Les fonctions de référence (jusqu'en seconde)

Quatre fonctions servent de repères : leurs courbes et leurs règles de calcul reviennent dans toute l'analyse.

Reconnaître les courbes des fonctions carrée, racine carrée, inverse et valeur absolue
Résoudre une équation où un carré est égal à un nombre
Calculer un produit ou un quotient de racines carrées
Simplifier la racine carrée d'un carré à l'aide de la valeur absolue
Comparer la racine d'une somme et la somme des racines

Une pizza de $40 \ \text{cm}$ de diamètre en vaut quatre de $20 \ \text{cm}$ : doubler le rayon multiplie l'aire par $4$.

C'est la fonction carrée : elle n'est pas proportionnelle.

Chaque fonction de référence a sa manière de répondre : $x^2$ s'emballe, $\sqrt{x}$ freine, $\frac{1}{x}$ s'écrase.

Fonction carrée : $f(x) = x^2$

Définition

La fonction carrée est définie par :

$$f(x) = x^2 \hspace{2em} (x \in \mathbb{R}) $$

la fonction carrée : $f(x) = x^2$
Résolution d'équations

Pour résoudre :

$$ x^2 = A \hspace{2em} (A \in \mathbb{R}) $$

Trois cas :
- deux solutions si $A > 0 $:
  
  $$ \mathcal{S} = \Bigl \{ \sqrt{A}, -\sqrt{A} \Bigr \} $$
  
  la courbe et la droite $(y = A)$ : deux solutions si $A > 0 $
- une seule solution si $A = 0 $:
  
  $$ \mathcal{S} = \bigl \{ 0 \bigr \} $$
- pas de solution si $A < 0 $:
  
  $$\mathcal{S} = \cancel{O} $$

À retenir: un carré est toujours positif.

Fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$

Définition

La fonction racine carrée est définie par :

$$f(x) = \sqrt{x} \hspace{2em} (x \geqslant 0) $$

la fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$

Un nombre négatif n'a pas de racine carrée.

Sa courbe est la symétrique de celle de la fonction carrée par rapport à la droite $(y = x)$, dite identité.
Formules

Les racines carrées se calculent comme celles des puissances :

$$ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \hspace{2em} (a \geqslant 0 \quad \text{et} \quad b \geqslant 0) $$

$$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \hspace{2em} (a \geqslant 0 \quad \text{et} \quad b > 0) $$

Pour les nombres positifs seulement:

$$ \sqrt{a}^2 = \sqrt{a^2} = a \hspace{2em} (a \geqslant 0) $$

Pour un réel quelconque, la racine de son carré est sa valeur absolue:

$$ \sqrt{a^2} = \left|\, a \,\right| \hspace{2em} (a \in \mathbb{R}) $$

Avec $a = - 5$, écrire $\sqrt{a^2} = a$ donnerait $5 = - 5$ :

$$ \sqrt{(- 5)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

$$ \sqrt{(- 5)^2} = \left|\, - 5 \,\right| = 5 $$
Inégalité de la racine carrée

L'inégalité de la racine carrée :

$$ \sqrt{a + b} \leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b} \hspace{2em} (a \geqslant 0 \quad \text{et} \quad b \geqslant 0) $$

L'inégalité de la racine carrée

Lemme :

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.03em} \left[ \mathbb{R}^+ \right]^2, $$

$$ a \leqslant b \Longleftrightarrow a^2 \leqslant b^2 $$

Comparons les carrés des deux membres :

$$ \left(\sqrt{a + b}\right)^2 = a + b \hspace{2em} (1) $$

$$ \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 = a \textcolor{rgb(93 183 129)}{+ 2\sqrt{a} \sqrt{b} } + b \hspace{2em} (2) $$

$(2)$ compte un terme positif de plus : elle est la plus grande. D'après le lemme :

$$ \left[ \left(\sqrt{a + b}\right)^2 \leqslant \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 \right] \Longleftrightarrow \left[ \sqrt{a + b}\leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b} \right] $$

D'où :

$$\sqrt{a + b} \leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b} \hspace{2em} (a \geqslant 0 \quad \text{et} \quad b \geqslant 0) $$

Fonction inverse : $f(x) = \frac{1}{x}$

La fonction inverse est définie par :

$$f(x) = \frac{1}{x} \hspace{2em} (x \neq 0) $$

Graphe vide avec vecteurs unitaires — la fonction inverse : $f(x) = \frac{1}{x}$

Exemples :

$$ f \left( \frac{1}{2} \right) = 2 $$

$$ f \left( -\frac{3}{4} \right) = -\frac{4}{3} $$

$$ f(1)=1 $$

Fonction valeur absolue : $f(x) = |\, x \,|$

La fonction valeur absolue est définie par :

$$f(x) = |\, x \,| \hspace{2em} (x \in \mathbb{R}) $$

Et plus précisément :

$$f(x) = \Biggl \{ \begin{gather*} -x \hspace{2em} (\text{si} \ x < 0) \\ \hspace{0.6em} x \hspace{2em} (\text{si} \ x \geqslant 0) \end{gather*} $$

Elle renvoie la valeur positive du nombre.

Formules

Pour tous réels $a$ et $b$, les valeurs absolues se calculent comme celles des puissances :

$$ |\, ab \,| = |\, a \,| \times |\, b \,| $$

$$ \left|\, \frac{a}{b} \,\right| = \frac{|\, a \,|}{|\, b \,|} \hspace{2em} (b \neq 0) $$

Les fonctions de référence (jusqu'en seconde)

Fonction carrée : \(f(x) = x^2\)

Fonction racine carrée : \(f(x) = \sqrt{x}\)

Fonction inverse : \(f(x) = \frac{1}{x}\)

Fonction valeur absolue : \(f(x) = |\, x \,|\)