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Problèmes les généralités et les fonctions de référence

Fonction carrée : détermination de variations et intersection

Soit la fonction \(\Gamma\) suivante :

1. Déterminer l'ensemble de définition \(D_{\Gamma}\) de la fonction \(\Gamma\).

La fonction \(\Gamma\) est définie partout, n'ayant aucune valeur interdite.

$$ D_{\Gamma} = \mathbb{R} $$

2. Déterminer les variations de \(\Gamma\) sur \(\mathbb{R^+}\) et \(\mathbb{R^-}\), puis tracer ces variations dans un tableau.

   On pourra s'aider d'un encadrement déterminer ces variations :

   $$ \forall x \in \mathbb{R^+}, \ f(x) = x^2 \ est \ strictement \ croissante, $$

   Alors,

   $$ \forall (a,b) \in \bigl[ \mathbb{R^+} \bigr]^2, \ a \leqslant b \Longleftrightarrow a^2 \leqslant b^2 $$

   $$ \forall x \in \mathbb{R^-}, \ f(x) = x^2 \ est \ strictement \ d\textit{é}croissante, $$

   Alors,

   $$ \forall (a,b) \in \bigl[ \mathbb{R^+} \bigr]^2, \ a \leqslant b \Longleftrightarrow a^2 \geqslant b^2 $$

Pour \(x < 0\) :

$$ a \leqslant b $$

$$ a^2 \geqslant b^2 $$

$$ -\frac{1}{2} a^2 \leqslant -\frac{1}{2} b^2 $$

$$ \Gamma(a) \leqslant \Gamma(b) $$

$$ a \leqslant b \Longrightarrow \Gamma(a) \leqslant \Gamma(b) $$

Alors, la fonction \(\Gamma\) est croissante sur \(\mathbb{R}^*_-\).

Pour \(x \geqslant 0\) :

$$ a \leqslant b $$

$$ a^2 \leqslant b^2 $$

$$ -\frac{1}{2} a^2 \geqslant -\frac{1}{2} b^2 $$

$$ \Gamma(a) \geqslant \Gamma(b) $$

$$ a \leqslant b \Longrightarrow \Gamma(a) \geqslant \Gamma(b) $$

Alors, la fonction \(\Gamma\) est décroissante sur \(\mathbb{R}^+\).

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ 0 $$				$$ +\infty $$
$$ \Gamma(x) = -\frac{1}{2}x^2 $$			$$ 0 $$

3. Soit une autre fonction \(\Delta\) :

   $$ \Delta(x) = -\frac{1}{4}x $$

   Trouver les intervalles de solutions pour \(x\) de l'équation suivante :

   $$ \Gamma(x) = \Delta(x) $$
$$ \Gamma(x) = \Delta(x) \qquad (E) $$
$$ -\frac{1}{2}x^2 = -\frac{1}{4}x $$
$$ -\frac{1}{2}x^2 +\frac{1}{4}x = 0 $$
$$ \frac{1}{2}x \left( -x + \frac{1}{2} \right) = 0 $$
$$ \frac{1}{2}x = 0 $$
$$ x = 0 $$
ou
$$ -x + \frac{1}{2} = 0 $$
$$ x = \frac{1}{2} $$
Alors, l'intervalle des solutions pour \((E)\) est :
$$ \mathcal{S} = x \in \left \{ 0, \frac{1}{2} \right \} $$

Ensembles de définition

1. Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes :
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $$
$$ g(x) = \frac{1}{x-1} $$
$$ h(x) = \sqrt{2x+1} $$
$$ i(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} $$
$$ j(x) = \frac{1}{1-x} + \sqrt{2x} $$
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $$
Pour que la fonction \(\sqrt{x}\) soit définie, il faut que :
$$ x \geqslant 0 $$
et
Pour que le dénominateur ne s'annule pas, il faut que :
$$ \sqrt{x} \neq 0 $$
$$ x \neq 0 $$
Soit comme intersection des deux :
$$ (x \geqslant 0) \land (x \neq 0) = x > 0 $$
$$ \mathcal{D}_f = \mathbb{R^*_+} $$
---
$$g(x) = \frac{1}{x-1} $$
Pour que le dénominateur ne s'annule pas, il faut que :
$$ x-1 \neq 0 $$
$$ x \neq 1 $$
$$ \mathcal{D}_g = \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{ 1 \right\} $$
---
$$h(x) = \sqrt{2x+1} $$
Pour que la fonction \(\sqrt{2x+1}\) soit définie, il faut que :
$$ 2x+1 \geqslant 0 $$
$$ 2x \geqslant -1 $$
$$ x \geqslant -\frac{1}{2} $$
$$ \mathcal{D}_h = \left[ -\frac{1}{2} ; +\infty\right] $$
---
$$i(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} $$
Pour que la fonction \(i\) soit définie, il faut qu'aucun dénominateur ne s'annule, soit :
$$ x \neq 0 $$
et
$$ x -1 \neq 0 $$
$$ x \neq 1 $$
et
$$ x -2 \neq 0 $$
$$ x \neq 2 $$
$$ \mathcal{D}_i = \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigr\{ 0, 1, 2 \bigl\} $$
---
$$j(x) = \frac{1}{1-x} + \sqrt{2x} $$
Pour que la fonction \(j\) soit définie, il faut que :
$$ 1-x \neq 0 $$
$$ x \neq 1 $$
$$ 2x \geqslant 0 $$
$$ x \geqslant 0 $$
Soit comme intersection des deux :
$$ (x \neq 1) \land (x \geqslant 0) = \mathbb{R}^+ \hspace{0.2em} \backslash \bigr\{ 1 \bigl\} $$
$$ \mathcal{D}_j = \mathbb{R}^+ \hspace{0.2em} \backslash \bigr\{ 1 \bigl\} $$

Parités de fonctions

Pour ces différentes fonctions, indiquer leur parité.

1. Pour ces différentes fonctions, indiquer leur parité (paire, impaire ou aucune des deux) :
$$ f(x) = \frac{1}{x} + x $$
$$ g(x) = \frac{1}{x^2} $$
$$ h(x) = |x| - 1 $$
$$ i(x) = x^3 + x^2 $$
$$ j(x) = x + x^3 - x^5 $$
$$f(x) = \frac{1}{x} + x $$

Calcul de \(f(-x)\)

$$ f(-x) = \frac{1}{-x} - x $$

$$ f(-x) = -\frac{1}{x} - x $$

$$ f(-x) = - \left( \frac{1}{x} + x \right) $$

$$f(-x) = - f(x) $$

Alors, c'est une fonction impaire .

---

$$g(x) = \frac{1}{x^2} $$

Calcul de \(g(-x)\)

$$ g(-x) =\frac{1}{(-x)^2} $$

$$ g(-x) =\frac{1}{x^2} $$

$$g(-x) = g(x) $$

Alors, c'est une fonction paire .

---

$$h(x) = |x| - 1 $$

Calcul de \(h(-x)\)

$$ h(-x) = |-x| - 1 $$

$$ h(-x) = |x| - 1 $$

$$h(-x) = h(x) $$

Alors, c'est une fonction paire .

---

$$i(x) = x^3 + x^2 $$

Calcul de \(i(-x)\)

$$ i(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 $$

$$ i(-x) = -x^3 + x^2 $$

$$ i(-x) \neq i(x) $$

Cette fonction n'est pas paire .

Calcul de \(-i(x)\)

$$ -i(x) = -\left( x^3 + x^2 \right) $$

$$ -i(x) = -x^3 - x^2 $$

$$ i(-x) \neq -i(x) $$

Cette fonction n'est pas impaire .




Alors, cette fonction n'est ni paire, ni impaire .

---

$$j(x) = x + x^3 - x^5 $$

Calcul de \(j(-x)\)

$$ j(-x) = -x + (-x)^3 + (-x)^5 $$

$$ j(-x) = -x - x^3 - x^5 $$

$$ j(-x) = - \left( x + x^3 - x^5 \right) $$

$$j(-x) = -j(x) $$

Alors, c'est une fonction paire .

2. Démontrer qu'une fonction somme de deux fonctions paires est une fonction paire.

Soit deux fonctions \((f,g)\) telles que :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(x) = f(-x) \\ g(x) = g(-x) \end{gather*} $$

On introduit aussi une nouvelle fonction somme \(\Sigma(x)\) telle que :

$$ \Sigma(x) = f(x) + g(x) $$

Alors,

$$ \Sigma(-x) = f(-x) + g(-x) $$

$$ \Sigma(-x) = f(x) + g(x) $$

$$\Sigma(-x) = \Sigma(x) $$

Alors, on a démontré que la somme de deux fonctionspaires était aussi une fonction paire .

3. Démontrer qu'une fonction somme de deux fonctions impaires est une fonction impaire.

Soit deux fonctions \((f,g)\) telles que :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(-x) = -f(x) \\ g(-x) = -g(x) \end{gather*} $$

On introduit aussi une nouvelle fonction somme \(\Sigma(x)\) telle que :

$$ \Sigma(x) = f(x) + g(x) $$

Alors,

$$ \Sigma(-x) = f(-x) + g(-x) $$

$$ \Sigma(-x) = -f(x) - g(x) $$

$$ \Sigma(-x) = - \bigl(f(x) + g(x) \bigr) $$

$$\Sigma(-x) = - \Sigma(x) $$

Alors, on a démontré que la somme de deux fonctions impaires était aussi une fonction impaire .

4. Démontrer qu'une fonction produit d'une fonction impaire et d'une fonction paire est une fonction impaire.

Soit deux fonctions \((f,g)\) telles que :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(-x) = -f(x) \\ g(-x) = g(x) \end{gather*} $$

On introduit aussi une nouvelle fonction produit \(\Pi(x)\) telle que :

$$ \Pi(x) = f(x) g(x) $$

Alors,

$$ \Pi(-x) = f(-x) g(-x) $$

$$ \Pi(-x) = -f(x) g(x) $$

$$\Pi(-x) = -\Pi(x) $$

Alors, on a démontré que le produit d'une fonction impaire et d'une fonction paire était une fonction impaire .

Fonction carré : modélisation de la température dans le désert

L'évolution de la température (en \(°C\)) dans un désert a été modélisée sur une journée (\(t\) en \(h\)) par :

1. Représenter la courbe de cette fonction sur le graphique suivant.





2. À quelle heure de la journée la température semble être maximale ?

La témpérature semble être maximale à \((t=12)\), c'est-à-dire à midi.

3. Cette fonction admet semble admettre un axe de symétrie en \((x=12)\), vérifier alors que :

   $$ T(12-t) = T(12+t) $$

Calcul de \(T(12-t)\) :

$$ T(12-t) = -\frac{9}{25}((12- t) -12)^2 + 42 $$

$$ T(12-t) = -\frac{9}{25}(-t)^2 + 42 $$

$$ T(12-t) = -\frac{9}{25}t^2 + 42 $$

Calcul de \(T(12+t)\) :

$$ T(12+t) = -\frac{9}{25}((12 + t) -12)^2 + 42 $$

$$ T(12+t) = -\frac{9}{25}t^2 + 42 $$

On a bien vérifié que :

$$T(12-t) = T(12+t) $$
4. Quelle sont les températures à \((t = 0)\) et \((t = 24)\) ? Cela semble-t-il cohérent ?
$$ T(0) = -9.84 $$

$$ T(24) = -9.84 $$

Cela vérifie bien la symétrie précédemment étudiée.

5. Résoudre graphiquement :

   $$ T(t) \geqslant 26 $$

   Puis vérifier ce résultat par le calcul .

Graphiquement, on trouve que :

$$ T(t) \geqslant 26 \Longrightarrow t \in \bigl[\approx 5.3 ; \approx 18.6 \bigr] $$




Maintenant, algébriquement :

$$ T(t) \geqslant 26 \qquad(E) $$

$$ -\frac{9}{25}(t-12)^2 + 42 \geqslant 26 $$

$$ -\frac{9}{25}(t-12)^2 \geqslant 26 - 42 $$

$$ -\frac{9}{25}(t-12)^2 \geqslant -16 $$

$$ (t-12)^2 \geqslant -16 \times \left( -\frac{25}{9} \right) $$

$$ (t-12)^2 \geqslant \frac{16 \times 25}{9} $$

$$ (t-12)^2 - \frac{16 \times 25}{9} \geqslant 0 $$

$$ (t-12)^2 - \frac{4^2 \times 5^2}{3^2} \geqslant 0 $$

$$ (t-12)^2 - \left( \frac{4\times 5}{3} \right)^2 \geqslant 0 $$

$$ (t-12)^2 - \left( \frac{20}{3} \right)^2 \geqslant 0 $$

On peut maintenant factoriser avec la troisième identité remarquable, on a :

$$ \left[(t-12) - \frac{20}{3} \right ] \left[(t-12) + \frac{20}{3} \right ] \leqslant 0 $$

$$ \left[\textcolor{#6187B2}{\frac{3}{3} \times } (t-12) - \frac{20}{3} \right ] \left[ \textcolor{#6187B2}{\frac{3}{3} \times }(t-12) + \frac{20}{3} \right ] \leqslant 0 $$

$$ \left(\frac{3t- 36 -20 }{3} \right ) \left(\frac{3t- 36 + 20 }{3} \right) \leqslant 0 $$

$$ \left(\frac{3t-56}{3} \right) \left(\frac{3t-16 }{3} \right ) \leqslant 0 $$

$$ \bigl(3t-56\bigr) \bigl(3t-16 \bigr ) \leqslant 0 \qquad(E') $$




Pour les racines des différents facteurs :

$$ 3t-56 = 0 $$

$$ 3t = 56 $$

$$ t = \frac{56}{3} $$

$$ 3t-16 = 0 $$

$$ 5t = 16 $$

$$ t = \frac{16}{3} $$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ \frac{16}{3} $$		$$ \frac{56}{3} $$		$$ +\infty $$
$$ 3t-56 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$		$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$
$$ 3t-16 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$
$$ \bigl(3t-56 \bigr) \bigl(3t-16 \bigr ) $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$

Les solutions pour \((E')\) et donc pour \((E)\) sont :

$$ \mathcal{S} = x \in \left[ \frac{16}{3} ; frac{56}{3} \right] $$

C'est cohérent avec la lecture graphique car :

$$ \frac{16}{3} \approx 5.3 $$

$$ \frac{56}{3} \approx 18.6 $$

Résolution d'inéquations avec les fonctions de référence

Pour chaque cas, résoudre graphiquement , puis algébriquement :

1. la fonction inverse et une fonction constante :



$$ \frac{1}{x} \geqslant 2 \qquad(E) $$
1. Intervalle de travail

On travaille sur l'intersection des ensembles de définition respectifs de chaque fonction :

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$
$$ \mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* $$
$$ g(x) = 2 $$
$$ \mathcal{D}_g =\mathbb{R} $$
$$ \mathcal{D}_E = \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g $$
$$ \mathcal{D}_E = \mathbb{R}^* \cap \mathbb{R} $$
$$ \mathcal{D}_E = \mathbb{R}^* $$

2. Factorisation

$$ \frac{1}{x} \geqslant 2 $$
$$ \frac{1}{x} - 2 \geqslant 0 $$
$$ \frac{1}{x} - \frac{2x}{x} \geqslant 0 $$
$$ \frac{1 -2x}{x} \geqslant 0 \qquad(E') $$

3. Tableau de signes

Pour les racines des différents facteurs :

$$ 1-2x = 0 $$
$$ 1 = 2x $$
$$ x = \frac{1}{2} $$
$$ x = 0 $$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ 0 $$		$$ \frac{1}{2} $$		$$ +\infty $$
$$ 1 - 2x $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$		$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$
$$ x $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$
$$ \frac{1 -2x}{x} $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$			$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$

4. Conclusion

Les solutions pour \((E')\) :

$$ \frac{1 -2x}{x} \geqslant 0 \qquad(E') $$

et donc aussi pour \((E)\) sont :

$$ \mathcal{S} = x \in \left] 0 ; frac{1}{2} \right] $$
2. la fonction inverse et la fonction identité :



$$ \frac{1}{x} \geqslant x \qquad(F) $$
1. Intervalle de travail

On travaille sur l'intersection des ensembles de définition respectifs de chaque fonction :

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$
$$ \mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* $$
$$ g(x) = x $$
$$ \mathcal{D}_g =\mathbb{R} $$
$$ \mathcal{D}_F = \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g $$
$$ \mathcal{D}_F = \mathbb{R}^* \cap \mathbb{R} $$
$$ \mathcal{D}_F = \mathbb{R}^* $$

2. Factorisation

$$ \frac{1}{x} \geqslant x $$
$$ \frac{1}{x} - x \geqslant 0 $$
$$ \frac{1}{x} - \frac{x^2}{x} \geqslant 0 $$
$$ \frac{1 -x^2}{x} \geqslant 0 $$
$$ \frac{(1-x)(1+x)}{x} \geqslant 0 \qquad(F') $$

3. Tableau de signes

Pour les racines des différents facteurs :

$$ 1-x = 0 $$
$$ 1 = x $$
$$ 1+x = 0 $$
$$ x = -1 $$
$$ x = 0 $$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ -1 $$		$$ 0 $$		$$ 1 $$		$$ +\infty $$
$$ 1 - x $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$		$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$
$$ 1 + x $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$
$$ x $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$		$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$
$$ \frac{1 -2x}{x} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$		$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$

4. Conclusion

Les solutions pour \((F')\) :

$$ \frac{(1-x)(1+x)}{x} \geqslant 0 \qquad(F') $$

et donc aussi pour \((F)\) sont :

$$ \mathcal{S} = x \in \bigl] -\infty; -1 \bigr] \cup \bigl] 0 ; 1 \bigr] $$
3. la fonction carré et la fonction cube :



$$ x^2 \geqslant x^3 \qquad(G) $$
1. Intervalle de travail

Comme il n'y a aucune valeur interdite, on travaille sur \(\mathbb{R}\).

$$ \mathcal{D}_G = \mathbb{R} $$

2. Factorisation

$$ x^2 \geqslant x^3 $$
$$ x^2 - x^3 \geqslant 0 $$
$$ x^2(1-x) \geqslant 0 \qquad(G') $$

3. Tableau de signes

Pour les racines des différents facteurs :

$$ x^2= 0 $$
$$ x = 0 $$
$$ 1-x = 0 $$
$$ x = 1 $$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ 0 $$		$$ 1 $$		$$ +\infty $$
$$ x^2 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$
$$ 1-x $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$		$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$
$$ x^2(1-x) $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$

4. Conclusion

Les solutions pour \((G')\) :

$$ x^2(1-x) \geqslant 0 \qquad(G') $$

et donc aussi pour \((G)\) sont :

$$ \mathcal{S} = x \in \bigl] -\infty; 1 \bigr] $$
4. la fonction carré et la fonction carré inverse :



$$ x^2 \geqslant \frac{1}{x^2} \qquad(H) $$
1. Intervalle de travail

On travaille sur l'intersection des ensembles de définition respectifs de chaque fonction :

$$ f(x) = x^2 $$
$$ \mathcal{D}_f = \mathbb{R} $$
$$ g(x) = \frac{1}{x^2} $$
$$ \mathcal{D}_g = \mathbb{R}^* $$
$$ \mathcal{D}_H = \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g $$
$$ \mathcal{D}_H = \mathbb{R} \cap \mathbb{R}^* $$
$$ \mathcal{D}_H = \mathbb{R}^* $$

2. Factorisation

$$ x^2 \geqslant \frac{1}{x^2} $$
$$ x^2 - \frac{1}{x^2} \geqslant 0 $$
$$ \frac{x^4}{x^2} - \frac{1}{x^2} \geqslant 0 $$
$$ \frac{x^4 - 1}{x^2} \geqslant 0 $$
$$ \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2} \geqslant 0 $$
$$ \frac{(x - 1)(x+1)(x^2 + 1)}{x^2} \geqslant 0 \qquad(H') $$

3. Tableau de signes

Pour les racines des différents facteurs :

$$ x-1 = 0 $$
$$ x = 1 $$
$$ x + 1 = 0 $$
$$ x = -1 $$
$$ x^2 + 1 = 0 $$
Pas de racine.
$$ x^2 = 0 $$
$$ x = 0 $$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ -1 $$		$$ 0 $$		$$ 1 $$		$$ +\infty $$
$$ x - 1 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$		$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$
$$ x + 1 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$
$$ x^2 + 1 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$		$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$
$$ x^2 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$		$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$
$$ \frac{(x - 1)(x+1)(x^2 + 1)}{x^2} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$		$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$

4. Conclusion

Les solutions pour \((H')\) :

$$ \frac{(x - 1)(x+1)(x^2 + 1)}{x^2} \geqslant 0 \qquad(H') $$

et donc aussi pour \((H)\) sont :

$$ \mathcal{S} = x \in \bigl] -\infty; -1 \bigr] \cup \bigl[ 1; +\infty \bigr[ $$
5. la fonction valeur absolue et la fonction cube :



$$ |x| \geqslant x^3 \qquad(I) $$
1. Intervalle de travail

Aucune des deux fonctions n'admet de valeur interdite, donc :

$$ \mathcal{D}_I = \mathbb{R} $$

2. Factorisation

$$ |x| \geqslant x^3 $$

Lorsque l'on traite avec des valeurs absolues, le mieux est de procéder par disjonction de cas :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} |x| = -x, \qquad (si \ x < 0)\\ |x| = x, \qquad (si \ x \geqslant 0) \end{gather*} $$

Cas : \(x < 0\)

$$ -x \geqslant x^3 $$

$$ -x - x^3 \geqslant 0 $$

$$ x + x^3 \leqslant 0 $$

$$ x(1+x^2) \leqslant 0 \qquad(I') $$

Cas : \(x \geqslant 0\)

$$ x \geqslant x^3 $$

$$ x - x^3 \geqslant 0 $$

$$ x(1-x^2) \geqslant 0 $$

$$ x(1-x)(1+x) \geqslant 0 \qquad(I'') $$

3. Tableau de signes

Pour les racines des différents facteurs :

$$ x = 0 $$
$$ 1 + x^2 = 0 $$
Pas de racine.
$$ x - 1 = 0 $$
$$ x = 1 $$
$$ x + 1 = 0 $$
$$ x = -1 $$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ -1 $$
$$ x $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$		$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$
$$ 1 + x^2 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$		$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$
$$ x(1+x^2) $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$		$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$

$$ x $$	$$ 0 $$		$$ 1 $$		$$ +\infty $$
$$ x $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$
$$ 1 - x $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$
$$ 1 + x $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$
$$ x(1-x)(1+x) $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$

4. Conclusion

Les solutions pour \((I')\) et \((I'')\) :

Cas : \(x < 0\)

$$ x(1+x^2) \leqslant 0 \qquad(I') $$

Cas : \(x \geqslant 0\)

$$ x(1-x)(1+x) \geqslant 0 \qquad(I'') $$

et donc aussi pour \((I)\) sont :

$$ \mathcal{S} = x \in \bigl] -\infty; 1 \bigr] $$
6. la fonction carrée et la fonction valeur absolue :



$$ x^2 \geqslant \sqrt{x} \qquad(J) $$
1. Intervalle de travail

On travaille sur l'intersection des ensembles de définition respectifs de chaque fonction :

$$ f(x) = x^2 $$
$$ \mathcal{D}_f = \mathbb{R} $$
$$ g(x) = \sqrt{x} $$
$$ \mathcal{D}_g = \mathbb{R}^+ $$
$$ \mathcal{D}_J = \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g $$
$$ \mathcal{D}_J = \mathbb{R} \cap \mathbb{R}^+ $$
$$ \mathcal{D}_J = \mathbb{R}^+ $$

Application de la fonction carrée

$$ x^2 \geqslant \sqrt{x} $$

Ici, comme on travaille où la fonction carrée est strictement positive, on peut l'appliquer de part et d'autre de l'équation :

$$ x^4 \geqslant x $$

2. Factorisation

$$ x^4 \geqslant x $$
$$ x^4 - x \geqslant 0 $$
$$ x(x^3-1) \geqslant 0 \qquad(J') $$

3. Tableau de signes

Pour les racines des différents facteurs :

$$ x = 0 $$
$$ x^3-1 \geqslant 0 $$
$$ x^3 \geqslant 1 $$
$$ \textcolor{#6187B2}{\sqrt[3]{\textcolor{#5E864A}{x^3}}} \geqslant \textcolor{#6187B2}{\sqrt[3]{\textcolor{#5E864A}{1}}} $$
$$ x \geqslant 1 $$

$$ x $$	$$ 0 $$		$$ 1 $$		$$ +\infty $$
$$ x $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$
$$ x^3 - 1 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$
$$ x(x^3-1) $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#58814B}{+} $$

4. Conclusion

Les solutions pour \((J')\) :

$$ x(x^3-1) \geqslant 0 \qquad(J') $$

et donc aussi pour \((J)\) sont :

$$ \mathcal{S} = x \in \bigl[ 0 ; 0 \bigr] \cup \bigl[ 1; +\infty \bigr[ $$