Généralités sur les fonctions en seconde

Le vocabulaire des fonctions, puis les tableaux qui résument une courbe : variations, signes et extremums.

Lire une image et un antécédent sur une courbe
Déterminer l'ensemble de définition en cherchant les valeurs interdites
Décrire le sens de variation d'une fonction et dresser son tableau de variations
Dresser le tableau de signes d'une fonction affine ou d'un produit
Lire le minimum et le maximum d'une fonction sur un intervalle

Un thermomètre relève la température heure par heure : à chaque heure, une seule température.

La température à $15 \ \text{h}$ est une image ; l'heure où il faisait $10 \ \text{°C}$, un antécédent.

La courbe monte puis redescend : ce sont ses variations ; son sommet est le maximum.

Une fonction

Une fonction associe à un nombre $x$ une image unique $f(x)$.

On note :

$$f :x \longmapsto f(x) $$

« une fonction $f$, qui associe à un antécédent $x$ une image $f(x)$ »

Fonction def — schéma représentant ce qu'est une fonction $f$

Image/antécédent

Les antécédents se situent sur l'axe horizontal $x$.

Les images se situent sur l'axe vertical $y$.

Images antecedents — images et antécédents d'une fonction $f(x)$

Graphe vide paysage — images et antécédents d'une fonction $f(x)$

Avec une seule courbe, on note $y = f(x)$.

Ensemble de définition

L'ensemble de définition regroupe les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe.

En pratique, on cherche les valeurs interdites, que l'on retire de $\mathbb{R}$.

On le note $\mathcal{D}_f$.

Exemple 1 : une fonction avec une valeur interdite

L'ensemble de définition de la fonction :

$$ f:x \longmapsto \frac{1}{x} $$

On ne divise pas par $0$ : $x \neq 0$.

D'où :

$$ \mathcal{D}_f = \Bigl ] - \infty \ ; \ 0 \Bigr[ \cup \Bigl ] 0 \ ; \ + \infty \Bigr [ $$

Ou plus simplement :

$$ \mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* $$
Exemple 2 : une fonction avec plusieurs valeurs interdites

L'ensemble de définition de la fonction :

$$ f:x \longmapsto \frac{1}{x} + \sqrt{x} $$

Les ensembles de définition des deux termes :

$$ \mathcal{D}\left(\frac{1}{x} \right) = \Bigl ] - \infty \ ; \ 0 \Bigr[ \cup \Bigl ] 0 \ ; \ + \infty \Bigr [ $$

$$ \mathcal{D}\left(\sqrt{x} \right) = \Bigl [ 0 \ ; \ + \infty \Bigr [ $$

$\mathcal{D}_f$ est l'intersection des ensembles de définition :

$$ \mathcal{D}\left(\frac{1}{x} \right) \cap \mathcal{D}\left(\sqrt{x} \right) = \Bigl ] 0 \ ; \ + \infty \Bigr [ $$

On retire de $\mathbb{R}$ l'union des valeurs interdites.

En logique :

$$ \text{non}(A \quad \text{ou} \quad B) = \text{non}(A) \quad \text{et} \quad \text{non}(B) $$

$$ \text{avec} \ \bigl((A,\ B) : \text{valeurs interdites}\bigr) $$

Sens de variations

Soit $I$ un intervalle.

Fonctions croissantes

Une fonction croissante sur $I$ vérifie :

$$ f \ \text{est croissante sur} \ I \Longleftrightarrow \forall (x_1,x_2) \in I^2, \ \Bigl[ \ x_1 < x_2 \Longrightarrow f(x_1) \leqslant f(x_2) \Bigr] $$

exemple de fonction strictement croissante : $f(x) = 2x$

Les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents.

Elle est strictement croissante si l'inégalité est stricte :

$$ \forall (x_1,x_2) \in I^2, \ \Bigl[ \ x_1 < x_2 \Longrightarrow f(x_1) < f(x_2) \Bigr] $$
Fonctions décroissantes

Une fonction décroissante sur $I$ vérifie :

$$ f \ \text{est décroissante sur} \ I \Longleftrightarrow \forall (x_1,x_2) \in I^2, \ \Bigl[ \ x_1 < x_2 \Longrightarrow f(x_1) \geqslant f(x_2) \Bigr] $$

exemple de fonction strictement décroissante : $f(x) = -2x$

Les images sont rangées dans l'ordre contraire à celui des antécédents.

Elle est strictement décroissante si l'inégalité est stricte :

$$ \forall (x_1,x_2) \in I^2, \ \Bigl[ \ x_1 < x_2 \Longrightarrow f(x_1) > f(x_2) \Bigr] $$
Fonction monotone

Une fonction monotone garde le même sens de variation :

$$ f \ \text{est monotone sur} \ I \Longleftrightarrow \bigl( f \ \text{est croissante sur} \ I \bigr) \quad \text{ou} \quad \bigl( f \ \text{est décroissante sur} \ I \bigr) $$

Tableau de variations

Les variations se résument dans un tableau.

Exemple : la fonction carrée

variations de la fonction carrée : $f(x) = x^2$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ 0 $$		$$ +\infty $$
$$ f(x) = x^2 $$		$$ 0 $$

Fonction carree — la fonction carrée : $f(x) = x^2$

Tableau de signes

Le tableau de signes donne le signe de $f(x)$ selon la valeur de $x$.

On le construit en trois temps :

chercher les valeurs qui annulent la fonction
les ranger dans l'ordre croissant sur la première ligne
donner le signe de $f(x)$ sur chaque intervalle ainsi délimité

Une fonction affine

Exemple :

$$ f(x) = 2x - 6 $$

Elle s'annule pour une seule valeur:

$$ 2x - 6 = 0 \Longleftrightarrow x = 3 $$

Son coefficient directeur est positif : elle est négative avant $3$, positive après.

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ 3 $$		$$ +\infty $$
$$ f(x) = 2x - 6 $$	$$ - $$		$$ 0 $$	$$ + $$

signes de la fonction affine $f(x) = 2x - 6$

On lit :

$$ f(x) = 0 \Longleftrightarrow x = 3 $$

$$ f(x) > 0 \Longleftrightarrow x \in \Bigl] 3 \ ; \ +\infty \Bigr[ $$

Un produit de facteurs

On donne une ligne à chaque facteur, puis on multiplie les signes colonne par colonne.

Exemple :

$$ f(x) = (x + 1)(x - 4) $$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : $f$ s'annule en $-1$ et en $4$.

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ -1 $$		$$ 4 $$
$$ x + 1 $$	$$ - $$	$$ 0 $$	$$ + $$
$$ x - 4 $$	$$ - $$			$$ 0 $$	$$ + $$
$$ f(x) $$	$$ + $$	$$ 0 $$	$$ - $$	$$ 0 $$	$$ + $$

signes du produit $(x + 1)(x - 4)$

On lit :

$$ f(x) > 0 \Longleftrightarrow x \in \Bigl] -\infty \ ; \ {-}1 \Bigr[ \ \cup \ \Bigl] 4 \ ; \ +\infty \Bigr[ $$

Minimum/maximum

Sur un intervalle $I$, le minimum $m$ et le maximum $M$ de $f$ sont des valeurs atteintes :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \forall x \in I, \ m \leqslant f(x) \leqslant M \\ \text{il existe} \ a \in I \ \text{et} \ b \in I \ \text{tels que} \ f(a) = m \quad \text{et} \quad f(b) = M \end{gather*} $$

Minimum maximum — minimum et maximum d'une fonction $f$