Problèmes sur les fonctions affines

Expressions et intersection

On considère deux fonctions affines \(f\) et \(g\), représentées ci-dessous.

1. Calculer le coefficient directeur de chacune des deux fonctions, \(a_1\) pour \(f\) et \(a_2\) pour \(g\).

   Avec deux points \(P(1 \ ; \ {-}\frac{3}{2})\) et \(Q(2 \ ; \ {-}\frac{5}{2})\) de la droite de \(f\) :

   $$ a_1 = \frac{- \frac{5}{2} - \left( - \frac{3}{2} \right)}{2 - 1} $$

   $$ a_1 = \frac{- 1}{1} $$

   $$ a_1 = - 1 $$

   Avec deux points \(R(0 \ ; \ 2)\) et \(S(1 \ ; \ 3)\) de la droite de \(g\) :

   $$ a_2 = \frac{3 - 2}{1 - 0} $$

   $$ a_2 = \frac{1}{1} $$

   $$ a_2 = 1 $$
2. Calculer l'ordonnée à l'origine de ces deux mêmes fonctions, \(b_1\) pour \(f\) et \(b_2\) pour \(g\).

   On utilise le point \(P\) de la droite de \(f\) :

   $$ b_1 = f(x_P) - a_1 x_P $$

   $$ b_1 = - \frac{3}{2} - (- 1) \times 1 $$

   $$ b_1 = - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} $$

   $$ b_1 = - \frac{1}{2} $$

   La droite de \(g\) coupe l'axe des ordonnées en \(R(0 \ ; \ 2)\) :

   $$ b_2 = g(0) $$

   $$ b_2 = 2 $$
3. En déduire les expressions de \(f\) et de \(g\).

   On remplace les coefficients dans chacune des deux expressions :

   $$ f(x) = - x - \frac{1}{2} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} g(x) = x + 2 $$
4. Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = g(x)\).

   On lit l'abscisse du point où les deux droites se coupent : il est situé entre \(- 1.5\) et \(- 1\), à peu près au milieu.

   $$ x \approx - 1.25 $$
5. Vérifier cette solution par le calcul.

   On résout l'équation \(f(x) = g(x)\) :

   $$ - x \textcolor{rgb(232 124 124)}{- \frac{1}{2}} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{x} + 2 $$

   $$ - x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- x} = 2 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ \frac{1}{2}} $$

   $$ - 2x = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} $$

   $$ - 2x = \frac{5}{2} $$

   $$ - 2x \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \left( - \frac{1}{2} \right)} = \frac{5}{2} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \left( - \frac{1}{2} \right)} $$

   $$ x = - \frac{5}{4} $$

   Et \(- \frac{5}{4} = - 1.25\) : la lecture graphique est confirmée.

La luminosité sous la mer

Dans une zone de mer profonde de \(250 \ \text{m}\), la luminosité, en pourcentage de la luminosité à la surface, est modélisée en fonction de la profondeur \(p\), en mètres, par :

1. Donner la nature de la fonction \(L\) et ses coefficients.

   \(L(p)\) s'écrit \(ap + b\) : \(L\) est une fonction affine.

   $$ a = - 0.4 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} b = 100 $$
2. Calculer la luminosité à la surface.

   À la surface, la profondeur vaut \(p = 0\) :

   $$ L(0) = 100 - 0.4 \times 0 $$

   $$ L(0) = 100 \ \% $$

   Comme \(a\) est négatif, \(L\) est décroissante : c'est à la surface que la luminosité est maximale.

3. Déterminer à partir de quelle profondeur la luminosité devient inférieure ou égale à \(30 \ \%\).

   On résout l'inéquation \(L(p) \leqslant 30\) :

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{100} - 0.4p \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{\leqslant} 30 $$

   $$ - 0.4p \leqslant 30 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 100} $$

   $$ - 0.4p \leqslant - 70 $$

   On divise les deux membres par \(- 0.4\), qui est négatif :

   $$ \frac{- 0.4p}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{- 0.4}} \ \underbrace{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\geqslant}}_{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\text{le sens change}}} \ \frac{- 70}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{- 0.4}} $$

   $$ p \geqslant 175 $$

   À partir de \(175 \ \text{m}\) de profondeur, la luminosité ne dépasse plus \(30 \ \%\) de celle de la surface.

Des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit

En voyage aux États-Unis, on a relevé les mêmes températures avec un thermomètre français et avec un thermomètre acheté sur place :

1. Dire si les températures en degrés Fahrenheit sont proportionnelles aux températures en degrés Celsius.

   On compare les quotients des deux premières lignes :

   $$ \frac{80.6}{27} \approx 2.99 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{47.3}{8.5} \approx 5.56 $$

   Les quotients ne sont pas égaux : le tableau n'est pas un tableau de proportionnalité.

2. On cherche une formule qui relie les deux unités, pour convertir ensuite n'importe quelle température. Reporter les données du tableau sur le graphique suivant.

   

   

3. Conjecturer le type de lien entre les deux unités.

   Les points semblent alignés sur une droite qui ne passe pas par l'origine : le lien semble donné par une fonction affine, et non linéaire.

4. En admettant cette conjecture, déterminer la formule \(T_F = a T_C + b\) qui donne la température en degrés Fahrenheit en fonction de la température en degrés Celsius.

   On calcule le coefficient directeur avec les deux points \(P(27 \ ; \ 80.6)\) et \(Q(8.5 \ ; \ 47.3)\) :

   $$ a = \frac{47.3 - 80.6}{8.5 - 27} $$

   $$ a = \frac{- 33.3}{- 18.5} $$

   $$ a = 1.8 = \frac{9}{5} $$

   Puis l'ordonnée à l'origine, avec le point \(P\) :

   $$ b = 80.6 - 1.8 \times 27 $$

   $$ b = 80.6 - 48.6 $$

   $$ b = 32 $$

   $$ T_F = \frac{9}{5} T_C + 32 $$
5. Avec cette même formule, convertir \(0 \ °\text{C}\) et \(20 \ °\text{C}\) en degrés Fahrenheit, puis \(50 \ °\text{F}\) et \(80 \ °\text{F}\) en degrés Celsius.
   $$ T_F = \frac{9}{5} \times 0 + 32 $$

   $$ 0 \ °\text{C} = 32 \ °\text{F} $$

   $$ T_F = 9 \times 4 + 32 $$

   $$ 20 \ °\text{C} = 68 \ °\text{F} $$

   Pour l'autre sens, on exprime \(T_C\) en fonction de \(T_F\) :

   $$ \frac{9}{5} T_C \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 32} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} T_F $$

   $$ \frac{9}{5} T_C = T_F \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 32} $$

   $$ \frac{9}{5} T_C \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{5}{9}} = (T_F - 32) \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{5}{9}} $$

   $$ T_C = \frac{5}{9} (T_F - 32) $$

   $$ T_C = \frac{5}{9} \times 18 $$

   $$ 50 \ °\text{F} = 10 \ °\text{C} $$

   $$ T_C = \frac{5}{9} \times 48 = \frac{80}{3} $$

   $$ 80 \ °\text{F} \approx 26.7 \ °\text{C} $$

Retrouver une droite

Les trois droites ci-dessous représentent trois des quatre fonctions affines suivantes :

1. Associer chaque droite à sa fonction, sans calcul, en lisant le signe du coefficient directeur et celui de l'ordonnée à l'origine.

   \((d_2)\) est la seule droite qui descend : son coefficient directeur est négatif. Elle coupe l'axe des ordonnées au-dessus de l'origine, donc son ordonnée à l'origine est positive : c'est \(f_3\), et non \(f_4\).

   \((d_1)\) et \((d_3)\) montent toutes les deux. \((d_1)\) coupe l'axe des ordonnées en dessous de l'origine, \((d_3)\) au-dessus : \((d_1)\) a une ordonnée à l'origine négative, \((d_3)\) une ordonnée à l'origine positive.

   $$ (d_1) : f_2 \hspace{2em} (d_2) : f_3 \hspace{2em} (d_3) : f_1 $$
2. On passe à la fonction qui reste, \(f_4\). Donner deux points de sa droite, et dire pourquoi elle ne pouvait être aucune des trois.
   $$ f_4(0) = - 2 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} f_4(- 1) = 2 - 2 = 0 $$

   $$ A(0 \ ; \ {-}2) \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} B({-}1 \ ; \ 0) $$

   Son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine sont tous deux négatifs : sa droite descend et coupe l'axe des ordonnées sous l'origine, ce que ne fait aucune des trois droites.

Deux bougies

On allume au même instant deux bougies. La bougie A mesure \(20 \ \text{cm}\) et raccourcit de \(1.5 \ \text{cm}\) par heure ; la bougie B, plus petite, mesure \(14 \ \text{cm}\) et raccourcit de \(0.5 \ \text{cm}\) par heure. On note \(t\) le temps écoulé depuis l'allumage, en heures.

1. Exprimer en fonction de \(t\) la hauteur \(h_A(t)\) de la bougie A et la hauteur \(h_B(t)\) de la bougie B, en centimètres.

   Chaque heure retire la même longueur : les deux hauteurs sont des fonctions affines de \(t\), de coefficient directeur négatif.

   $$ h_A(t) = 20 - 1.5t \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} h_B(t) = 14 - 0.5t $$
2. Déterminer au bout de combien de temps les deux bougies ont la même hauteur, et donner cette hauteur.

   On résout l'équation \(h_A(t) = h_B(t)\) :

   $$ 20 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 1.5t} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{14} - 0.5t $$

   $$ 20 \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 14} = - 0.5t \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 1.5t} $$

   $$ 6 = t $$

   Et la hauteur commune :

   $$ h_A(6) = 20 - 1.5 \times 6 = 11 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} h_B(6) = 14 - 0.5 \times 6 = 11 $$

   $$ \text{au bout de } 6 \ \text{h} \text{, les deux bougies mesurent } 11 \ \text{cm} $$
3. Léa affirme : « la bougie A est la plus grande, elle s'éteindra donc la dernière ». Dire si elle a raison, en justifiant par un calcul.

   Une bougie s'éteint quand sa hauteur devient nulle. Pour la bougie A :

   $$ 20 - 1.5t = 0 \iff t = \frac{20}{1.5} = \frac{40}{3} \approx 13.3 $$

   Pour la bougie B :

   $$ 14 - 0.5t = 0 \iff t = \frac{14}{0.5} = 28 $$

   La bougie A s'éteint au bout de \(13 \ \text{h} \ 20 \ \text{min}\) environ, la bougie B au bout de \(28 \ \text{h}\) : A raccourcit trois fois plus vite, et la question précédente montrait déjà qu'elle devient la plus petite après \(6 \ \text{h}\).

   $$ \text{Léa a tort : la bougie B s'éteint la dernière} $$

Un vélo pour deux

Léa et Noé rejoignent un lac à \(16 \ \text{km}\) avec un seul vélo. Léa part à vélo, l'attache au bord du chemin au kilomètre \(x\) et finit à pied ; au même moment, Noé part à pied, reprend le vélo au kilomètre \(x\) et finit à vélo. À pied, chacun met \(12 \ \text{min}\) par kilomètre ; à vélo, \(4 \ \text{min}\).

1. On prend \(x = 4\). Calculer la durée du trajet de Léa et celle du trajet de Noé, puis dire au bout de combien de temps ils sont réunis au lac.

   Léa roule \(4 \ \text{km}\) puis marche \(12 \ \text{km}\) ; Noé marche \(4 \ \text{km}\) puis roule \(12 \ \text{km}\) :

   $$ 4 \times 4 + 12 \times 12 = 160 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 4 \times 12 + 12 \times 4 = 96 $$

   Léa met \(160 \ \text{min}\), Noé \(96 \ \text{min}\). Ils sont réunis à l'arrivée de Léa, la plus lente :

   $$ \text{réunis au bout de } 160 \ \text{min} = 2 \ \text{h} \ 40 \ \text{min} $$
2. Pour \(x \in \bigl[ 0 \ ; \ 16 \bigr]\), exprimer en fonction de \(x\) la durée \(L(x)\) du trajet de Léa et la durée \(N(x)\) du trajet de Noé, en minutes. Donner le sens de variation de ces deux fonctions, et ce que disent leurs coefficients directeurs.

   Léa roule \(x\) kilomètres et en marche \(16 - x\) ; Noé marche \(x\) kilomètres et en roule \(16 - x\) :

   $$ L(x) = 4x + 12(16 - x) = 4x + 192 - 12x $$

   $$ N(x) = 12x + 4(16 - x) = 12x + 64 - 4x $$

   $$ L(x) = - 8x + 192 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} N(x) = 8x + 64 $$

   Le coefficient directeur de \(L\), \(- 8\), est négatif : \(L\) est décroissante. Celui de \(N\), \(8\), est positif : \(N\) est croissante. Chaque kilomètre de vélo en plus fait gagner \(8 \ \text{min}\) à Léa, et en fait perdre \(8\) à Noé.

   Noé atteint le kilomètre \(x\) au bout de \(12x\) minutes, après Léa, qui y passe au bout de \(4x\) minutes : le vélo l'attend bien.

3. Les deux droites ci-dessous représentent \(L\) et \(N\). Lire le kilomètre \(x\) qui réunit Léa et Noé le plus tôt, puis prouver qu'aucun autre choix ne les réunit aussi tôt.

   Ils sont réunis au bout de la plus grande des deux durées. Sur le graphique, elle est la plus petite au croisement des deux droites, qui semble en \(x = 8\). On résout \(L(x) = N(x)\) :

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 8x} + 192 \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} 8x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{+ 64} $$

   $$ 192 \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 64} = 8x \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 8x} $$

   $$ 128 = 16x $$

   $$ \frac{128}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{16}} = \frac{16x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{16}} $$

   $$ x = 8 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} L(8) = N(8) = 128 $$

   Aucun autre choix ne fait aussi bien :

   Si \(x < 8\) : \(L\) est décroissante, donc \(L(x) > L(8) = 128\). Léa arrive après \(128 \ \text{min}\).

   Si \(x > 8\) : \(N\) est croissante, donc \(N(x) > N(8) = 128\). Noé arrive après \(128 \ \text{min}\).

   $$ x = 8 \hspace{2em} \text{réunis au bout de } 128 \ \text{min} = 2 \ \text{h} \ 08 \ \text{min} $$

   À pied tous les deux, il leur aurait fallu \(16 \times 12 = 192 \ \text{min}\).

4. On change de cyclistes : Noé roule maintenant à \(3 \ \text{min}\) par kilomètre, et Léa à \(5 \ \text{min}\) ; à pied, rien ne change. Noé veut partir à vélo, « puisque je suis le plus rapide ». Trancher : qui doit partir à vélo, et où laisser le vélo pour être réunis le plus tôt ?

   Léa part à vélo et le laisse au kilomètre \(x\) :

   $$ L_1(x) = 5x + 12(16 - x) = - 7x + 192 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} N_1(x) = 12x + 3(16 - x) = 9x + 48 $$

   Comme à la question 3, \(L_1\) est décroissante et \(N_1\) croissante : le meilleur choix rend les deux durées égales.

   $$ - 7x + 192 = 9x + 48 \iff 144 = 16x \iff x = 9 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} L_1(9) = N_1(9) = 129 $$

   Noé part à vélo et le laisse au kilomètre \(y\) :

   $$ N_2(y) = 3y + 12(16 - y) = - 9y + 192 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} L_2(y) = 12y + 5(16 - y) = 7y + 80 $$

   Cette fois, \(N_2\) est décroissante et \(L_2\) croissante :

   $$ - 9y + 192 = 7y + 80 \iff 112 = 16y \iff y = 7 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} N_2(7) = L_2(7) = 129 $$

   $$ \text{réunis au bout de } 129 \ \text{min} \text{, que Léa ou Noé parte à vélo} $$

   L'argument de Noé ne fait rien gagner : ce qui compte, c'est de laisser le vélo au bon endroit, au kilomètre \(9\) si Léa part avec, au kilomètre \(7\) si c'est Noé. Dans les deux cas, celui qui marche atteint le vélo après qu'il a été laissé.

La recharge de la voiture électrique

Branchée à \(20 \ \%\) sur une borne rapide, la batterie d'une voiture électrique se charge comme l'indique le graphique ; branchée à un niveau plus élevé, elle suit la même courbe à partir de ce niveau. Pleine, elle contient \(60 \ \text{kWh}\) : \(1 \ \%\) de charge vaut \(0.6 \ \text{kWh}\).

1. Lire la durée de la charge de \(20 \ \%\) à \(80 \ \%\), puis de \(80 \ \%\) à \(100 \ \%\). Déterminer l'expression de la charge \(N(t)\), en \(\%\), en fonction du temps \(t\), en minutes, sur \(\bigl[ 0 \ ; \ 30 \bigr]\) puis sur \(\bigl[ 30 \ ; \ 70 \bigr]\).

   De \(20 \ \%\) à \(80 \ \%\), la charge dure \(30 \ \text{min}\) ; de \(80 \ \%\) à \(100 \ \%\), elle dure \(70 - 30 = 40 \ \text{min}\).

   Sur \(\bigl[ 0 \ ; \ 30 \bigr]\), avec les points \((0 \ ; \ 20)\) et \((30 \ ; \ 80)\) :

   $$ a = \frac{80 - 20}{30 - 0} = 2 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} b = N(0) = 20 $$

   $$ N(t) = 2t + 20 $$

   Sur \(\bigl[ 30 \ ; \ 70 \bigr]\), avec les points \((30 \ ; \ 80)\) et \((70 \ ; \ 100)\) :

   $$ a = \frac{100 - 80}{70 - 30} = 0.5 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} b = 80 - 0.5 \times 30 = 65 $$

   $$ N(t) = 0.5t + 65 $$

   Vérification : \(N(70) = 35 + 65 = 100\).

2. La borne A facture \(0.30 \ \text{€}\) la minute, la borne B \(0.50 \ \text{€}\) le kWh. Interpréter les deux coefficients directeurs, puis calculer, à chaque borne, le prix de \(1 \ \%\) de charge en dessous de \(80 \ \%\), puis au-dessus.

   Les coefficients directeurs sont des taux d'accroissement : la charge gagne \(2 \ \%\) par minute jusqu'à \(80 \ \%\), puis \(0.5 \ \%\) par minute, quatre fois moins vite. \(1 \ \%\) de charge prend donc \(0.5 \ \text{min}\) en dessous de \(80 \ \%\), et \(2 \ \text{min}\) au-dessus.

   $$ \text{borne A} : 0.5 \times 0.30 = 0.15 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 2 \times 0.30 = 0.60 $$

   À la borne B, le niveau ne compte pas : \(1 \ \%\) vaut toujours \(0.6 \ \text{kWh}\).

   $$ \text{borne B} : 0.6 \times 0.50 = 0.30 $$

   $$ \text{A} : 0.15 \ \text{€} \ \text{puis} \ 0.60 \ \text{€} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{B} : 0.30 \ \text{€} $$
3. Inès charge toujours jusqu'à \(100 \ \%\). Elle affirme : « La borne A est toujours la moins chère. » Trancher, en comparant les deux bornes pour une charge complète à partir de \(20 \ \%\), puis à partir de \(60 \ \%\).

   À partir de \(20 \ \%\) : \(60 \ \%\) se chargent sous la barre des \(80 \ \%\), puis \(20 \ \%\) au-dessus.

   $$ \text{A} : 60 \times 0.15 + 20 \times 0.60 = 9 + 12 = 21 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{B} : 80 \times 0.30 = 24 $$

   À partir de \(60 \ \%\) : \(20 \ \%\) sous la barre, puis \(20 \ \%\) au-dessus.

   $$ \text{A} : 20 \times 0.15 + 20 \times 0.60 = 3 + 12 = 15 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{B} : 40 \times 0.30 = 12 $$

   $$ \text{Inès a tort : branchée à } 60 \ \% \text{, la voiture se charge moins cher à la borne B} $$

   Vérification sur le graphique : de \(20 \ \%\) à \(100 \ \%\), la charge dure \(70 \ \text{min}\), et \(70 \times 0.30 = 21 \ \text{€}\).

4. Pour une charge complète, on branche la voiture à \(s \ \%\), avec \(20 \leqslant s < 100\). Déterminer tous les niveaux \(s\) pour lesquels la borne A est la moins chère. On pourra distinguer \(s \leqslant 80\) et \(s > 80\).

   Premier cas, \(20 \leqslant s \leqslant 80\) : on charge \(80 - s\) points sous la barre, puis \(20\) au-dessus. Les prix, en euros, valent :

   $$ P_A(s) = 0.15(80 - s) + 0.60 \times 20 = - 0.15s + 24 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} P_B(s) = 0.30(100 - s) = - 0.3s + 30 $$

   On résout \(P_A(s) < P_B(s)\) :

   $$ - 0.15s \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 24} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{<}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 0.3s} + 30 $$

   $$ - 0.15s \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{+ 0.3s} < 30 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 24} $$

   $$ 0.15s < 6 $$

   $$ \frac{0.15s}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.15}} < \frac{6}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.15}} $$

   $$ s < 40 $$

   Second cas, \(80 < s < 100\) : toute la charge se fait au-dessus de la barre.

   $$ P_A(s) = 0.60(100 - s) \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} P_B(s) = 0.30(100 - s) $$

   Comme \(100 - s > 0\), \(P_A(s) = 2 P_B(s) > P_B(s)\) : la borne B est la moins chère.

   $$ \text{la borne A est la moins chère pour } 20 \leqslant s < 40 $$

   Vérification : à \(40 \ \%\), les deux bornes coûtent \(18 \ \text{€}\) ; la question 3 trouvait A moins chère à \(20 \ \%\), et B à \(60 \ \%\).