Problèmes sur la divisibilité en seconde

Nombre parfait, nombre premier, diviseurs communs : l'arithmétique se démontre pas à pas.

Déterminer si un nombre est premier
Étudier la divisibilité d'un entier
Chercher les diviseurs communs de deux entiers
Démontrer qu'un nombre est multiple d'un autre

Calculatrice interdite !

(sauf pour calculer les racines carrées de l'exercice 2)

Un multiple

On dit que $a$ est un multiple de $b$ si et seulement si :

$$\exists q \in \mathbb{Z}, \ a = bq $$

Un diviseur

On dit que $b$ est un diviseur de $a$ si et seulement si :

$$\exists q \in \mathbb{Z}, \ \frac{a}{b} = q $$

Ce qui revient à la définition précédente.

Il existe alors ce lien entre les deux :

$a$ est un multiple de $b$ $\Longleftrightarrow$ $b$ est un diviseur de $a$

Un nombre parfait

Un nombre parfait est égal à la somme de ses diviseurs autres que lui-même.

Démontrer que le nombre $28$ est parfait.

Les diviseurs de $28$ sont $1$, $2$, $4$, $7$, $14$ et $28$. On additionne tous ceux qui sont différents de $28$ :

$$ S = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 $$

$$ S = 28 $$

La somme vaut $28$ : le nombre $28$ est parfait.

Déterminer si un nombre est premier

Un nombre premier

Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Exemples : $2$, $13$ et $37$ sont des nombres premiers.

À l'aide de ce théorème :

Tout entier naturel $n \geqslant 4$ non premier possède au moins un diviseur $d$, différent de $1$, tel que $d \leqslant \sqrt{n}$.

Déterminer si le nombre $137$ est premier.

$$ \sqrt{137} \approx 11{,}7 $$

Si $137$ n'était pas premier, il aurait un diviseur compris entre $2$ et $11$. On les teste :

$137$ est impair : il n'est divisible ni par $2$, ni par $4$, $6$, $8$ ou $10$. La somme de ses chiffres, $1 + 3 + 7 = 11$, n'est pas un multiple de $3$ : il n'est divisible ni par $3$ ni par $9$. Il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ : il n'est pas divisible par $5$.

$$ 137 = 7 \times 19 + 4 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 137 = 11 \times 12 + 5 $$

Aucun reste n'est nul : $137$ n'a aucun diviseur entre $2$ et $11$.

$$ 137 \ \text{est premier} $$

Critères de divisibilité

Dire si le nombre $327$ est divisible par $3$.

Un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3.

$$ 3 + 2 + 7 = 12 $$

Comme $12$ est un multiple de $3$, le nombre $327$ l'est aussi : oui.
Dire si le nombre $476$ est divisible par $4$.

On applique la méthode des tranches :

$$ 476 \textcolor{rgb(157 171 234)}{ - 400} = 76 $$

$$ 76 \textcolor{rgb(157 171 234)}{ - 40} = 36 $$

On n'a retiré que des multiples de $4$, et $36 = 4 \times 9$ en est un : le nombre $476$ aussi. La réponse est oui.
Dire si le nombre $252$ est divisible par $9$.

Un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9.

$$ 2 + 5 + 2 = 9 $$

Le nombre $252$ est bien divisible par 9.
Dire si le nombre $1 \ 189$ est divisible par $7$.

On applique la méthode des tranches :

$$ 1 \ 189 \textcolor{rgb(157 171 234)}{ - 700} = 489 $$

On peut aussi retirer un multiple de $7$ un peu trop grand, et passer dans les négatifs :

$$ 489 \textcolor{rgb(157 171 234)}{ - 490} = - 1 $$

Comme $- 1$ n'est pas un multiple de $7$, le nombre $1 \ 189$ ne l'est pas non plus. La réponse est non.

Dire si le nombre $289$ est divisible par $17$.

Faisons la division :

$$ \hspace{0.8em } \textcolor{rgb(157 171 234)}{ \overset{\Large\frown}{28} }9 $$	$$ 17 $$
$$ \hspace{-0.6em } -17 \hspace{0.2em} . $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{17} $$
$$ \hspace{-0.4em } = \overset{\LARGE\frown}{\textcolor{rgb(213 140 57)}{11}9} $$
$$ \hspace{-0.4em }-119 $$
$$ \hspace{-0.4em } = \hspace{0.8em } \textcolor{rgb(213 140 57)}{0} $$

La division tombe juste, donc oui.

Deux démonstrations

Démontrer les propositions suivantes :

Pour tout entier $n$ : si $n + 3$ est un multiple de $7$, alors $n^2 + 5$ l'est aussi.

Si $n + 3$ est un multiple de $7$, alors :

$$ \exists q \in \mathbb{Z}, \enspace n + 3 = 7q $$

$$ n = 7q - 3$$

On peut maintenant mettre $n$ au carré :

$$ n^2 = (7q - 3)^2 $$

$$ n^2 = (7q)^2 - 2 \times 7q \times 3 + 3^2 $$

$$ n^2 = 49q^2 - 42q + 9 $$

On ajoute maintenant $5$ aux deux membres :

$$ n^2 \textcolor{rgb(157 171 234)}{+ 5} = 49q^2 - 42q + 9 \textcolor{rgb(157 171 234)}{+ 5} $$

$$ n^2 + 5 = 49q^2 - 42q + 14 $$

On peut alors tout factoriser par $7$ :

$$ n^2 + 5 = 7 \underbrace{(7q^2 - 6q + 2)} _\text{$A \ \in \ \mathbb{Z}$} $$

Comme $7q^2 - 6q + 2$ est un entier, le nombre $n^2 + 5$ est bien un multiple de $7$.
On passe à une autre proposition. Si $a$ est un multiple de $2$ et $b$ un multiple de $3$, alors $(a + b)^3 - b^3$ est un multiple de $2$.

Si $a$ est un multiple de $2$ et $b$ un multiple de $3$, alors :

$$ \exists (q, p) \in \hspace{0.03em} \mathbb{Z}^2, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} a = 2q \\ b = 3p \end{gather*} $$

Alors,

$$ (a+b)^3 - b^3 = (2q + 3p)^3 - (3p)^3 $$

On utilise la formule :

$$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$

$$ (a+b)^3 - b^3 = (2q)^3 + 3 \times (2q)^2 \times 3p + 3 \times 2q \times (3p)^2 + (3p)^3 - (3p)^3 $$

$$ (a+b)^3 - b^3 = (2q)^3 + 3 \times (2q)^2 \times 3p + 3 \times 2q \times (3p)^2 $$

$$ (a+b)^3 - b^3 = 8q^3 + 36 q^2p + 54 q p^2 $$

On peut alors tout factoriser par $2$ :

$$ (a+b)^3 - b^3 = 2 \underbrace{(4q^3 + 18q^2p + 27qp^2)} _\text{$A \ \in \ \mathbb{Z}$} $$

Comme $4q^3 + 18q^2p + 27qp^2$ est un entier, le nombre $(a + b)^3 - b^3$ est bien un multiple de $2$.

Chiffre caché et fausse règle

Dans le nombre à trois chiffres $\overline{4c2}$, le chiffre des dizaines $c$ est caché. Trouver toutes les valeurs de $c$ pour lesquelles ce nombre est divisible par $3$, puis celles pour lesquelles ce même nombre est divisible par $9$.

La somme des chiffres vaut $4 + c + 2 = 6 + c$, avec $c$ entre $0$ et $9$, donc $6 + c$ entre $6$ et $15$.

Divisible par $3$ : $6 + c$ vaut $6$, $9$, $12$ ou $15$.

$$ c = 0 \hspace{2em} c = 3 \hspace{2em} c = 6 \hspace{2em} c = 9 $$

Divisible par $9$ : $6 + c$ ne peut valoir que $9$, soit $c = 3$ et le nombre $432 = 9 \times 48$.

$$ c = 3 $$
On passe à une autre question. Léa affirme : « la somme de deux multiples de $6$ est toujours un multiple de $12$, par exemple $6 + 18 = 24$ ». Montrer que Léa se trompe, puis démontrer ce que l'on peut affirmer à coup sûr.

Un seul contre-exemple suffit à réfuter une affirmation générale :

$$ 6 + 12 = 18 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 18 = 12 \times 1 + 6 $$

$18$ n'est pas un multiple de $12$ : Léa se trompe. En revanche, soit $a = 6k$ et $b = 6k'$, avec $k$ et $k'$ entiers :

$$ a + b = 6k + 6k' = 6(k + k') $$

$k + k'$ est un entier :

$$ \text{la somme de deux multiples de } 6 \text{ est un multiple de } 6 $$

Les bouquets du fleuriste

Un fleuriste dispose de $84$ roses et de $60$ tulipes. Il veut composer des bouquets tous identiques, en utilisant toutes ses fleurs : chaque bouquet contient le même nombre de roses et le même nombre de tulipes.

Donner la liste des diviseurs de $84$, puis celle des diviseurs de $60$.

On cherche les diviseurs par paires, $84 = 1 \times 84 = 2 \times 42 = 3 \times 28 = 4 \times 21 = 6 \times 14 = 7 \times 12$, et de même pour $60$ :

$$ 84 : 1 \ ; \ 2 \ ; \ 3 \ ; \ 4 \ ; \ 6 \ ; \ 7 \ ; \ 12 \ ; \ 14 \ ; \ 21 \ ; \ 28 \ ; \ 42 \ ; \ 84 $$

$$ 60 : 1 \ ; \ 2 \ ; \ 3 \ ; \ 4 \ ; \ 5 \ ; \ 6 \ ; \ 10 \ ; \ 12 \ ; \ 15 \ ; \ 20 \ ; \ 30 \ ; \ 60 $$
Déterminer le plus grand nombre de bouquets qu'il peut composer, et le contenu de chacun de ces bouquets.

Le nombre de bouquets doit diviser à la fois $84$ et $60$. Les diviseurs communs sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$ : le plus grand est $12$.

$$ 84 = 12 \times 7 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 60 = 12 \times 5 $$

$$ 12 \text{ bouquets de } 7 \text{ roses et } 5 \text{ tulipes} $$
Avant de commencer, le fleuriste reçoit $7$ roses de plus, soit $91$ roses. Il affirme : « avec plus de fleurs, je ferai plus de bouquets ». Trancher, en justifiant.

Les diviseurs de $91 = 7 \times 13$ sont $1$, $7$, $13$ et $91$. Aucun, sauf $1$, ne divise $60$ : $60$ n'est divisible ni par $7$, ni par $13$, ni par $91$.

$$ \text{il a tort : il ne peut plus faire qu'un seul bouquet} $$

Ce n'est pas le nombre de fleurs qui compte, mais les diviseurs communs aux deux quantités.

Les vendredis 13

L'année $2026$ compte trois vendredis $13$ : en février, en mars et en novembre. La roue place le $13$ de chaque mois de $2026$ sur son jour de la semaine. Décaler une date de $7$ jours, ou d'un multiple de $7$ jours, ne change pas son jour.

Le $13$ janvier $2026$ était un mardi. Prouver, sans calendrier, que le $13$ février $2026$ était un vendredi, puis trouver le jour du $13$ avril $2026$. Vérifier sur la roue.

Du $13$ janvier au $13$ février, il s'écoule les $31$ jours de janvier :

$$ 31 = 7 \times 4 + 3 $$

Les $28$ premiers jours ramènent au mardi, les $3$ suivants mènent au vendredi. Février $2026$ compte $28 = 7 \times 4$ jours : le $13$ mars est encore un vendredi. Mars compte $31$ jours, soit $3$ jours de décalage : samedi, dimanche, lundi.

$$ \text{le } 13 \text{ avril } 2026 \text{ est un lundi} $$

Vérification : sur la roue, avril est bien dans la case du lundi.

Dans une année non bissextile, on compte les jours écoulés du $13$ janvier au $13$ de chaque mois. Compléter le tableau, puis prouver que toute année non bissextile compte au moins un vendredi $13$, et au plus trois.

Mois	janv.	févr.	mars	avr.	mai	juin
Jours écoulés	$0$	$31$
Reste dans la division par $7$	$0$	$3$

Mois	juil.	août	sept.	oct.	nov.	déc.
Jours écoulés
Reste dans la division par $7$

jours écoulés depuis le 13 janvier, dans une année non bissextile (à compléter)

On ajoute chaque fois la longueur du mois précédent : $31 + 28 = 59$ pour mars, $59 + 31 = 90$ pour avril, et ainsi de suite.

Mois	janv.	févr.	mars	avr.	mai	juin
Jours écoulés	$0$	$31$	$59$	$90$	$120$	$151$
Reste dans la division par $7$	$0$	$3$	$3$	$6$	$1$	$4$

Mois	juil.	août	sept.	oct.	nov.	déc.
Jours écoulés	$181$	$212$	$243$	$273$	$304$	$334$
Reste dans la division par $7$	$6$	$2$	$5$	$0$	$3$	$5$

jours écoulés depuis le 13 janvier, dans une année non bissextile

Le $13$ d'un mois tombe $7q + r$ jours après le $13$ janvier, $r$ étant le reste. Les $7q$ jours ne changent pas le jour de la semaine : ce $13$ tombe $r$ jours après le jour du $13$ janvier.

Au moins un : on note $d$ le nombre de jours qui séparent le jour du $13$ janvier du vendredi suivant, avec $d = 0$ si c'est un vendredi. $d$ est compris entre $0$ et $6$, et les mois de reste $d$ sont exactement ceux dont le $13$ est un vendredi. Or les sept restes de $0$ à $6$ apparaissent tous dans le tableau : au moins un mois a le reste $d$.

Au plus trois : aucun reste n'apparaît plus de trois fois. Seul le reste $3$ apparaît trois fois, en février, mars et novembre.

$$ \text{entre un et trois vendredis } 13 \text{ par an} $$

Vérification : en $2026$, le vendredi arrive $3$ jours après le mardi $13$ janvier, et les mois de reste $3$ sont bien ceux de la roue.

On passe aux années bissextiles, où février compte $29$ jours. Léo affirme : « Avec ce jour de plus, une année bissextile peut n'avoir aucun vendredi $13$. » Trancher, puis donner le jour du $13$ janvier des années bissextiles qui comptent trois vendredis $13$.

Le $29$ février ne change rien jusqu'au $13$ février. À partir du $13$ mars, chaque mois compte un jour de plus, et son reste augmente de $1$, un reste $7$ devenant $0$ :

Mois	janv.	févr.	mars	avr.	mai	juin
Jours écoulés	$0$	$31$	$60$	$91$	$121$	$152$
Reste dans la division par $7$	$0$	$3$	$4$	$0$	$2$	$5$

Mois	juil.	août	sept.	oct.	nov.	déc.
Jours écoulés	$182$	$213$	$244$	$274$	$305$	$335$
Reste dans la division par $7$	$0$	$3$	$6$	$1$	$4$	$6$

jours écoulés depuis le 13 janvier, dans une année bissextile

Les sept restes de $0$ à $6$ apparaissent encore : comme à la question précédente, une année bissextile compte au moins un vendredi $13$. Léo a tort. Le reste $0$ apparaît trois fois, en janvier, avril et juillet, et chacun des autres au plus deux fois : trois vendredis $13$ demandent le reste $0$, c'est-à-dire un $13$ janvier qui soit lui-même un vendredi.

$$ \text{Léo a tort} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{le } 13 \text{ janvier est un vendredi} $$

Vérification : en $2012$, année bissextile, le $13$ janvier était un vendredi, et les vendredis $13$ sont tombés en janvier, avril et juillet.

Trouver toutes les années de $2027$ à $2040$ qui comptent trois vendredis $13$, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre. Les années bissextiles de cette période sont $2028$, $2032$, $2036$ et $2040$. On pourra compléter le tableau.

Année	$2027$	$2028$	$2029$	$2030$	$2031$
$13$ janvier	mercredi

Année	$2032$	$2033$	$2034$	$2035$	$2036$
$13$ janvier

Année	$2037$	$2038$	$2039$	$2040$
$13$ janvier

jour de la semaine du 13 janvier (à compléter)

D'un $13$ janvier au suivant, il s'écoule $365$ jours, ou $366$ si l'année de départ est bissextile, le $29$ février tombant entre les deux :

$$ 365 = 7 \times 52 + 1 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 366 = 7 \times 52 + 2 $$

Le $13$ janvier avance d'un jour d'une année à la suivante, et de deux jours après une année bissextile :

Année	$2027$	$2028$	$2029$	$2030$	$2031$
$13$ janvier	mercredi	jeudi	samedi	dimanche	lundi

Année	$2032$	$2033$	$2034$	$2035$	$2036$
$13$ janvier	mardi	jeudi	vendredi	samedi	dimanche

Année	$2037$	$2038$	$2039$	$2040$
$13$ janvier	mardi	mercredi	jeudi	vendredi

jour de la semaine du 13 janvier

Années non bissextiles : d'après la question 2, trois vendredis $13$ demandent le reste $3$, donc un vendredi $3$ jours après le $13$ janvier : le $13$ janvier doit être un mardi. Parmi les années non bissextiles du tableau, seule $2037$ convient.

Années bissextiles : d'après la question 3, le $13$ janvier doit être un vendredi. C'est le cas en $2040$, mais pas en $2028$ (jeudi), en $2032$ (mardi) ni en $2036$ (dimanche).

$$ 2037 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 2040 $$

Vérification : $2037$ reprend le calendrier de $2026$, avec un $13$ janvier un mardi : ses vendredis $13$ tombent en février, mars et novembre.

Les pommiers du verger

Dans un verger, les pommiers sont plantés en carré. Une photographe se tient au point $O$ : le pommier $(a \ ; \ b)$ est à $a$ rangs vers la droite et $b$ rangs vers le haut. Il est caché lorsqu'un autre pommier se trouve exactement entre lui et $O$, sur la même ligne de visée. Sur la figure, le pommier $(2 \ ; \ 1)$ cache les pommiers rouges $(4 \ ; \ 2)$ et $(6 \ ; \ 3)$.

Le pommier $(6 \ ; \ 4)$ est-il caché ? Et le pommier $(5 \ ; \ 3)$ ? Justifier.

Les points de la ligne de visée du pommier $(6 \ ; \ 4)$ ont des coordonnées proportionnelles à $6$ et à $4$. Le pommier $(3 \ ; \ 2)$ en fait partie, avec un coefficient $\frac{1}{2}$, et il est plus près de $O$.

Un pommier $(x \ ; \ y)$ placé devant le pommier $(5 \ ; \ 3)$ vérifierait $y = \frac{3x}{5}$, avec $x$ entier entre $1$ et $4$. Or $3x$ vaudrait $3$, $6$, $9$ ou $12$ : aucun n'est un multiple de $5$, et $y$ ne serait pas entier.

$$ (6 \ ; \ 4) \ \text{est caché} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} (5 \ ; \ 3) \ \text{est visible} $$
Démontrer que le pommier $(a \ ; \ b)$ est caché si et seulement si $a$ et $b$ ont un diviseur commun autre que $1$. On pourra utiliser le fait qu'une fraction n'a qu'une seule écriture irréductible.

Si $a$ et $b$ ont un diviseur commun $d \geqslant 2$ : on écrit $a = da'$ et $b = db'$, avec $a'$ et $b'$ entiers naturels non nuls. Les coordonnées de $(a' \ ; \ b')$ sont proportionnelles à $a$ et $b$, avec le coefficient $\frac{1}{d}$ : ce pommier est sur la ligne de visée, et plus près de $O$ puisque $a' < a$. Le pommier $(a \ ; \ b)$ est caché.

Si $1$ est leur seul diviseur commun : la fraction $\frac{b}{a}$ est irréductible. Supposons qu'un pommier $(x \ ; \ y)$ le cache : $x < a$ et $\frac{y}{x} = \frac{b}{a}$. On divise $x$ et $y$ par leur plus grand diviseur commun $g$ : la fraction obtenue est irréductible, sinon $g$ ne serait pas le plus grand. C'est une écriture irréductible de $\frac{b}{a}$, donc $\frac{x}{g} = a$, et $x = ga \geqslant a$ : c'est impossible.

$$ (a \ ; \ b) \ \text{est caché} \iff a \ \text{et} \ b \ \text{ont un diviseur commun autre que } 1 $$

Compter les pommiers cachés de la figure, en les marquant rangée par rangée.

D'après la question 2, dans la rangée $b$, le pommier $(a \ ; \ b)$ est caché quand $a$ partage un diviseur avec $b$ : un multiple de $2$ ou de $3$ quand $b = 6$, un multiple de $5$ quand $b = 5$, et ainsi de suite.

Rangée $b$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Cachés	aucun	$2 \ ; \ 4 \ ; \ 6$	$3 \ ; \ 6$	$2 \ ; \ 4 \ ; \ 6$	$5$	$2 \ ; \ 3 \ ; \ 4 \ ; \ 6$
Nombre	$0$	$3$	$2$	$3$	$1$	$4$

pommiers cachés du verger, rangée par rangée

$$ 13 \ \text{pommiers cachés} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 23 \ \text{visibles} $$

Pour $b \geqslant 3$, on s'intéresse aux pommiers $(1 \ ; \ b)$, $(2 \ ; \ b)$, …, $(b \ ; \ b)$ de la rangée $b$. Démontrer que le nombre de pommiers visibles parmi eux est toujours pair. On pourra comparer les diviseurs communs de $a$ et $b$ à ceux de $b - a$ et $b$.

Les mêmes diviseurs communs : un diviseur de $a$ et de $b$ divise leur différence $b - a$. Réciproquement, un diviseur de $b - a$ et de $b$ divise $b - (b - a) = a$. D'après la question 2, pour $a$ entre $1$ et $b - 1$, les pommiers $(a \ ; \ b)$ et $(b - a \ ; \ b)$ sont tous les deux visibles, ou tous les deux cachés.

Des paires : on associe $1$ à $b - 1$, $2$ à $b - 2$, et ainsi de suite. Un nombre n'est associé à lui-même que si $a = b - a$, soit $b = 2a$ : comme $b \geqslant 3$, $a \geqslant 2$ divise $a$ et $b$, et ce pommier est caché. Le dernier, $(b \ ; \ b)$, est caché lui aussi. Les pommiers visibles vont donc par deux.

$$ \text{le nombre de pommiers visibles de la rangée est pair} $$

Vérification sur la figure : de $(1 \ ; \ b)$ à $(b \ ; \ b)$, on compte $2$ pommiers visibles pour $b = 3$, $2$ pour $b = 4$, $4$ pour $b = 5$ et $2$ pour $b = 6$.

Mois	janv.	févr.	mars	avr.	mai	juin
Jours écoulés	\(0\)	\(31\)	\(59\)	\(90\)	\(120\)	\(151\)
Reste dans la division par \(7\)	\(0\)	\(3\)	\(3\)	\(6\)	\(1\)	\(4\)

Mois	juil.	août	sept.	oct.	nov.	déc.
Jours écoulés	\(181\)	\(212\)	\(243\)	\(273\)	\(304\)	\(334\)
Reste dans la division par \(7\)	\(6\)	\(2\)	\(5\)	\(0\)	\(3\)	\(5\)

Mois	janv.	févr.	mars	avr.	mai	juin
Jours écoulés	\(0\)	\(31\)	\(60\)	\(91\)	\(121\)	\(152\)
Reste dans la division par \(7\)	\(0\)	\(3\)	\(4\)	\(0\)	\(2\)	\(5\)

Mois	juil.	août	sept.	oct.	nov.	déc.
Jours écoulés	\(182\)	\(213\)	\(244\)	\(274\)	\(305\)	\(335\)
Reste dans la division par \(7\)	\(0\)	\(3\)	\(6\)	\(1\)	\(4\)	\(6\)

Année	\(2027\)	\(2028\)	\(2029\)	\(2030\)	\(2031\)
\(13\) janvier	mercredi

Année	\(2032\)	\(2033\)	\(2034\)	\(2035\)	\(2036\)
\(13\) janvier

Année	\(2037\)	\(2038\)	\(2039\)	\(2040\)
\(13\) janvier	mardi	mercredi	jeudi	vendredi

Rangée \(b\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
Cachés	aucun	\(2 \ ; \ 4 \ ; \ 6\)	\(3 \ ; \ 6\)	\(2 \ ; \ 4 \ ; \ 6\)	\(5\)	\(2 \ ; \ 3 \ ; \ 4 \ ; \ 6\)
Nombre	\(0\)	\(3\)	\(2\)	\(3\)	\(1\)	\(4\)