Problèmes sur les fonctions affines : \(f(x) = a x + b \)

Détermination d'équation et intersection

Soit deux fonctions affines \(f\) et \(g\) tels que la figure suivante :

1. Calculer pour chacune leur coefficient directeur respectif \((a_1, a_2)\)

   Avec deux points \(P\left( -\frac{3}{2} ; 1 \right]\) et \(Q\left[ -\frac{5}{2} ; 2 \right)\) de \(f\) :

   $$ a_1 = \frac{-\frac{5}{2} - \left( -\frac{3}{2} \right)}{2 - 1} $$

   $$ a_1 = \frac{-1}{1} $$

   $$ a_1 = -1 $$

   Avec deux points \(R\bigl[ 0 ; 2 \bigr]\) et \(S\bigl[ 1 ; 3 \bigr]\) de \(g\) :

   $$ a_2 = \frac{3-2}{1-0} $$

   $$ a_2 = \frac{1}{1} $$

   $$ a_2 = 1 $$
2. Calculer leur ordonnée à l'origine \((b_1, b_2)\) ainsi que leur équation respectives.

   On utilise le point \(P\).

   $$ f(x_P) = a_1 x_P + b_1 $$

   $$ 1 = -\left( -\frac{3}{2} \right) + b_1 $$

   $$ 1 = \frac{3}{2} + b_1 $$

   $$ 1 - \frac{3}{2} = b_1 $$

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{ \frac{2}{2}} - \frac{3}{2} = b_1 $$

   $$ b_1 = - \frac{1}{2} $$

   On utilise le point \(R\).

   $$ f(x_R) = a_2 x_R + b_2 $$

   $$ 2 = 1 \times 0 + b_2 $$

   $$ b_0 = 2 $$
3. En déduire les expressions exactes des fonctions \(f\) et \(g\).

   En remplaçant dans les formules précédentes avec les coefficients respectifs :

   $$ \left \{ \begin{gather*} f(x) = - x - \frac{1}{2} \\ \\ g(x) = x + 2 \end{gather*} \right \} $$
4. Résoudre graphiquement : \( f(x) = g(x) \).

   Graphiquement, on lit : \(x \approx -1.2\) .

5. Vérifier cette solution de manière algébrique.

   Algébriquement, on résoud :

   $$ f(x) = g(x) $$

   $$ - x - \frac{1}{2} = x + 2 $$

   $$ - 2x = 2 + \frac{1}{2} $$

   $$ - 2x = 2\textcolor{rgb(232 124 124)}{ \times \frac{2}{2}} + \frac{1}{2} $$

   $$ - 2x = \frac{5}{2} $$

   $$ - 2x \textcolor{rgb(232 124 124)}{ \times \left( -\frac{1}{2} \right) } = \frac{5}{2} \textcolor{rgb(232 124 124)}{ \times \left( -\frac{1}{2} \right)} $$

   $$ x = - \frac{5}{4} $$

Modélisation de la luminosité d'un océan

La luminosité d'un océan (en \(\%\)), d'une profondeur maximum de \(250 \ m\), est modélisée en fonction de la profondeur \(p\) (en \(m\)) grâce à la formule suivante :

1. Quelle est la nature de cette fonction ?

   La fonction \(L(p)\) est une fonction affine , avec comme paramètres :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} a = - 4 \times 10^{-1} \\ b = 100 \end{gather*} $$
2. Quelle est la valeur de la luminosité à la surface ?

   À la surface, la profondeur est de \((p=0)\), soit :

   $$ L(0) = 100 - 4 \times 10^{-1} \times 0 $$

   $$ L(0) = 100 \text{ %} $$

   La luminosité à la surface est maximale .

3. À partir de quelle profondeur la luminosité sera inférieure à \(30 \%\) ?

   Dans ce cas de figure, on doit résoudre l'équation :

   $$ L(p) \leqslant 30 $$

   $$ 100 - 4 \times 10^{-1}p \leqslant 30 $$

   $$ - 4 \times 10^{-1}p \leqslant 30 - 100 $$

   $$ - 4 \times 10^{-1}p \leqslant -70 $$

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{\left( \frac{1}{- 4 \times 10^{-1}} \right) \times} - 4 \times 10^{-1}p \leqslant -70 \textcolor{rgb(232 124 124)}{ \times \left( \frac{1}{- 4 \times 10^{-1}} \right) } $$

   $$ p \geqslant \frac{70}{ 4 \times 10^{-1}} $$

   $$ p \geqslant 175 $$

   Au-delà de \(175 \ m \) de profondeur , la luminosité sera inférieure à \(30 \text{ %}\).

La conversion \(°C \longleftrightarrow °F \)

En voyage aux États-unis, on a relevé des températures avec un thermomètre français mais aussi avec un thermomètre acheté sur place.

On a relevé les différentes températures dans le tableau suivant :

1. Existe-t-il un rapport de proportionnalité entre ces deux unités ?

   S'il existait un rapport de proportionnalité dans ces valeurs, cela veut dire que le produit en croix fonctionnerait.

   Alors, pour les valeurs des deux premières lignes, on aurait :

   $$ \frac{27}{8.5} = \frac{80.6}{47.3} \Longrightarrow \frac{27 \times 47.3}{8.5} = 80.6 $$

   Or,

   $$ \frac{27 \times 47.3}{8.5} \approx 150.25 \neq 80.6 $$

   Donc ce tableau n'est pas proportionnel .

   
   

   Modélisation : on souhaite modéliser une formule qui relierai ces deux unités entres elles, pour pouvoir effectuer des conversions par la suite.

2. Reporter sur le graphique suivant les données du tableau.

   

   

3. Que peut-on conjecturer sur le lien entre les deux unités ?

   Comme il semble que c'est une droite qui ne passe pas par l'origine, c'est probablement une fonction affine .

4. En conservant cette hypothèse, déduire la formule donnant la température en degrés \(°F\) en fonction de la température en degrés \(°C\).

   $$ T_{F} = f\bigl(T_{C} \bigr) $$

   Calculons la pente, puis l'ordonnée à l'origine.

   1. Calcul de la pente \(a\)

      Avec deux points \(P\bigl[ 27 ; 80.6 \bigr]\) et \(Q\bigl[ 8.5 ; 47.3 \bigr]\) des valeurs du tableau :

      $$ a = \frac{47.3 - 80.6}{8.5-27} $$
      $$ a = \frac{-33.3}{-18.5} $$
      $$ a = \frac{9}{5} $$

   2. Calcul de l'ordonnée à l'origine \(b\)

      On utilise le point \(P\).

      $$ 80.6 = \frac{9}{5} \times 27 + b $$
      $$ 80.6 - \frac{9}{5} \times 27 = b $$
      $$ b = 32 $$

   3. Formule

      On a alors :

      $$T_{F} = \frac{9}{5} T_{C} + 32 $$

5. Grâce à la formule trouver, convertir en degrés \(°F\) les températures suivantes :

   $$ 0°C = \hspace{4em} °F $$

   $$ 20°C = \hspace{4em} °F $$
   $$ 50 °F = \hspace{4em} °C $$

   $$ 80 °F = \hspace{4em} °C $$

   On a la formule de conversion suivante de \(( T_{C} \longrightarrow T_{F})\) :

   $$T_{F} = \frac{9}{5} T_{C} + 32 \qquad ( T_{C} \longrightarrow T_{F}) $$

   Ainsi, on peut effectuer les deux premières conversions :

   $$ 0°C = \frac{9}{5} \times 0 + 32 °F $$

   $$0°C = 32 °F $$

   $$ 20°C = \frac{9}{5} \times 20 + 32 °F $$

   $$ 20°C = \frac{4 \times 9}{5}+ 32 °F $$

   $$20°C = 68 °F $$

   
   

   Mais aussi la symétrique. En repartant de la première :

   $$ T_{F} = \frac{9}{5} T_{C} + 32 \qquad ( T_{C} \longrightarrow T_{F}) $$

   $$ T_{F} - 32 = \frac{9}{5} T_{C} $$

   $$ \frac{5}{9} \times \left( T_{F} - 32 \right) = T_{C} $$

   $$T_{C} = - \frac{5}{9} \times \left( T_{F} - 32 \right) \qquad ( T_{F} \longrightarrow T_{C}) $$

   Ainsi,

   $$ 50°F = - \frac{5}{9} \times \left( 50 - 32 \right) °C $$

   $$50°F = 10 °C $$

   $$ 80°F = - \frac{5}{9} \times \left( 80 - 32 \right) °C $$

   $$80°F \approx 26.6 °C $$