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Problèmes sur la construction et la résolution graphiques

Une courbe se lit avant de se calculer : les points, les variations, puis la réponse.

Placer des points sur un graphique

  1. Placer les points suivants sur le graphique.
    $$ A(1 \ ; \ {-}2) $$
    $$ B \left( - \frac{1}{2} \ ; \ 2 \right) $$
    $$ C({-}1 \ ; \ 4) $$
    $$ D \left( 2 \ ; \ - \frac{1}{2} \right) $$
    $$ E(3 \ ; \ {-}4) $$
    Graphe vide avec vecteurs unitaires
    graphique à remplir

    Chaque point se place en partant de l'origine : l'abscisse se lit horizontalement, l'ordonnée verticalement. \(B\) et \(D\) tombent sur une demi-graduation.

    Les points A, B, C, D et E placés, et une courbe lisse qui les relie dans l'ordre des abscisses x y
    \(0\)
    \(1\)
    \(1\)
    \(C\)
    \(B\)
    \(A\)
    \(D\)
    \(E\)
  2. Tracer une courbe lisse qui passe par ces cinq mêmes points, dans l'ordre de leurs abscisses.

    Dans l'ordre des abscisses, on relie \(C\), \(B\), \(A\), \(D\) puis \(E\), sans angle : la courbe descend de \(C\) à \(A\), remonte jusqu'à \(D\), puis redescend vers \(E\). C'est la courbe bleue de la figure précédente ; toute courbe lisse qui passe par les cinq points dans cet ordre convient.

Lire une courbe

La courbe ci-dessous représente une fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(\bigl[ - 6 \ ; \ 6 \bigr]\).

La courbe d'une fonction f définie sur l'intervalle de -6 à 6, avec les six points A à F x y
\(0\)
\(2\)
\(1\)
\(A\)
\(B\)
\(C\)
\(D\)
\(E\)
\(F\)
  1. Donner les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) et \(F\).
    $$ A({-}6 \ ; \ {-}3) \hspace{2em} B(4 \ ; \ 0) \hspace{2em} C({-}1 \ ; \ {-}2{,}5) \hspace{2em} D({-}4 \ ; \ 2) \hspace{2em} E(2 \ ; \ 3) \hspace{2em} F(0 \ ; \ {-}3{,}5) $$
  2. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \leqslant 0\).

    On cherche les abscisses des points de la courbe situés sur l'axe des abscisses ou en dessous. La courbe coupe cet axe en \(- 5\), \(- 3\), \(1\) et \(4\) :

    $$ \mathcal{S} = \Bigl[ - 6 \ ; \ - 5 \Bigr] \ \cup \ \Bigl[ - 3 \ ; \ 1 \Bigr] \ \cup \ \Bigl[ 4 \ ; \ 6 \Bigr] $$
  3. Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = - \frac{7}{2}\).

    La droite d'équation \(y = - 3{,}5\) touche la courbe en \(F\), son point le plus bas sur \(\bigl[ - 6 \ ; \ 4 \bigr]\), et à son extrémité droite :

    $$ \mathcal{S} = \Bigl\{ 0 \ ; \ 6 \Bigr\} $$
  4. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \geqslant 2\).

    La courbe atteint tout juste \(2\) en \(D\), puis reste au-dessus de la droite d'équation \(y = 2\) entre \(1{,}5\) et \(3\) :

    $$ \mathcal{S} = \Bigl\{ - 4 \Bigr\} \ \cup \ \Bigl[ 1{,}5 \ ; \ 3 \Bigr] $$
  5. Donner les maximums et les minimums locaux de \(f\) sur \(\bigl] - 6 \ ; \ 6 \bigr[\), et où ils sont atteints.

    La courbe change de sens de variation en \(D\), en \(F\) et en \(E\) :

    $$ \text{maximums locaux} : 2 \text{ en } - 4 \text{ et } 3 \text{ en } 2 \hspace{2em} \text{minimum local} : - 3{,}5 \text{ en } 0 $$

Courbes de croissance des filles

Le carnet de santé présente les courbes de croissance des filles, de \(1\) à \(30\) mois :

Exo courbes croissances
courbes de croissance des filles, en fonction de l'âge en mois
  1. Lire la taille médiane d'une fille âgée de \(25\) mois.

    On lit l'ordonnée du point de la courbe médiane d'abscisse \(25\) :

    $$ \text{environ } 87 \ \text{cm} $$
  2. Donner l'intervalle dans lequel se situe la taille d'une fille de ce même âge, \(25\) mois.

    On lit, à l'abscisse \(25\), l'ordonnée de la courbe minimum puis celle de la courbe maximum :

    $$ \text{environ} \ \bigl[ 81{,}5 \ ; \ 93 \bigr] \ \text{en cm} $$
  3. On suit maintenant la courbe médiane. Calculer le pourcentage d'évolution de la taille entre \(5\) et \(10\) mois, entre \(10\) et \(15\) mois, entre \(15\) et \(20\) mois, puis entre \(20\) et \(25\) mois, et interpréter ces résultats à l'aide de l'allure de la courbe.

    On lit sur la médiane environ \(63{,}5 \ \text{cm}\) à \(5\) mois, \(72 \ \text{cm}\) à \(10\) mois, \(78{,}5 \ \text{cm}\) à \(15\) mois, \(83{,}5 \ \text{cm}\) à \(20\) mois et \(87 \ \text{cm}\) à \(25\) mois.

    $$ \frac{72 - 63{,}5}{63{,}5} \simeq 0{,}134 \hspace{2em} \frac{78{,}5 - 72}{72} \simeq 0{,}090 \hspace{2em} \frac{83{,}5 - 78{,}5}{78{,}5} \simeq 0{,}064 \hspace{2em} \frac{87 - 83{,}5}{83{,}5} \simeq 0{,}042 $$
    $$ + 13{,}4 \ \% \hspace{2em} + 9 \ \% \hspace{2em} + 6{,}4 \ \% \hspace{2em} + 4{,}2 \ \% $$

    La taille augmente toujours, mais de moins en moins vite : la courbe monte en s'aplatissant.

Quelle courbe pour ce tableau ?

Une fonction \(g\), définie sur \(\bigl[ - 3 \ ; \ 4 \bigr]\), a le tableau de variations suivant :

$$ x $$
$$ - 3 $$
$$ 0 $$
$$ 3 $$
$$ 4 $$
$$ g(x) $$
$$ 1 $$
Arrow
$$ 4 $$
Arrow
$$ - 2 $$
Arrow
$$ 0 $$

Une seule des trois courbes ci-dessous représente \(g\).

Courbe C1 : maximum 4 atteint en -1 x y
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(\mathcal{C}_1\)
 Courbe C2 : maximum 4 atteint en 0, minimum -2 atteint en 3 x y
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(\mathcal{C}_2\)
 Courbe C3 : maximum 4 atteint en 0, minimum -2 atteint en 2 x y
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(\mathcal{C}_3\)
  1. Trouver la courbe qui représente \(g\), en justifiant pourquoi chacune des deux autres ne convient pas.

    D'après le tableau, le maximum \(4\) est atteint en \(0\) et le minimum \(- 2\) en \(3\). \(\mathcal{C}_1\) atteint son maximum en \(- 1\), et \(\mathcal{C}_3\) son minimum en \(2\) : aucune des deux ne convient.

    $$ g \ \text{est représentée par} \ \mathcal{C}_2 $$
  2. Sans lire de valeur sur les courbes, comparer \(g(1)\) et \(g(2)\).

    \(1\) et \(2\) appartiennent à \(\bigl[ 0 \ ; \ 3 \bigr]\), où \(g\) est décroissante : elle renverse l'ordre.

    $$ 1 < 2 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} g(1) > g(2) $$

Un vol en parapente

La courbe ci-dessous donne l'altitude \(a\), en mètres, d'un parapentiste en fonction du temps \(t\), en minutes, depuis son décollage jusqu'à son atterrissage.

L'altitude du parapentiste en fonction du temps : départ à 400 m, 700 m au bout de 3 minutes, atterrissage au bout de 10 minutes t a
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(5\)
\(6\)
\(7\)
\(8\)
\(9\)
\(10\)
\(100\)
\(200\)
\(300\)
\(400\)
\(500\)
\(600\)
\(700\)
\(800\)
  1. Lire l'altitude du décollage, l'altitude maximale atteinte et l'instant où elle est atteinte.

    Le parapentiste décolle à \(400 \ \text{m}\) ; la courbe culmine au bout de \(3\) minutes.

    $$ a_{\max} = 700 \ \text{m} \hspace{2em} \text{en} \hspace{2em} t = 3 \ \text{min} $$
  2. Résoudre graphiquement l'inéquation \(a(t) \geqslant 500\), puis dire pendant combien de temps le parapentiste vole à \(500 \ \text{m}\) ou plus.

    La courbe est au-dessus de la droite d'équation \(a = 500\) entre \(t = 1\) et \(t = 7\) :

    $$ \mathcal{S} = \Bigl[ 1 \ ; \ 7 \Bigr] \hspace{2em} \text{soit } 7 - 1 = 6 \ \text{min} $$
  3. Le club interdit de voler plus de \(4\) minutes au-dessus de \(600 \ \text{m}\). Trancher : ce vol respecte-t-il la règle ? Justifier par une lecture graphique.

    On résout graphiquement \(a(t) \geqslant 600\) : la courbe atteint \(600 \ \text{m}\) à \(t = 2\), monte jusqu'à \(700 \ \text{m}\), puis redescend lentement et repasse par \(600 \ \text{m}\) à \(t = 6\).

    $$ \mathcal{S} = \Bigl[ 2 \ ; \ 6 \Bigr] \hspace{2em} \text{soit } 6 - 2 = 4 \ \text{min} $$

    Le parapentiste reste exactement \(4\) minutes à \(600 \ \text{m}\) ou plus : il ne dépasse pas la limite, mais l'atteint tout juste.

    $$ \text{le vol respecte la règle} $$

La concentration du médicament

Après la prise d'un comprimé, la concentration du médicament dans le sang, en \(\text{mg/L}\), est modélisée en fonction du temps \(t\), en heures, par :

$$ C(t) = \frac{20t}{t^2 + 4} \hspace{2em} \Bigl( t \in \bigl[ 0 \ ; \ 12 \bigr] \Bigr) $$

Le médicament est efficace tant que sa concentration atteint au moins \(3 \ \text{mg/L}\).

Graphique de la concentration du médicament en mg/L selon le temps en heures, de 0 à 12 heures : la courbe monte jusqu'à 5 mg/L à 2 heures, puis redescend lentement jusqu'à 1,6 mg/L environ à 12 heures
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(5\)
\(6\)
\(7\)
\(8\)
\(9\)
\(10\)
\(11\)
\(12\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(5\)
\(6\)
\(\mathcal{C}\)
 concentration (mg/L)
\(t\) (h)
  1. Lire sur le graphique la concentration maximale et l'instant où elle est atteinte, puis la période pendant laquelle le médicament est efficace. Vérifier par le calcul que \(C \left( \frac{2}{3} \right) = 3\) et que \(C(6) = 3\).

    La courbe culmine vers \(5 \ \text{mg/L}\), au bout de \(2\) heures. Elle est au-dessus de la droite d'équation \(y = 3\) d'environ \(t = 0{,}7\) à \(t = 6\).

    $$ C \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{20 \times \frac{2}{3}}{\frac{4}{9} + 4} = \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{9}} = \frac{40}{3} \times \frac{9}{40} = 3 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} C(6) = \frac{120}{36 + 4} = 3 $$
    $$ \text{maximum lu : } 5 \ \text{mg/L} \text{ à } t = 2 \hspace{2em} \text{efficace de } \frac{2}{3} \ \text{h} = 40 \ \text{min} \text{ à } 6 \ \text{h} $$
  2. Vérifier que \(5 - C(t) = \frac{5(t - 2)^2}{t^2 + 4}\), puis démontrer que la concentration ne dépasse jamais \(5 \ \text{mg/L}\), et qu'elle n'atteint cette valeur qu'à un seul instant.

    On réduit au même dénominateur :

    $$ 5 - C(t) = \frac{5(t^2 + 4)}{t^2 + 4} - \frac{20t}{t^2 + 4} = \frac{5t^2 - 20t + 20}{t^2 + 4} $$

    Et avec \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) :

    $$ 5(t - 2)^2 = 5(t^2 - 4t + 4) = 5t^2 - 20t + 20 $$

    Les deux expressions sont égales. Un carré est positif ou nul, et \(t^2 + 4 > 0\) : le quotient est positif ou nul.

    $$ 5 - C(t) = \frac{5(t - 2)^2}{t^2 + 4} \geqslant 0 $$
    $$ C(t) \leqslant 5 $$

    L'égalité n'a lieu que si \((t - 2)^2 = 0\), c'est-à-dire \(t = 2\) : la concentration atteint \(5 \ \text{mg/L}\) au bout de \(2\) heures, et à aucun autre instant.

  3. Tom avale deux comprimés d'un coup : la concentration est doublée. Au-delà de \(8 \ \text{mg/L}\), le médicament devient dangereux. Lire sur le graphique pendant combien de temps Tom est en danger, puis le démontrer.

    Tom est en danger quand \(2C(t) > 8\), c'est-à-dire quand \(C(t) > 4\). Sur le graphique, la courbe passe au-dessus de la droite d'équation \(y = 4\) entre \(t = 1\) et \(t = 4\).

    Par le calcul, on multiplie les deux membres par \(t^2 + 4\), strictement positif :

    $$ \frac{20t}{t^2 + 4} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ (t^2 + 4)} > 4 \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ (t^2 + 4)} $$
    $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{20t} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{>} 4t^2 + 16 $$
    $$ 0 > 4t^2 + 16 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 20t} $$
    $$ \frac{0}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} > \frac{4t^2 - 20t + 16}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} $$
    $$ 0 > t^2 - 5t + 4 $$

    Les instants lus, \(1\) et \(4\), annulent \(t^2 - 5t + 4\), ce qui suggère la factorisation :

    $$ (t - 1)(t - 4) = t^2 - 4t - t + 4 = t^2 - 5t + 4 $$

    On étudie le signe de \((t - 1)(t - 4)\) sur \(\bigl[ 0 \ ; \ 12 \bigr]\) :

    $$ t $$
    $$ 0 $$
    $$ 1 $$
    $$ 4 $$
    $$ 12 $$
    $$ t - 1 $$
    $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$
    $$ 0 $$
    $$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
    $$ t - 4 $$
    $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$
    $$ 0 $$
    $$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
    $$ (t - 1)(t - 4) $$
    $$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
    $$ 0 $$
    $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$
    $$ 0 $$
    $$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
    $$ C(t) > 4 \iff t \in \bigl] 1 \ ; \ 4 \bigr[ $$

    Tom est en danger de \(1\) heure à \(4\) heures après la prise, soit pendant \(3\) heures, ce que montrait le graphique.

Un tableau, plusieurs courbes

Une fonction \(f\), définie sur \(\bigl[ {-}4 \ ; \ 5 \bigr]\), n'est connue que par son tableau de variations :

$$ x $$
$$ - 4 $$
$$ - 1 $$
$$ 2 $$
$$ 5 $$
$$ f(x) $$
$$ 3 $$
Arrow
$$ - 2 $$
Arrow
$$ 4 $$
Arrow
$$ 1 $$

Sa courbe se trace sans lever le crayon, et ses variations sont strictes : sur chacun des trois intervalles, \(f\) prend une fois et une seule chaque valeur comprise entre ses valeurs aux deux bornes.

Repère vierge, de -4 à 5 en abscisse et de -3 à 5 en ordonnée, pour tracer une courbe
\(-4\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(5\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(5\)
 x y
  1. Tracer dans le repère une courbe qui peut représenter \(f\).

    On place les points \(({-}4 \ ; \ 3)\), \(({-}1 \ ; \ {-}2)\), \((2 \ ; \ 4)\) et \((5 \ ; \ 1)\), puis on les relie en suivant le sens des flèches, sans autre changement de sens. En voici une, parmi une infinité d'autres :

    Une courbe possible pour f, en bleu : elle descend de (-4 ; 3) à (-1 ; -2), monte jusqu'à (2 ; 4), puis redescend jusqu'à (5 ; 1)
    \(-4\)
    \(-3\)
    \(-2\)
    \(-1\)
    \(0\)
    \(1\)
    \(2\)
    \(3\)
    \(4\)
    \(5\)
    \(-3\)
    \(-2\)
    \(-1\)
    \(0\)
    \(1\)
    \(2\)
    \(3\)
    \(4\)
    \(5\)
     x y
  2. Pour chacune des comparaisons suivantes, dire si le tableau permet de trancher. Justifier par un argument, ou par deux courbes possibles qui donnent des réponses contraires.
    $$ f(- 3) \quad \text{et} \quad f(- 2) $$
    $$ f(- 1) \quad \text{et} \quad f(4) $$
    $$ f(0) \quad \text{et} \quad f(3) $$

    \(f(- 3)\) et \(f(- 2)\) : \(- 3\) et \(- 2\) appartiennent à \(\bigl[ {-}4 \ ; \ {-}1 \bigr]\), où \(f\) est strictement décroissante. Elle range les images dans l'ordre contraire :

    $$ - 3 < - 2 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} f(- 3) > f(- 2) $$

    \(f(- 1)\) et \(f(4)\) : les deux nombres ne sont pas dans un même intervalle de variation. Mais \(4\) appartient à \(\bigl[ 2 \ ; \ 5 \bigr]\), où \(f\) est strictement décroissante : \(f(4) > f(5) = 1\). Et \(f(- 1) = - 2\).

    $$ f(- 1) = - 2 < 1 < f(4) $$

    \(f(0)\) et \(f(3)\) : les deux courbes ci-dessous ont toutes deux ce tableau de variations. Sur la bleue, celle de la question 1, \(f(0) = - 0{,}5\) et \(f(3) = 3{,}25\) ; sur la rouge, \(f(0) \approx 2{,}4\) et \(f(3) \approx 1{,}8\).

    Deux courbes qui ont le même tableau de variations : sur la bleue, celle de la question 1, f(0) est plus petit que f(3) ; sur la rouge, f(0) est plus grand que f(3)
    \(-4\)
    \(-3\)
    \(-2\)
    \(-1\)
    \(0\)
    \(1\)
    \(2\)
    \(3\)
    \(4\)
    \(5\)
    \(-3\)
    \(-2\)
    \(-1\)
    \(0\)
    \(1\)
    \(2\)
    \(3\)
    \(4\)
    \(5\)
     x y
    $$ \text{le tableau ne permet pas de comparer } f(0) \quad \text{et} \quad f(3) $$
  3. Dresser le tableau de signes de \(f\), en justifiant le nombre de valeurs où \(f\) s'annule. On nommera ces valeurs, et on les encadrera par deux entiers.
    $$ x $$
    $$ - 4 $$
    $$ \hspace{10em} $$
    $$ 5 $$
    $$ f(x) $$
    tableau de signes de \(f\) (à compléter)

    Sur \(\bigl[ {-}4 \ ; \ {-}1 \bigr]\), \(0\) est compris entre \(3\) et \(- 2\) : \(f\) s'annule une seule fois, en un réel \(\alpha\). Sur \(\bigl[ {-}1 \ ; \ 2 \bigr]\), \(0\) est compris entre \(- 2\) et \(4\) : \(f\) s'annule une seule fois, en un réel \(\beta\). Sur \(\bigl[ 2 \ ; \ 5 \bigr]\), \(f\) ne descend pas sous \(1\) : elle ne s'annule pas.

    $$ f(x) = 0 \iff x = \alpha \quad \text{ou} \quad x = \beta \hspace{2em} \text{avec} \ (- 4 < \alpha < - 1 < \beta < 2) $$

    \(f\) est strictement décroissante sur \(\bigl[ {-}4 \ ; \ {-}1 \bigr]\) : \(f(x) > f(\alpha) = 0\) avant \(\alpha\), et \(f(x) < 0\) après. Elle est strictement croissante sur \(\bigl[ {-}1 \ ; \ 2 \bigr]\) : \(f(x) < f(\beta) = 0\) avant \(\beta\), et \(f(x) > 0\) après. Sur \(\bigl[ 2 \ ; \ 5 \bigr]\), \(f(x) \geqslant 1 > 0\).

    $$ x $$
    $$ - 4 $$
    $$ \alpha $$
    $$ \beta $$
    $$ 5 $$
    $$ f(x) $$
    $$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
    $$ 0 $$
    $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$
    $$ 0 $$
    $$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$

    Vérification sur la courbe de la question 1 : elle coupe l'axe des abscisses deux fois, vers \(- 2{,}3\) et vers \(0{,}2\).

  4. Selon la valeur du réel \(k\), déterminer le nombre de solutions de l'équation \(f(x) = k\). On pourra compléter le tableau, qui compte les solutions intervalle par intervalle.
    valeur de \(k\)
    sur \(\bigl[ {-}4 \ ; \ {-}1 \bigr]\)
    sur \(\bigl] {-}1 \ ; \ 2 \bigr]\)
    sur \(\bigl] 2 \ ; \ 5 \bigr]\)
    nombre de solutions
    $$ k < - 2 $$
    $$ 0 $$
    $$ 0 $$
    $$ 0 $$
    $$ 0 $$
    $$ k = - 2 $$
    $$ - 2 < k < 1 $$
    $$ k = 1 $$
    $$ 1 < k < 3 $$
    $$ k = 3 $$
    $$ 3 < k < 4 $$
    $$ k = 4 $$
    $$ k > 4 $$
    le nombre de solutions de \(f(x) = k\) (à compléter)

    Sur \(\bigl[ {-}4 \ ; \ {-}1 \bigr]\), \(f\) prend une fois chaque valeur de \(\bigl[ {-}2 \ ; \ 3 \bigr]\) ; sur \(\bigl] {-}1 \ ; \ 2 \bigr]\), une fois chaque valeur de \(\bigl] {-}2 \ ; \ 4 \bigr]\) ; sur \(\bigl] 2 \ ; \ 5 \bigr]\), une fois chaque valeur de \(\bigl[ 1 \ ; \ 4 \bigr[\). Les trois intervalles ne se chevauchent pas : aucune solution n'est comptée deux fois.

    valeur de \(k\)
    sur \(\bigl[ {-}4 \ ; \ {-}1 \bigr]\)
    sur \(\bigl] {-}1 \ ; \ 2 \bigr]\)
    sur \(\bigl] 2 \ ; \ 5 \bigr]\)
    nombre de solutions
    $$ k < - 2 $$
    $$ 0 $$
    $$ 0 $$
    $$ 0 $$
    $$ 0 $$
    $$ k = - 2 $$
    $$ 1 $$
    $$ 0 $$
    $$ 0 $$
    $$ 1 $$
    $$ - 2 < k < 1 $$
    $$ 1 $$
    $$ 1 $$
    $$ 0 $$
    $$ 2 $$
    $$ k = 1 $$
    $$ 1 $$
    $$ 1 $$
    $$ 1 $$
    $$ 3 $$
    $$ 1 < k < 3 $$
    $$ 1 $$
    $$ 1 $$
    $$ 1 $$
    $$ 3 $$
    $$ k = 3 $$
    $$ 1 $$
    $$ 1 $$
    $$ 1 $$
    $$ 3 $$
    $$ 3 < k < 4 $$
    $$ 0 $$
    $$ 1 $$
    $$ 1 $$
    $$ 2 $$
    $$ k = 4 $$
    $$ 0 $$
    $$ 1 $$
    $$ 0 $$
    $$ 1 $$
    $$ k > 4 $$
    $$ 0 $$
    $$ 0 $$
    $$ 0 $$
    $$ 0 $$
    le nombre de solutions de \(f(x) = k\)
    $$ \begin{gather*} \text{aucune solution si } k < - 2 \quad \text{ou} \quad k > 4 \\ \text{une solution si } k = - 2 \quad \text{ou} \quad k = 4 \\ \text{deux solutions si } - 2 < k < 1 \quad \text{ou} \quad 3 < k < 4 \\ \text{trois solutions si } 1 \leqslant k \leqslant 3 \end{gather*} $$

    Vérification sur la courbe de la question 1 : la droite d'équation \(y = 2\) la coupe trois fois, la droite d'équation \(y = - 1\) deux fois.