L'arithmétique

Ensembles d'entiers

Deux ensembles servent de cadre à toute l'arithmétique.

$$ \mathbb{N} = \{0 \ ; \ 1 \ ; \ 2 \ ; \ 3 \ ; \ \dots \} $$

$$ \mathbb{Z} = \{ \dots \ ; \ -2 \ ; \ -1 \ ; \ 0 \ ; \ 1 \ ; \ 2 \ ; \ \dots \} $$

$\mathbb{N}$ est l'ensemble des entiers naturels , $\mathbb{Z}$ celui des entiers relatifs . Tout entier naturel est un entier relatif : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.

Multiples et diviseurs

Multiple et diviseur

Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. On dit que :

$$ a \text{ est un multiple de } b \iff \exists \ k \in \mathbb{Z}, \ a = kb $$

On dit alors, de façon équivalente, que $b$ est un diviseur de $a$, ou encore que $b$ divise $a$.

$35$ est un multiple de $7$, car $35 = 5 \times 7$. Autrement dit, $7$ divise $35$, et $5$ aussi.

Un même nombre a donc plusieurs diviseurs, et une infinité de multiples.

Somme de deux multiples

$$ \text{Si } a \mid b \text{ et } a \mid c, \text{ alors } a \mid (b + c) $$

La somme de deux multiples d'un même nombre

Supposons que $b$ et $c$ soient deux multiples de $a$. Il existe alors deux entiers $k$ et $k'$ tels que :

$$ b = ka \qquad \text{et} \qquad c = k'a $$

En additionnant ces deux égalités, puis en factorisant par $a$ :

$$ b + c = ka + k'a = (k + k')a $$

Or $k + k'$ est un entier, comme somme de deux entiers. La somme $b + c$ s'écrit donc bien sous la forme d'un entier multiplié par $a$ :

$$ b + c \text{ est un multiple de } a $$

Nombres pairs et impairs

Parité d'un entier

Un entier relatif $n$ est :

$$ \text{pair} \iff \exists \ k \in \mathbb{Z}, \ n = 2k $$

$$ \text{impair} \iff \exists \ k \in \mathbb{Z}, \ n = 2k + 1 $$

Un entier est donc pair exactement lorsqu'il est multiple de 2 . Tout entier est pair ou impair, et jamais les deux à la fois.

Carré d'un nombre impair

$$ n \text{ impair} \implies n^2 \text{ impair} $$

Le carré d'un nombre impair est impair

Soit $n$ un entier impair. Par définition, il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$. On élève au carré :

$$ n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 $$

On factorise par $2$ les deux premiers termes, afin de faire apparaître la forme $2k' + 1$ :

$$ n^2 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 $$

Le nombre $k' = 2k^2 + 2k$ est un entier, donc $n^2$ s'écrit $2k' + 1$ :

$$ n^2 \text{ est impair} $$

Fractions irréductibles

Fraction irréductible

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est dite irréductible lorsque $a$ et $b$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ et $-1$.

Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leurs diviseurs communs , jusqu'à ne plus pouvoir simplifier.

$$ \frac{84}{126} = \frac{2 \times 42}{3 \times 42} = \frac{2}{3} $$

Ici $42$ est le plus grand diviseur commun de $84$ et $126$ : une seule simplification suffit. À défaut de le voir, on simplifie par étapes, par exemple d'abord par $2$, puis par $3$, puis par $7$.

Une écriture irréductible est unique, au signe près : c'est la forme sous laquelle on présente tout résultat fractionnaire.