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L'arithmétique

Multiples, diviseurs et parité : des propriétés connues depuis le collège, que l'on démontre maintenant avec des lettres.

Une classe de \(24\) élèves se partage en équipes de même effectif : des équipes de \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\) ou \(12\). Ce sont les diviseurs de \(24\).

À \(23\) élèves, il reste toujours quelqu'un sans équipe.

Partager sans reste, ou compter ce qui reste : c'est l'arithmétique.

Ensembles d'entiers

L'arithmétique travaille dans deux ensembles.

$$ \mathbb{N} = \{0 \ ; \ 1 \ ; \ 2 \ ; \ 3 \ ; \ \dots \} $$
$$ \mathbb{Z} = \{ \dots \ ; \ {-}2 \ ; \ {-}1 \ ; \ 0 \ ; \ 1 \ ; \ 2 \ ; \ \dots \} $$

\(\mathbb{N}\) est l'ensemble des entiers naturels, \(\mathbb{Z}\) celui des entiers relatifs, et \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).

Exemple : \(0\) et \(17\) sont des entiers naturels ; \({-}2\) est relatif, mais pas naturel.

Deux ensembles emboîtés : les entiers naturels 0, 3 et 17 dans N, lui-même dans Z, qui contient aussi -2 et -5
\(\mathbb{Z}\)
\(\mathbb{N}\)
\(0\)
\(3\)
\(17\)
\({-}2\)
\({-}5\)
 Deux ensembles emboîtés : les entiers naturels 0, 3 et 17 dans N, lui-même dans Z, qui contient aussi -2 et -5 - support à compléter
\(\mathbb{Z}\)
\(\mathbb{N}\)
\(0 \hspace{2em} 3 \hspace{2em} 17 \hspace{2em} {-}2 \hspace{2em} {-}5\)

Multiples et diviseurs

Multiple et diviseur

Soient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs. On dit que :

$$ a \text{ est un multiple de } b \iff \exists \ k \in \mathbb{Z}, \ a = kb $$

On dit aussi que \(b\) est un diviseur de \(a\), ou que \(b\) divise \(a\).

Exemple : \(35\) est un multiple de \(7\), car \(35 = 5 \times 7\) : \(7\) et \(5\) divisent \(35\).

Une droite graduée de 0 à 35 : cinq bonds de 7 mènent de 0 à 35
\(0\)
\(7\)
\(7\)
\(7\)
\(14\)
\(7\)
\(21\)
\(7\)
\(28\)
\(7\)
\(35\)
 Une droite graduée de 0 à 35 : cinq bonds de 7 mènent de 0 à 35 - support à compléter
\(0\)
\(35\)

Un entier \(n \geqslant 2\) a plusieurs diviseurs, et une infinité de multiples.

Somme de deux multiples

Pour trois entiers \(a\), \(b\) et \(c\) :

$$ \text{Si } a \mid b \quad \text{et} \quad a \mid c, \text{ alors } a \mid (b + c) $$

La somme de deux multiples d'un même nombre

Soient \(b\) et \(c\) deux multiples de \(a\) : il existe deux entiers \(k\) et \(k'\) tels que :

$$ b = ka \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} c = k'a $$

On additionne, puis on factorise par \(a\) :

$$ b + c = ka + k'a = (k + k')a $$

Or \(k + k'\) est un entier :

$$ b + c \text{ est un multiple de } a $$

Exemple : \(14\) et \(21\) sont deux multiples de \(7\) ; leur somme, \(35\), en est un aussi.

Une droite graduée de 0 à 35 : deux bonds de 7 font 14, trois de plus font 21, et les cinq ensemble 35
\(0\)
\(14\)
\(14 = 2 \times 7\)
\(21 = 3 \times 7\)
\(35\)
 Une droite graduée de 0 à 35 : deux bonds de 7 font 14, trois de plus font 21, et les cinq ensemble 35 - support à compléter
\(0\)
\(14\)
\(35\)

Nombres pairs et impairs

Parité d'un entier

Un entier relatif \(n\) est :

$$ \text{pair} \iff \exists \ k \in \mathbb{Z}, \ n = 2k $$
$$ \text{impair} \iff \exists \ k \in \mathbb{Z}, \ n = 2k + 1 $$

Un entier pair est un multiple de 2 ; tout entier est pair ou impair, jamais les deux.

Exemple : \(8 = 2 \times 4\) est pair, \(9 = 2 \times 4 + 1\) est impair.

Huit points rangés en quatre paires, et neuf points : quatre paires et un point seul
\(8 = 2 \times 4\)
\(9 = 2 \times 4 + 1\)
 Huit points rangés en quatre paires, et neuf points : quatre paires et un point seul - support à compléter
\(8\)
\(9\)

Carré d'un nombre impair

Pour tout entier \(n\) :

$$ n \text{ impair} \implies n^2 \text{ impair} $$

Le carré d'un nombre impair est impair

Soit \(n = 2k + 1\) un entier impair, avec \(k\) entier :

$$ n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 $$

On factorise par \(2\) les deux premiers termes :

$$ n^2 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 $$

\(k' = 2k^2 + 2k\) est un entier :

$$ n^2 \text{ est impair} $$

Fractions irréductibles

Fraction irréductible

Une fraction \(\frac{a}{b}\) est dite irréductible lorsque \(a\) et \(b\) n'ont aucun diviseur commun autre que \(1\) et \(-1\).

Pour rendre une fraction irréductible, on divise numérateur et dénominateur par leurs diviseurs communs, jusqu'à ne plus pouvoir simplifier.

$$ \frac{84}{126} = \frac{2 \times 42}{3 \times 42} = \frac{2}{3} $$

Exemple : \(84\) et \(126\), découpés en blocs de \(42\).

Deux barres de 84 et de 126 : l'une fait deux blocs de 42, l'autre trois
\(84\)
\(126\)
\(42\)
\(42\)
\(42\)
\(42\)
\(42\)
\(\frac{84}{126} = \frac{2}{3}\)
 Deux barres de 84 et de 126 : l'une fait deux blocs de 42, l'autre trois - support à compléter
\(84\)
\(126\)

Ici \(42\) est le plus grand diviseur commun de \(84\) et \(126\) : une seule simplification suffit. Sinon, on simplifie par étapes : par \(2\), \(3\), puis \(7\).

Une écriture irréductible est unique, au signe près.