Problèmes sur les généralités et les fonctions de référence

Une fonction carré retournée

On considère les fonctions \(\Gamma\) et \(\Delta\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :

1. À l'aide des variations de la fonction carré, déterminer les variations de \(\Gamma\) sur \(\bigl] - \infty \ ; \ 0 \bigr]\) et sur \(\bigl[ 0 \ ; \ + \infty \bigr[\), puis dresser son tableau de variations.

   $$ x $$	$$ -\infty $$	$$ \hspace{10em} $$	$$ +\infty $$
   $$ \Gamma(x) $$

   Soit \(a \leqslant b \leqslant 0\). La fonction carré est décroissante sur \(\bigl] - \infty \ ; \ 0 \bigr]\) :

   $$ a^2 \geqslant b^2 $$

   On multiplie par \(- \frac{1}{2}\), qui est négatif :

   $$ - \frac{1}{2} a^2 \leqslant - \frac{1}{2} b^2 $$

   $$ \Gamma(a) \leqslant \Gamma(b) $$

   \(\Gamma\) est croissante sur \(\bigl] - \infty \ ; \ 0 \bigr]\).

   Soit \(0 \leqslant a \leqslant b\). La fonction carré est croissante sur \(\bigl[ 0 \ ; \ + \infty \bigr[\) :

   $$ a^2 \leqslant b^2 $$

   On multiplie par \(- \frac{1}{2}\), qui est négatif :

   $$ - \frac{1}{2} a^2 \geqslant - \frac{1}{2} b^2 $$

   $$ \Gamma(a) \geqslant \Gamma(b) $$

   \(\Gamma\) est décroissante sur \(\bigl[ 0 \ ; \ + \infty \bigr[\).

   $$ x $$	$$ -\infty $$		$$ 0 $$		$$ +\infty $$
   $$ \Gamma(x) $$			$$ 0 $$

2. Résoudre l'équation \(\Gamma(x) = \Delta(x)\).
   $$ - \frac{1}{2} x^2 \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{=} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- \frac{1}{4} x} $$

   $$ - \frac{1}{2} x^2 \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{+ \frac{1}{4} x} = 0 $$

   On factorise par \(x\) :

   $$ x \left( - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \right) = 0 $$

   Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est :

   $$ x = 0 \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} = 0 $$

   $$ x = 0 \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} x = \frac{1}{2} $$

   $$ \mathcal{S} = \left\{ 0 \ ; \ \frac{1}{2} \right\} $$

Ensembles de définition

1. Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.
   $$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $$

   $$ g(x) = \frac{1}{x - 1} $$

   $$ h(x) = \sqrt{2x + 1} $$

   $$ i(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} $$

   $$ j(x) = \frac{1}{1 - x} + \sqrt{2x} $$

   Pour \(f\), la racine demande \(x \geqslant 0\), et le dénominateur \(\sqrt{x} \neq 0\), soit \(x \neq 0\) :

   $$ \mathcal{D}_f = \bigl] 0 \ ; \ + \infty \bigr[ $$

   Pour \(g\), le dénominateur ne doit pas s'annuler : \(x - 1 \neq 0\), soit \(x \neq 1\).

   $$ \mathcal{D}_g = \mathbb{R} \setminus \{ 1 \} $$

   Pour \(h\), la racine demande \(2x + 1 \geqslant 0\), soit \(x \geqslant - \frac{1}{2}\) :

   $$ \mathcal{D}_h = \left[ - \frac{1}{2} \ ; \ + \infty \right[ $$

   Pour \(i\), aucun des trois dénominateurs ne doit s'annuler : \(x \neq 0\), \(x \neq 1\) et \(x \neq 2\).

   $$ \mathcal{D}_i = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \ ; \ 1 \ ; \ 2 \} $$

   Pour \(j\), il faut à la fois \(1 - x \neq 0\), soit \(x \neq 1\), et \(2x \geqslant 0\), soit \(x \geqslant 0\) :

   $$ \mathcal{D}_j = \bigl[ 0 \ ; \ 1 \bigr[ \ \cup \ \bigl] 1 \ ; \ + \infty \bigr[ $$

La température dans le désert

La température dans un désert, en degrés Celsius, est modélisée sur une journée en fonction de l'heure \(t\), en heures, par :

1. Représenter la courbe de cette fonction sur le graphique suivant.

   

   

2. Lire l'heure à laquelle la température semble maximale, puis vérifier que \(T(12 - t) = T(12 + t)\) et dire ce que cette égalité signifie pour cette même courbe.

   La courbe culmine en \(t = 12\) : la température semble maximale à midi, où \(T(12) = 42\).

   $$ T(12 - t) = - \frac{9}{25} (12 - t - 12)^2 + 42 = - \frac{9}{25} (- t)^2 + 42 = - \frac{9}{25} t^2 + 42 $$

   $$ T(12 + t) = - \frac{9}{25} (12 + t - 12)^2 + 42 = - \frac{9}{25} t^2 + 42 $$

   $$ T(12 - t) = T(12 + t) $$

   Deux heures situées à la même distance de midi donnent la même température : la courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation \(t = 12\).

3. Calculer les températures à \(t = 0\) et à \(t = 24\), et dire si elles sont cohérentes.
   $$ T(0) = - \frac{9}{25} \times 144 + 42 = - 51{,}84 + 42 $$

   $$ T(0) = T(24) = - 9{,}84 \ °\text{C} $$

   Les deux valeurs sont égales, comme l'annonce la symétrie autour de midi ; une nuit sous zéro reste plausible dans un désert, où la température chute fortement après le coucher du soleil.

4. Résoudre graphiquement l'inéquation \(T(t) \geqslant 26\), puis vérifier ce résultat par le calcul.

   Graphiquement, la courbe est au-dessus de la droite d'équation \(y = 26\) entre \(t \approx 5{,}3\) et \(t \approx 18{,}7\).

   Par le calcul :

   $$ - \frac{9}{25} (t - 12)^2 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 42} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{\geqslant} 26 $$

   $$ - \frac{9}{25} (t - 12)^2 \geqslant 26 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 42} $$

   $$ - \frac{9}{25} (t - 12)^2 \geqslant - 16 $$

   On multiplie les deux membres par \(- \frac{25}{9}\), qui est négatif :

   $$ - \frac{9}{25} (t - 12)^2 \textcolor{rgb(232 124 124)}{\times \left( - \frac{25}{9} \right)} \ \underbrace{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\leqslant}}_{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\text{le sens change}}} \ - 16 \textcolor{rgb(232 124 124)}{\times \left( - \frac{25}{9} \right)} $$

   $$ (t - 12)^2 \leqslant \frac{400}{9} $$

   $$ (t - 12)^2 - \left( \frac{20}{3} \right)^2 \leqslant 0 $$

   On factorise avec \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) :

   $$ \left( t - 12 - \frac{20}{3} \right) \left( t - 12 + \frac{20}{3} \right) \leqslant 0 $$

   $$ \left( t - \frac{56}{3} \right) \left( t - \frac{16}{3} \right) \leqslant 0 $$

   $$ t $$	$$ -\infty $$		$$ \frac{16}{3} $$		$$ \frac{56}{3} $$		$$ +\infty $$
   $$ t - \frac{16}{3} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
   $$ t - \frac{56}{3} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$		$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
   $$ \Bigl( t - \frac{16}{3} \Bigr) \Bigl( t - \frac{56}{3} \Bigr) $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$

   $$ \mathcal{S} = \left[ \frac{16}{3} \ ; \ \frac{56}{3} \right] $$

   Et \(\frac{16}{3} \approx 5{,}33\), \(\frac{56}{3} \approx 18{,}67\) : la température dépasse \(26 \ °\text{C}\) de \(5\text{h}20\) à \(18\text{h}40\), ce que confirme la lecture graphique.

Inéquations et courbes de référence

Dans chaque cas, résoudre l'inéquation \(f(x) \geqslant g(x)\) graphiquement, puis par le calcul.

1. \(f(x) = \frac{1}{x}\) et \(g(x) = 2\).

   Graphiquement, \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) pour \(x\) entre \(0\) exclu et \(\frac{1}{2}\).

   Par le calcul, sur \(\mathbb{R}^*\) :

   $$ \frac{1}{x} - 2 \geqslant 0 $$

   $$ \frac{1 - 2x}{x} \geqslant 0 $$

   $$ x $$	$$ -\infty $$		$$ 0 $$		$$ \frac{1}{2} $$		$$ +\infty $$
   $$ 1 - 2x $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$		$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$
   $$ x $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
   $$ \frac{1 - 2x}{x} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$			$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$

   $$ \mathcal{S} = \left] 0 \ ; \ \frac{1}{2} \right] $$
2. On change de fonction \(g\) : \(f(x) = \frac{1}{x}\) et \(g(x) = x\).

   Graphiquement, \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) jusqu'à \(- 1\), puis entre \(0\) exclu et \(1\).

   Par le calcul, sur \(\mathbb{R}^*\) :

   $$ \frac{1}{x} - x \geqslant 0 $$

   $$ \frac{1 - x^2}{x} \geqslant 0 $$

   $$ \frac{(1 - x)(1 + x)}{x} \geqslant 0 $$

   $$ x $$	$$ -\infty $$		$$ -1 $$		$$ 0 $$		$$ 1 $$		$$ +\infty $$
   $$ 1 - x $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$		$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$
   $$ 1 + x $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
   $$ x $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$		$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
   $$ \frac{(1 - x)(1 + x)}{x} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$		$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$

   $$ \mathcal{S} = \Bigl] - \infty \ ; \ - 1 \Bigr] \ \cup \ \Bigl] 0 \ ; \ 1 \Bigr] $$
3. \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = \sqrt{x}\).

   Graphiquement, sur \(\bigl[ 0 \ ; \ + \infty \bigr[\), \(\mathcal{C}_f\) est sous \(\mathcal{C}_g\) entre \(0\) et \(1\) ; elle la rejoint en \(0\) et en \(1\), puis passe au-dessus.

   Par le calcul, on compare chacun des deux nombres à \(x\), en séparant deux cas.

   Si \(x \geqslant 1\) : en multipliant \(x \geqslant 1\) par \(x\), positif, on obtient \(x^2 \geqslant x\) ; et comme \(x = \sqrt{x} \times \sqrt{x}\) avec \(\sqrt{x} \geqslant 1\), on a \(x \geqslant \sqrt{x}\) :

   $$ x^2 \geqslant x \geqslant \sqrt{x} $$

   Si \(0 \leqslant x < 1\) : les mêmes multiplications donnent les inégalités contraires, strictes dès que \(x \neq 0\) :

   $$ x^2 \leqslant x \leqslant \sqrt{x} $$

   L'égalité \(x^2 = \sqrt{x}\) n'a lieu qu'en \(0\) et en \(1\). L'inéquation est donc vérifiée en \(0\), puis sur tout \(\bigl[ 1 \ ; \ + \infty \bigr[\) :

   $$ \mathcal{S} = \{ 0 \} \ \cup \ \Bigl[ 1 \ ; \ + \infty \Bigr[ $$

Reconnaître une courbe

Les quatre courbes ci-dessous représentent, dans le désordre, les fonctions carré, valeur absolue, inverse et racine carrée.

1. Associer chaque courbe à sa fonction, en justifiant par une propriété : ensemble de définition, signe ou forme de la courbe.

   \(\mathcal{C}_2\) n'existe que pour \(x \geqslant 0\) : c'est la fonction racine carrée. \(\mathcal{C}_4\) n'a aucun point d'abscisse \(0\) : c'est la fonction inverse.

   \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_3\) sont toutes deux au-dessus de l'axe des abscisses et passent par l'origine. \(\mathcal{C}_1\) est formée de deux demi-droites : c'est la fonction valeur absolue. \(\mathcal{C}_3\) est arrondie en \(0\) : c'est la fonction carré.

   $$ \mathcal{C}_1 : |\, x \,| \hspace{2em} \mathcal{C}_2 : \sqrt{x} \hspace{2em} \mathcal{C}_3 : x^2 \hspace{2em} \mathcal{C}_4 : \frac{1}{x} $$
2. Donner le sens de variation de ces quatre mêmes fonctions sur \(\bigl] 0 \ ; \ + \infty \bigr[\), puis comparer sans calcul leurs images de \(2\) et de \(3\).

   Sur \(\bigl] 0 \ ; \ + \infty \bigr[\), les fonctions valeur absolue, racine carrée et carré sont croissantes : elles conservent l'ordre.

   $$ |\, 2 \,| < |\, 3 \,| \hspace{2em} \sqrt{2} < \sqrt{3} \hspace{2em} 2^2 < 3^2 $$

   La fonction inverse y est décroissante : elle renverse l'ordre.

   $$ \frac{1}{2} > \frac{1}{3} $$

Partager un gîte

Un groupe de \(n\) amis veut louer un gîte pour une semaine. Le gîte A coûte \(1\,200 \ \text{€}\) au total ; le gîte B coûte \(600 \ \text{€}\), plus \(40 \ \text{€}\) par personne. Dans les deux cas, la dépense est partagée à parts égales.

1. Exprimer en fonction de \(n\) la part \(a(n)\) de chaque personne au gîte A, et sa part \(b(n)\) au gîte B.

   Au gîte B, la dépense totale vaut \(600 + 40n\), que l'on partage entre \(n\) personnes :

   $$ a(n) = \frac{1\,200}{n} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} b(n) = \frac{600 + 40n}{n} = \frac{600}{n} + 40 $$
2. À l'aide des variations de la fonction inverse, expliquer pourquoi la part \(a(n)\) diminue quand le groupe grandit, puis déterminer combien de personnes il faut au moins pour que cette part ne dépasse pas \(90 \ \text{€}\).

   La fonction inverse est décroissante sur \(\bigl] 0 \ ; \ + \infty \bigr[\) : si \(n\) augmente, \(\frac{1}{n}\) diminue, et \(a(n) = 1\,200 \times \frac{1}{n}\) aussi.

   On cherche \(\frac{1\,200}{n} \leqslant 90\). Comme \(n\) est positif, on multiplie les deux membres par \(n\), puis on divise par \(90\) :

   $$ 1\,200 \leqslant 90n \iff n \geqslant \frac{1\,200}{90} \simeq 13{,}3 $$

   $$ \text{au moins } 14 \text{ personnes} $$
3. Trancher : selon la taille du groupe, lequel des deux gîtes revient le moins cher à chacun ?

   On compare les deux parts :

   $$ a(n) \leqslant b(n) \iff \frac{1\,200}{n} \leqslant \frac{600}{n} + 40 \iff \frac{600}{n} \leqslant 40 $$

   Comme \(n\) est positif :

   $$ 600 \leqslant 40n \iff n \geqslant 15 $$

   À \(15\) personnes, les deux parts valent \(80 \ \text{€}\).

   $$ \text{moins de } 15 \text{ personnes : gîte B} \hspace{2em} \text{plus de } 15 \text{ personnes : gîte A} $$

Les éoliennes derrière l'horizon

La Terre est une boule de centre \(O\) et de rayon \(R = 6 \ 400 \ \text{km}\). Un observateur a les yeux en \(E\), à la hauteur \(h\) au-dessus de la mer ; son regard frôle la mer en \(H\), à l'horizon, où il est perpendiculaire au rayon \(\bigl[ OH \bigr]\). La figure n'est pas à l'échelle.

1. Les longueurs étant exprimées dans la même unité, démontrer que \(EH^2 = 2Rh + h^2\).

   Le triangle \(OHE\) est rectangle en \(H\), et \(OE = OM + ME = R + h\). D'après le théorème de Pythagore :

   $$ OE^2 = OH^2 + EH^2 $$

   $$ (R + h)^2 = R^2 + EH^2 $$

   $$ R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + EH^2 $$

   $$ EH^2 = 2Rh + h^2 $$
2. On exprime maintenant \(h\) en mètres et la distance \(d = EH\) en kilomètres. Montrer que \(d^2 = 12{,}8h + \left( \frac{h}{1 \ 000} \right)^2\), puis expliquer pourquoi, tant que \(h\) ne dépasse pas \(200 \ \text{m}\), on peut prendre : $$ d(h) = \sqrt{12{,}8h} $$ Calculer la distance de l'horizon pour des yeux à \(1{,}80 \ \text{m}\), puis à \(5 \ \text{m}\) au-dessus de la mer.

   Une hauteur de \(h\) mètres vaut \(\frac{h}{1 \ 000}\) kilomètre :

   $$ d^2 = 2 \times 6 \ 400 \times \frac{h}{1 \ 000} + \left( \frac{h}{1 \ 000} \right)^2 = 12{,}8h + \left( \frac{h}{1 \ 000} \right)^2 $$

   Le second terme divisé par le premier donne :

   $$ \frac{h^2}{1 \ 000 \ 000} \times \frac{1}{12{,}8h} = \frac{h}{12 \ 800 \ 000} \leqslant \frac{200}{12 \ 800 \ 000} = \frac{1}{64 \ 000} $$

   Le second terme est négligeable devant le premier, et la distance \(d\) est positive : on garde \(d(h) = \sqrt{12{,}8h}\).

   $$ d(1{,}8) = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} d(5) = \sqrt{64} = 8 $$

   $$ 4{,}8 \ \text{km} \ \text{les yeux à} \ 1{,}80 \ \text{m} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 8 \ \text{km} \ \text{les yeux à} \ 5 \ \text{m} $$
3. Tom affirme : « Pour voir deux fois plus loin, il suffit de monter deux fois plus haut. » Trancher, puis déterminer à quelle hauteur il faut avoir les yeux pour voir deux fois plus loin qu'à \(1{,}80 \ \text{m}\).

   En montant deux fois plus haut, avec \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) pour deux nombres positifs :

   $$ d(2h) = \sqrt{2 \times 12{,}8h} = \sqrt{2} \times \sqrt{12{,}8h} = \sqrt{2} \times d(h) $$

   Or \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\) : on ne voit qu'environ \(41 \ \%\) plus loin, et Tom a tort. On cherche la hauteur \(h'\) telle que \(d(h') = 2 \times d(1{,}8) = 9{,}6\).

   Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés, et ils sont égaux si et seulement si leurs carrés le sont :

   $$ \sqrt{12{,}8h'} = 9{,}6 \iff 12{,}8h' = 92{,}16 \iff h' = 7{,}2 $$

   $$ \text{deux fois plus loin : les yeux à } 7{,}2 \ \text{m} \text{, quatre fois plus haut} $$

   C'est vrai à toute hauteur : \(d(4h) = \sqrt{4} \times \sqrt{12{,}8h} = 2 \times d(h)\).

4. Un parc éolien est construit en mer, à \(24 \ \text{km}\) de la côte. Du haut d'une dune, les yeux à \(5 \ \text{m}\) au-dessus de la mer, on voit un point d'une éolienne situé à \(H\) mètres au-dessus de la mer si \(d(5) + d(H) \geqslant 24\). Déterminer la hauteur de la partie des éoliennes cachée par l'horizon, puis comparer avec ce que voit une personne restée sur la plage, les yeux à \(1{,}80 \ \text{m}\).

   Du haut de la dune : \(d(5) = 8\), et l'on cherche les hauteurs \(H \geqslant 0\) telles que :

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{8} + \sqrt{12{,}8H} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{\geqslant} 24 $$

   $$ \sqrt{12{,}8H} \geqslant 24 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 8} $$

   $$ \sqrt{12{,}8H} \geqslant 16 $$

   Les deux membres sont positifs : ils sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

   $$ 12{,}8H \geqslant 256 $$

   $$ \frac{12{,}8H}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{12{,}8}} \geqslant \frac{256}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{12{,}8}} $$

   $$ H \geqslant 20 $$

   Seuls les points à \(20 \ \text{m}\) au moins au-dessus de la mer sont visibles.

   Depuis la plage : \(d(1{,}8) = 4{,}8\), et de la même façon :

   $$ \sqrt{12{,}8H} \geqslant 24 - 4{,}8 \iff \sqrt{12{,}8H} \geqslant 19{,}2 \iff 12{,}8H \geqslant 368{,}64 \iff H \geqslant 28{,}8 $$

   $$ \text{partie cachée : } 20 \ \text{m} \ \text{depuis la dune} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 28{,}8 \ \text{m} \ \text{depuis la plage} $$

   En montant de \(3{,}2 \ \text{m}\) sur la dune, on découvre \(8{,}8 \ \text{m}\) de mât de plus.

Rouler plus vite pour gagner du temps

Un automobiliste parcourt \(12 \ \text{km}\) à la vitesse constante \(v\), en \(\text{km/h}\). Son trajet dure, en minutes, \(t(v) = \frac{720}{v}\). En roulant \(10 \ \text{km/h}\) plus vite, il gagne \(G(v) = t(v) - t(v + 10)\) minutes.

1. Calculer le temps gagné en passant de \(40\) à \(50 \ \text{km/h}\), de \(80\) à \(90 \ \text{km/h}\), puis de \(120\) à \(130 \ \text{km/h}\). Représenter ces trois gains sur le graphique.
   $$ t(40) = \frac{720}{40} = 18 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} t(50) = \frac{720}{50} = 14{,}4 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} G(40) = 3{,}6 $$

   $$ t(80) = \frac{720}{80} = 9 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} t(90) = \frac{720}{90} = 8 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} G(80) = 1 $$

   $$ t(120) = \frac{720}{120} = 6 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} t(130) = \frac{72}{13} \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} G(120) = \frac{6}{13} \approx 0{,}46 $$

   $$ 3 \ \text{min} \ 36 \ \text{s} \hspace{2em} 1 \ \text{min} \hspace{2em} \text{environ } 28 \ \text{s} $$

   Sur le graphique, chaque gain est la hauteur d'une marche : les marches rapetissent quand la vitesse augmente.

2. Démontrer que, pour tout \(v > 0\), \(G(v) = \frac{7 \ 200}{v(v + 10)}\).

   On réduit au même dénominateur \(v(v + 10)\) :

   $$ G(v) = \frac{720}{v} - \frac{720}{v + 10} = \frac{720(v + 10)}{v(v + 10)} - \frac{720v}{v(v + 10)} = \frac{720v + 7 \ 200 - 720v}{v(v + 10)} $$

   $$ G(v) = \frac{7 \ 200}{v(v + 10)} $$

   Vérification : \(G(80) = \frac{7 \ 200}{80 \times 90} = 1\), comme à la question 1.

3. Démontrer que la fonction \(G\) est strictement décroissante sur \(\bigl] 0 \ ; \ + \infty \bigr[\), puis dire ce que ce résultat signifie pour l'automobiliste.

   Soit \(0 < v < w\). On multiplie \(v < w\) par \(v + 10\), positif, puis \(v + 10 < w + 10\) par \(w\), positif : les deux inégalités gardent leur sens et s'enchaînent.

   $$ v(v + 10) < w(v + 10) < w(w + 10) $$

   Ces nombres sont strictement positifs, et la fonction inverse est strictement décroissante sur \(\bigl] 0 \ ; \ + \infty \bigr[\) : elle renverse l'ordre.

   $$ \frac{1}{v(v + 10)} > \frac{1}{w(w + 10)} $$

   On multiplie les deux membres par \(7 \ 200\), positif :

   $$ G(v) > G(w) $$

   $$ G \ \text{est strictement décroissante sur} \ \bigl] 0 \ ; \ + \infty \bigr[ $$

   Plus l'automobiliste roule déjà vite, moins \(10 \ \text{km/h}\) de plus lui font gagner de temps : c'est ce que montraient les marches.

4. L'automobiliste affirme : « Rouler \(10 \ \text{km/h}\) plus vite me fait gagner au moins une minute. » Déterminer toutes les vitesses \(v\) pour lesquelles il a raison sur ce trajet de \(12 \ \text{km}\), puis sur un trajet de \(26 \ \text{km}\) d'autoroute. On pourra chercher un entier \(v\) tel que \(v(v + 10) = 15 \ 600\).

   Sur \(12 \ \text{km}\) : \(G(80) = 1\) et \(G\) est strictement décroissante. Pour \(0 < v \leqslant 80\), \(G(v) \geqslant G(80) = 1\) ; pour \(v > 80\), \(G(v) < G(80) = 1\).

   Sur \(26 \ \text{km}\) : le trajet dure \(\frac{26 \times 60}{v} = \frac{1 \ 560}{v}\) minutes, et le calcul de la question 2 donne le gain \(H(v)\) :

   $$ H(v) = \frac{1 \ 560}{v} - \frac{1 \ 560}{v + 10} = \frac{15 \ 600}{v(v + 10)} $$

   Cette fonction est strictement décroissante, pour la même raison qu'à la question 3. Or \(120 \times 130 = 15 \ 600\), donc \(H(120) = 1\) : le gain vaut au moins une minute pour \(v \leqslant 120\), et moins d'une minute au-delà.

   $$ 12 \ \text{km} : 0 < v \leqslant 80 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 26 \ \text{km} : 0 < v \leqslant 120 $$

   Vérification : les \(26 \ \text{km}\) prennent \(13 \ \text{min}\) à \(120 \ \text{km/h}\), et \(12 \ \text{min}\) à \(130 \ \text{km/h}\).