix de chaque SMS : l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur.

Le prix monte toujours du même pas : sa représentation est une droite.

Définition

Une fonction affine

Une fonction affine, représentée par une droite, s'écrit :

$$f(x) = ax + b \hspace{2em} (a \in \mathbb{R} \quad \text{et} \quad b \in \mathbb{R}) $$

Avec :

$a$ : le coefficient directeur (ou pente)
$b$ : l'ordonnée à l'origine

Avec deux points distincts de la courbe, on calcule d'abord $a$, puis on en déduit $b$.

Le coefficient directeur : $a$

Il indique l'inclinaison de la droite.

Avec $M_1\bigl( x_1 ; y_1 \bigr)$ et $M_2\bigl( x_2 ; y_2 \bigr)$ :

$$ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

Fonction affine coef dir — le calcul du coefficient directeur $a$

L'ordonnée à l'origine : $b$

Détermination de $b$

Il existe deux possibilités pour obtenir $b$.
1. en connaissant les coordonnées d'un point de la courbe
  
  Une fois $a$ calculé, avec $M_1$ :
  
  $$ M_1(x_1; y_1) \in \hspace{0.01em} \mathcal{C}_f \Longleftrightarrow f(x_1) = ax_1 + b $$
  
  $$ f(x_1) - ax_1 = b $$
  
  On en déduit $b$ :
  
  $$M_1(x_1; y_1) \in \hspace{0.01em} \mathcal{C}_f \Longleftrightarrow b = f(x_1) -a x_1 $$
2. en connaissant la formule de l'équation
  
  On calcule $f(0)$ :
  
  $$ f(0) = a \times 0 + b = b $$
  
  D'où l'ordonnée à l'origine :
  
  $$b = f(0) $$
Cas particulier : fonction linéaire

Si $b = 0$, on parle de fonction linéaire :

$$f(x) = ax \hspace{2em} (a \in \mathbb{R}) $$

la fonction linéaire : $f(x) = ax$

Signes et variations d'une fonction affine

Soit $f(x) = ax+b$.

Son sens de variation ne dépend que de la pente $a$.

signes d'une fonction affine : $f(x) = ax+b$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ - \frac{b}{a} $$		$$ +\infty $$
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{si \ a \ \text{est} \ +} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$

$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{si \ a \ \text{est} \ -} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$

Le signe d'une fonction affine

Soit $f(x) = ax+b$, avec $a \neq 0$. On résout :

$$ f(x) > 0 $$

$$ ax+b > 0 $$

$$ ax > -b $$

$$ \left \{ \begin{gather*} \textcolor{rgb(93 183 129)}{si \ a \ \text{est} \ +}, \ x > -\frac{b}{a} \\ \\ \textcolor{rgb(232 124 124)}{si \ a \ \text{est} \ -}, \ x < -\frac{b}{a} \end{gather*} \right \} $$

$$ f(x) = 0 $$

$$ ax+b = 0 $$

$$ ax = -b $$

$$ x = -\frac{b}{a} $$

$$ f(x) < 0 $$

$$ ax+b < 0 $$

$$ ax < -b $$

$$ \left \{ \begin{gather*} \textcolor{rgb(93 183 129)}{si \ a \ \text{est} \ +}, \ x < -\frac{b}{a} \\ \\ \textcolor{rgb(232 124 124)}{si \ a \ \text{est} \ -}, \ x > -\frac{b}{a} \end{gather*} \right \} $$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ - \frac{b}{a} $$		$$ +\infty $$
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{si \ a \ \text{est} \ +} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{si \ a \ \text{est} \ -} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$

signes d'une fonction affine : $f(x) = ax+b$

Les variations d'une fonction affine

Pour deux points $M_1\bigl( x_1 ; y_1 \bigr)$ et $M_2\bigl( x_2 ; y_2 \bigr)$ :

$$ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

Avec $x_1 < x_2$ :

$$ a = \frac{y_2 - y_1}{\underbrace{x_2 - x_1} _\text{toujours $> 0$}} $$

Le signe de $a$ est celui de $y_2 - y_1$.

$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{si \ a \ \text{est} \ +}, $$

$$ y_2 -y_1 > 0 $$

$$ y_1 < y_2 $$

Alors,

$$ \bigl[ x_1 < \ ; \ x_2 \bigr] \land \Bigl[ f(x_1) < \ ; \ f(x_2) \Bigr] $$

Les images sont dans le même ordre :

$\Longrightarrow$ la fonction est croissante

$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{si \ a \ \text{est} \ -}, $$

$$ y_2 -y_1 < 0 $$

$$ y_1 > y_2 $$

Alors,

$$ \bigl[ x_1 < \ ; \ x_2 \bigr] \land \Bigl[ f(x_1) > \ ; \ f(x_2) \Bigr] $$

Les images sont dans l'ordre contraire :

$\Longrightarrow$ la fonction est décroissante

Exemple :

$$ f(x) = -3x + 1 $$

La pente est négative : la fonction est strictement décroissante.

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ \frac{1}{3} $$	$$ +\infty $$
signe de \(f\)	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)} {-} $$
variations de \(f\)

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ $$	$$ +\infty $$
signe de \(f\)	$$ $$	$$ 0 $$	$$ $$
variations de \(f\)

Point d'intersection entre deux fonctions affines : $f_1 = f_2$

Soit deux fonctions affines :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \ \Biggl \{ \begin{gather*} f_1(x) = a_1 x + b_1 \\ f_2(x) = a_2 x + b_2 \end{gather*} $$

$$ \text{avec} \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} (a_1, \ b_1, \ a_2, \ b_2) \in \hspace{0.01em} \mathbb{R}^4 \\ a_1 \neq a_2 \end{gather*} $$

Les droites ne sont pas parallèles : elles se coupent où $f_1(x) = f_2(x)$ :

$$ f_1(x) = f_2(x) \Longrightarrow x = - \frac{b_2- b_1}{a_2 - a_1} = - \frac{\Delta b}{\Delta a} $$

Le coefficient directeur comme taux d'accroissement

Pour $f(x) = mx + p$, $m$ est la variation de $f(x)$ par unité de $x$ : c'est le taux d'accroissement de $f$.

$$ m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \hspace{2em} \text{pour tous réels } a \neq b $$

Si $m = 3$, quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $3$.

Plus généralement :

Une fonction est affine si et seulement si son taux d'accroissement entre deux points quelconques est constant.

Les fonctions affines

Définition

Une fonction affine

Le coefficient directeur : \(a\)

L'ordonnée à l'origine : \(b\)

Signes et variations d'une fonction affine

Point d'intersection entre deux fonctions affines : \(f_1 = f_2\)

Le coefficient directeur comme taux d'accroissement