Généralités sur les fonctions

Une fonction

Une fonction est une opération qui transforme un nombre \(x\), en une image unique \(f(x)\).

De manière générale, on écrira pour définir une fonction avec comme variable \(x\) :

$$f :x \longmapsto f(x) $$

« une fonction \(f\), qui associe à un antécédent \(x\) une image \(f(x)\) »

Image/antécédent

Les antécédents se situent sur l'axe horizontal \(x\).

Les images se situent sur l'axe vertical \(y\).

Lorsqu'on a qu'une seule courbe sur un graphique, on peut noter l'image générale : \(y = f(x)\).

Ensemble de définition

On désigne par ensemble de définition, toutes les valeurs possibles de \(x\) pour lesquelles la fonction \(f(x)\) pourra exister.

Dans les faits, on préfère s'intéresser aux valeurs pour lesquelles elle n'est pas définie, et retirer ces valeurs interdites de la totalité.

On notera un ensemble de définition \(\mathcal{D}_f\).

1. Exemple 1 : une fonction avec une valeur interdite

   L'ensemble de définition de la fonction :

   $$ f:x \longmapsto \frac{1}{x} $$

   En mathématiques, il est interdit de diviser par 0, donc la seule contrainte ici sera que \((x \neq 0)\).

   Soit l'ensemble de définition suivant :

   $$ \mathcal{D}_f = \Bigl ] - \infty \ ; \ 0 \Bigr[ \cup \Bigl ] 0 \ ; \ + \infty \Bigr [ $$

   Ou plus simplement :

   $$ \mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* $$
2. Exemple 2 : une fonction avec plusieurs valeurs interdites

   L'ensemble de définition de la fonction :

   $$ f:x \longmapsto \frac{1}{x} + \sqrt{x} $$

   Les deux ensembles de définition respectifs des deux fonctions additionnées sont :

   $$ \mathcal{D}\left(\frac{1}{x} \right) = \Bigl ] - \infty \ ; \ 0 \Bigr[ \cup \Bigl ] 0 \ ; \ + \infty \Bigr [ $$
   $$ \mathcal{D}\left(\sqrt{x} \right) = \Bigl [ 0 \ ; \ + \infty \Bigr [ $$

   Alors, l'ensemble de définition est l'intersection des ensembles de définition:

   $$ \mathcal{D}\left(\frac{1}{x} \right) \cap \mathcal{D}\left(\sqrt{x} \right) = \Bigl ] 0 \ ; \ + \infty \Bigr [ $$

   Cela équivaut à dire que l'ensemble de définition totale est l'ensemble des réels, moins toutes les valeurs interdites qui est l'union des valeurs interdites.

   Car en logique :

   $$ \text{non}(A \text{ ou } B) = \text{non}(A) \text{ et } \text{non}(B) $$

   $$ \Bigl(\text{avec} \ (A,\ B) : \text{valeurs interdites} \Bigr) $$

Sens de variations

Soit un intervalle \( I = \bigl[ a,b \bigr] \).

1. Fonctions croissantes
   $$ f \ \text{est strictement croissante sur} \ I \Longleftrightarrow \forall (a,b) \in I^2, \ \Bigl[ \ a < \ ; \ b \Longrightarrow f(a) < f(b) \Bigr] $$

   

   

   Alors, les images seront rangées dans le même ordre que les antécédents.

   
   

   On aura aussi, mais plus rarement des fonctions croissantes (qui peuvent admettre une stagnation avant de croître à nouveau).

   Dans ce cas :

   $$ f \ \text{est croissante sur} \ I \Longleftrightarrow \forall (a,b) \in I^2, \ \Bigl[ \ a < \ ; \ b \Longrightarrow f(a) \leqslant f(b) \Bigr] $$
2. Fonctions décroissantes
   $$ f \ \text{est strictement décroissante sur} \ I \Longleftrightarrow \forall (a,b) \in I^2, \ \Bigl[ \ a < \ ; \ b \Longrightarrow f(a) > f(b) \Bigr] $$

   

   

   Alors, les images seront rangés dans l'ordre contraire à celui des antécédents.

   
   

   De la même manière, on pourra envisager des fonctions décroissantes.

   $$ f \ \text{est décroissante sur} \ I \Longleftrightarrow \forall (a,b) \in I^2, \ \Bigl[ \ a < \ ; \ b \Longrightarrow f(a) \geqslant f(b) \Bigr] $$
3. Fonction monotone

   On dit qu'une fonction est monotone sur un certain intervalle \(I\), si et seulement si elle est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur cet intervalle.

   $$ f \ \text{est monotone} \Longleftrightarrow \Bigl[ \bigl( f \ \text{est strictement croissante} \bigr) \ \lor \ \bigl( f \ \text{est strictement décroissante} \bigr) \Bigr] $$
4. Tableau de variations

   Pour représenter les variations d'une fonction, on pourra utiliser un tableau comme celui-ci :

   Exemple : la fonction carrée

   $$ x $$	$$ -\infty $$		$$ 0 $$				$$ +\infty $$
   $$ f(x) = x^2 $$			$$ 0 $$

   

   

Tableau de signes

Le tableau de signes donne le signe de \(f(x)\) selon la valeur de \(x\). Il se lit comme le tableau de variations, mais ses lignes portent des signes et non des flèches.

On le construit en trois temps :

1. chercher les valeurs qui annulent la fonction
2. les ranger dans l'ordre croissant sur la première ligne
3. donner le signe de \(f(x)\) sur chaque intervalle ainsi délimité

1. Une fonction affine

   Exemple :

   $$ f(x) = 2x - 6 $$

   Elle s'annule pour une seule valeur:

   $$ 2x - 6 = 0 \Longleftrightarrow x = 3 $$

   Comme son coefficient directeur est positif, elle est négative avant \(3\) et positive après.

   $$ x $$	$$ -\infty $$		$$ 3 $$		$$ +\infty $$
   $$ f(x) = 2x - 6 $$	$$ - $$		$$ 0 $$	$$ + $$

   Le tableau répond alors directement aux deux questions :

   $$ f(x) = 0 \Longleftrightarrow x = 3 $$
   $$ f(x) > 0 \Longleftrightarrow x \in \Bigl] 3 \ ; \ +\infty \Bigr[ $$
2. Un produit de facteurs

   C'est là que le tableau devient indispensable: on donne une ligne à chaque facteur, puis on multiplie les signes colonne par colonne.

   Exemple :

   $$ f(x) = (x + 1)(x - 4) $$

   Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est: la fonction s'annule donc en \(-1\) et en \(4\).

   $$ x $$	$$ -\infty $$		$$ -1 $$		$$ 4 $$		$$ +\infty $$
   $$ x + 1 $$	$$ - $$		$$ 0 $$	$$ + $$
   $$ x - 4 $$	$$ - $$				$$ 0 $$	$$ + $$
   $$ f(x) $$	$$ + $$		$$ 0 $$	$$ - $$	$$ 0 $$	$$ + $$

   La dernière ligne se lit en multipliant les deux précédentes : deux signes contraires donnent un produit négatif.

   $$ f(x) > 0 \Longleftrightarrow x \in \Bigl] -\infty \ ; \ -1 \Bigr[ \ \cup \ \Bigl] 4 \ ; \ +\infty \Bigr[ $$

Minimum/maximum

On appelle minimum et maximum d'une fonction \(f\), les points \(m\) et \(M\) tels que :

Parité d'une fonction

Soit une fonction \(f\) et son ensemble de définition \(\mathcal{D}_f\).

1. Fonctions paires

   Une fonction paire se définit par :

   $$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathcal{D}_f, $$
   $$ f \ \text{est paire} \Longleftrightarrow f(-x) = f(x) $$

   Toute fonction paire admet une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées.

   Exemples : \(x^2\), \(x^4\), \(\cos(x)\)...

   

   

2. Fonctions impaires

   Une fonction impaire se définit par :

   $$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathcal{D}_f, $$
   $$ f \ \text{est impaire} \Longleftrightarrow f(-x) = -f(x) $$

   Toute fonction impaire admet une symétrie centrale par rapport à l'origine \(O(0 ; 0 )\).

   Exemples : \(x^3\), \(x^5\), \(\sin(x)\)...

   

   

Fonctions périodiques

Une fonction périodique est une fonction qui admet une répétition à l'infini sur son ensemble de définition.

Soit une fonction \(f\) et son ensemble de définition \(\mathcal{D}_f\), ainsi que \(T\) la période.

1. Exemple 1 : la fonction sinus

   

   

   Cette fonction est \(2\pi\)-périodique.

   $$ \forall k \in \hspace{0.03em} \mathbb{Z}, \ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$
   $$ \sin(x + 2 k\pi) = \sin(x) $$
2. Exemple 1 : la fonction cosinus

   

   

   Idem, elle est aussi \(2\pi\)-périodique, mais ne démarre pas du même endroit.

   $$ \forall k \in \hspace{0.03em} \mathbb{Z}, \ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$
   $$ \cos(x + 2k \pi) = \cos(x) $$