Les fonctions de référence (jusqu'en seconde)

Fonction carrée : \(f(x) = x^2\)

1. Définition

   La fonction carrée répond à la définition générale :

   $$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
   $$f(x) = x^2 $$

   

   

2. Parité

   C'est une fonction paire , car :

   $$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
   $$(-x)^2 = x^2 $$

   Toutes les fonctions de type \(f(x) = x^{n}\), c'est-à-dire avec un exposant \(n\) pair, seront des fonctions paires.

   La raison fondamentale est que toutes ces fonctions sont tous des carrés :

   $$ x^n \ avec \ n \ pair \Longleftrightarrow x^{2m} $$
   $$ \left(avec \ m = \frac{n}{2} \right) $$

   Exemples :

   $$ x^4 = \left(x^2 \right)^2 $$
   $$ x^{24}= \left(x^{12} \right)^2 $$
3. Résolution d'équations

   Lorsque l'on souhaite résoudre une équation de type :

   $$ x^2 = A \qquad (A \in \mathbb{R}) $$

   On aura les trois cas possibles, soit :

   • deux solutions si \(A > 0 \) :

     $$ \mathcal{S} = \Bigl \{ \sqrt{A}, -\sqrt{A} \Bigr \} $$

     

     

   • une seule solution si \(A = 0 \) :

     $$ \mathcal{S} = \bigl \{ 0 \bigr \} $$

   • pas de solution si \(A < 0 \) :

     $$\mathcal{S} = \cancel{O} $$

À retenir : un carré est toujours positif.

Fonction racine carrée : \(f(x) = \sqrt{x}\)

1. Définition

   La fonction racine carrée répond à la définition générale :

   $$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+, $$
   $$f(x) = \sqrt{x} $$

   

   

   Elle n'est définie que pour des nombres positifs, car tout carré étant positif, il n'existe pas de racine carrée d'un nombre négatif.

   Sur la courbe, on voit que sa courbe est la symétrique de celle de la fonction carrée , par rapport à la droite d'équation \((y = x)\), appellée aussi l'identité .

2. Formules

   Les formules des racines carrées fonctionnent comme celles des puissances :

   $$ \forall (a,b) \in \hspace{0.03em} \left[ \mathbb{R}^+ \right]^2, $$

   $$ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} $$

   $$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+, \ \forall b \in \mathbb{R}^*_+, $$

   $$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $$

   Et uniquement pour les nombres positifs , on aura :

   $$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+, $$
   $$ \sqrt{a}^2 = \sqrt{a^2} = a $$
3. Inégalité de la racine carrée

   L'inégalité de la racine carrée est la suivante :

   $$ \forall (a,b) \in \hspace{0.03em} \left[ \mathbb{R}^+ \right]^2, $$
   $$ \sqrt{a + b} \leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b} $$

   L'inégalité de la racine carrée

   Lemme :

   Deux nombres positifs sont dans un certain ordre, si et seulement leurs carrés respectifs le sont aussi.

   $$ \forall (a,b) \in \hspace{0.03em} \left[ \mathbb{R}^+ \right]^2, $$

   $$ a \leqslant b \Longleftrightarrow a^2 \leqslant b^2 $$

   Calculons alors les carrés respectifs de chaque membre, et comparons-les.

   $$ \left(\sqrt{a + b}\right)^2 = a + b \qquad (1) $$

   $$ \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 = a \textcolor{rgb(93 183 129)}{+ 2\sqrt{a} \sqrt{b} } + b \qquad (2) $$

   Dans la seconde expression, on remarque qu'il y a un terme positif en plus. C'est donc celui-qui est le plus grand.

   Grâce au lemme, on peut directement conclure que :

   $$ \left[ \left(\sqrt{a + b}\right)^2 \leqslant \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 \right] \Longleftrightarrow \left[ \sqrt{a + b}\leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b} \right] $$

   Et finalement, on a bien prouvé que :

   $$ \forall (a,b) \in \hspace{0.03em} \left[ \mathbb{R}^+ \right]^2, $$

   $$\sqrt{a + b} \leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b} $$

Fonction cube : \(f(x) = x^3\)

1. Définition

   La fonction cube répond à la définition générale :

   $$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
   $$f(x) = x^3 $$

   

   

2. Parité

   C'est une fonction impaire , car :

   $$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
   $$(-x)^3 = -x^3 $$

   Toutes les fonctions de type \(f(x) = x^n\), avec un exposant \(n\) impair seront des fonctions impaires.

3. Résolution d'équations

   Lorsque l'on souhaite résoudre une équation de type :

   $$ x^3 = A \qquad (A \in \mathbb{R}) $$

   La fonction étant strictement croissante, on aura toujours qu'une seule solution :

   $$ \mathcal{S} = \Bigl \{ \sqrt[3]{A} \Bigr \} $$

   

   

Fonction inverse : \(f(x) = \frac{1}{x}\)

La fonction inverse répond à la définition générale :

Elle renvoie l'inverse de n'importe quel nombre.

Exemples :

1. Parité

   C'est une fonction impaire , car :

   $$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$
   $$\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} $$

Fonction valeur absolue : \(f(x) = |x|\)

La fonction valeur absolue répond à la définition générale :

Et plus précisément :

Elle renvoie la valeur positive de la valeur en entrée.

1. Parité

   C'est une fonction paire , car :

   $$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
   $$ | -x | = | x | $$
2. Formules

   Les formules des valeurs absolues fonctionnent aussi comme celles des puissances :

   $$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R} ^2, $$

   $$ |ab| = |a| \times |b| $$

   $$ \forall a \in \mathbb{R}, \ \forall b \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$

   $$ \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|} $$