Problèmes sur les nombres pairs et impairs

L'addition des nombres pairs et impairs

1. Montrer que l'addition de deux nombres pairs donne un nombre pair.

   Soient deux nombres pairs \(P_1\) et \(P_2\) :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} P_1 = 2a \hspace{2em}(a \in \mathbb{Z}) \\ P_2 = 2a' \hspace{2em}(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

   Alors,

   $$ P_1 + P_2 = 2a + 2a' $$

   En factorisant par \(2\) :

   $$ P_1 + P_2 = 2 \underbrace{(a + a')} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} $$

   $$ P_1 + P_2 = 2 A \hspace{2em}(A \in \mathbb{Z}) $$
2. Montrer que l'addition de deux nombres impairs donne un nombre pair.

   Soient deux nombres impairs \(I_1\) et \(I_2\) :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} I_1 = 2a + 1 \hspace{2em}(a \in \mathbb{Z}) \\ I_2 = 2a' + 1 \hspace{2em}(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

   Alors,

   $$ I_1 + I_2 = 2a + 1 + 2a' + 1 $$

   $$ I_1 + I_2 = 2a + 2a' + 2 $$

   En factorisant par \(2\) :

   $$ I_1 + I_2 = 2 \underbrace{(a + a' + 1)} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} $$

   $$ I_1 + I_2 = 2 A \hspace{2em}(A \in \mathbb{Z}) $$
3. Enfin, montrer que l'addition d'un nombre impair et d'un nombre pair donne un nombre impair.

   Soient un nombre pair \(P\) et un nombre impair \(I\) :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} P = 2a \hspace{2em}(a \in \mathbb{Z}) \\ I = 2a' + 1 \hspace{2em}(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

   Alors,

   $$ P + I = 2a + 2a' + 1 $$

   En factorisant par \(2\) :

   $$ P + I = 2 \underbrace{(a + a')} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} + 1 $$

   $$ P + I = 2 A + 1 \hspace{2em}(A \in \mathbb{Z}) $$

Le produit des nombres pairs et impairs

1. Montrer que le produit de deux nombres pairs donne un nombre pair.

   Soient deux nombres pairs \(P_1\) et \(P_2\) :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} P_1 = 2a \hspace{2em}(a \in \mathbb{Z}) \\ P_2 = 2a' \hspace{2em}(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

   Alors,

   $$ P_1 P_2 = 2a \times 2a' $$

   $$ P_1 P_2 = 2 \times \underbrace{2aa'} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} $$

   $$ P_1 P_2 = 2 A \hspace{2em}(A \in \mathbb{Z}) $$
2. Montrer que le produit de deux nombres impairs donne un nombre impair.

   Soient deux nombres impairs \(I_1\) et \(I_2\) :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} I_1 = 2a + 1 \hspace{2em}(a \in \mathbb{Z}) \\ I_2 = 2a' + 1 \hspace{2em}(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

   Alors,

   $$ I_1 I_2 = (2a + 1) \times (2a' + 1) $$

   $$ I_1 I_2 = 4aa' + 2a + 2a' + 1 $$

   En factorisant par \(2\) :

   $$ I_1 I_2 = 2 \times \underbrace{(2aa' + a + a')} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} + 1 $$

   $$ I_1 I_2 = 2 A + 1 \hspace{2em}(A \in \mathbb{Z}) $$
3. Enfin, montrer que le produit d'un nombre impair avec un nombre pair donne un nombre pair.

   Soient un nombre pair \(P\) et un nombre impair \(I\) :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} P = 2a \hspace{2em}(a \in \mathbb{Z}) \\ I = 2a' + 1 \hspace{2em}(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

   Alors,

   $$ PI = (2a) \times (2a' + 1) $$

   $$ PI = 4aa' + 2a $$

   En factorisant par \(2\) :

   $$ PI = 2 \times \underbrace{(2aa' + a)} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} $$

   $$ PI = 2 A \hspace{2em}(A \in \mathbb{Z}) $$

Les carrés des nombres pairs et impairs

Soit \(N \in \mathbb{Z}\) un nombre entier.

1. Les nombres pairs

   1. Montrer que si un nombre est pair, alors le carré de ce nombre l'est aussi.

      Si \(N\) est pair, alors :

      $$ \exists a \in \mathbb{Z}, \ N = 2a $$

      Si l'on prend maintenant son carré, on obtient :

      $$ N^2 = (2a)^2 $$

      En faisant le carré d'un produit, les carrés se distribuent :

      $$ N^2 = \ 2^2a^2 $$

      $$ N^2 = \ 2 \times 2a^2 $$

      $$ N^2 = \ 2 \times \underbrace{2a^2} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z}\)} $$

      Le carré de \(N\) s'écrit donc finalement sous la forme :

      $$N^2 = \ 2 A \hspace{2em} \text{avec} \ (A \in \mathbb{Z}) $$

      C'est donc un nombre pair, et on a montré que :

      $$ N \ \text{est pair} \Longrightarrow N^2 \ \text{est pair} $$

   2. En déduire, à l'aide de la contraposée de ce même résultat, une propriété des entiers dont le carré est impair.

      Indice : Lorsqu'on a réussi à montrer que pour deux propositions données \(P\) et \(Q\) :

      $$ P \Longrightarrow Q $$

      $$ (\text{si } P, \text{ alors } Q) $$

      Il en résulte, par contraposée :

      $$ \text{non}(Q) \Longrightarrow \text{non}(P) $$

      $$ (\text{si non}(Q), \text{ alors non}(P)) $$

      Comme on a réussi à montrer précédemment que pour tout nombre entier :

      $$ \forall N \in \mathbb{Z}, $$

      $$ N \ \text{est pair} \Longrightarrow N^2 \ \text{est pair} $$

      Alors par contraposée :

      $$ N^2 \ \text{est impair} \Longrightarrow N \ \text{est impair} $$
2. Les nombres impairs

   1. Montrer que si un nombre est impair, alors le carré de ce nombre l'est aussi.

      Si \(N\) est impair, alors :

      $$ \exists a \in \mathbb{Z}, \ N = 2a + 1 $$

      Alors, si l'on prend son carré, on obtient :

      $$ N^2 = (2a + 1)^2 $$

      On développe l'identité remarquable :

      $$ N^2 = (2a)^2 + 2 \times 2a + 1^2 $$

      $$ N^2 = 4a^2 + 4a + 1 $$

      On peut factoriser une partie par \(2\) :

      $$ N^2 = 2 \times \underbrace{(2a^2 + 2a)} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z}\)} + 1 $$

      Le carré de \(N\) s'écrit donc finalement sous la forme :

      $$ N^2 = \ 2 A + 1 \hspace{2em} \text{avec} \ (A \in \mathbb{Z}) $$

      C'est donc un nombre impair, et on a montré que :

      $$ N \ \text{est impair} \Longrightarrow N^2 \ \text{est impair} $$

   2. De la même manière, en déduire, à l'aide de la contraposée de ce résultat, une propriété des entiers dont le carré est pair.

      Comme on a réussi à montrer précédemment que pour tout nombre entier :

      $$ N \ \text{est impair} \Longrightarrow N^2 \ \text{est impair} $$

      Alors par contraposée :

      $$ N^2 \ \text{est pair} \Longrightarrow N \ \text{est pair} $$
3. Équivalences

   1. En combinant les quatre résultats obtenus, écrire les deux équivalences qui en découlent.

      Indice : Lorsqu'on a réussi à montrer une première implication pour \(P\) et \(Q\) :

      $$ P \Longrightarrow Q $$

      Et aussi sa réciproque :

      $$ Q \Longrightarrow P $$

      Alors, il y a équivalence :

      $$ P \Longleftrightarrow Q $$

      Cela veut dire qu'elles sont toutes les deux vraies (ou toutes les deux fausses) en même temps.

      On a réussi à montrer les quatre implications suivantes :

      $$ \forall N \in \mathbb{Z}, $$

      $$ N \ \text{est pair} \Longrightarrow N^2 \ \text{est pair} \hspace{2em} (1) $$

      $$ N^2 \ \text{est pair} \Longrightarrow N \ \text{est pair} \hspace{2em} (2) $$

      $$ N \ \text{est impair} \Longrightarrow N^2 \ \text{est impair} \hspace{2em} (3) $$

      $$ N^2 \ \text{est impair} \Longrightarrow N \ \text{est impair} \hspace{2em} (4) $$

      Les propositions \((1)\) et \((2)\) donnent :

      $$ \forall N \in \mathbb{Z}, $$

      $$ N \ \text{est pair} \Longleftrightarrow N^2 \ \text{est pair} $$

      Et les propositions \((3)\) et \((4)\) donnent :

      $$ \forall N \in \mathbb{Z}, $$

      $$ N \ \text{est impair} \Longleftrightarrow N^2 \ \text{est impair} $$

Démonstrations à vérifier

1. Tom veut démontrer que la somme de deux nombres impairs est paire. Il écrit : « deux nombres impairs s'écrivent \(2a + 1\) et \(2a + 1\), leur somme vaut \(4a + 2 = 2(2a + 1)\), elle est donc paire ». Expliquer pourquoi sa démonstration ne prouve pas ce qu'il annonce.

   En notant les deux nombres avec la même lettre \(a\), Tom suppose qu'ils sont égaux : il ne traite que la somme d'un nombre impair avec lui-même, comme \(7 + 7\), et pas \(7 + 9\). Il faut deux lettres différentes : \(2a + 1\) et \(2a' + 1\), avec \(a\) et \(a'\) entiers.

   $$ (2a + 1) + (2a' + 1) = 2(a + a' + 1) $$
2. On change d'affirmation. Lina affirme : « la somme de trois nombres impairs est toujours paire ». Dire si elle a raison, puis démontrer la parité de cette somme.

   Un contre-exemple suffit : \(1 + 3 + 5 = 9\), qui est impair. Lina a tort. Dans le cas général, avec \(a\), \(a'\) et \(a''\) entiers :

   $$ (2a + 1) + (2a' + 1) + (2a'' + 1) = 2a + 2a' + 2a'' + 3 $$

   $$ (2a + 1) + (2a' + 1) + (2a'' + 1) = 2 \underbrace{(a + a' + a'' + 1)}_{\text{entier}} + 1 $$

   $$ \text{la somme de trois nombres impairs est impaire} $$

Les matchs d'un tournoi

Dans un tournoi de ping-pong à \(n\) joueurs, avec \(n \geqslant 2\), chaque joueur rencontre une fois chacun des autres. Le nombre de matchs est alors :

1. Calculer le nombre de matchs pour \(5\) joueurs, puis pour \(8\) joueurs.
   $$ \frac{5 \times 4}{2} = 10 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{8 \times 7}{2} = 28 $$

   $$ 10 \text{ matchs} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 28 \text{ matchs} $$
2. Un nombre de matchs doit être entier. Démontrer que, pour tout entier \(n\), le produit \(n(n - 1)\) est pair, en distinguant le cas où \(n\) est pair et celui où \(n\) est impair.

   Si \(n\) est pair, \(n = 2k\) avec \(k\) entier :

   $$ n(n - 1) = 2k(2k - 1) = 2 \underbrace{k(2k - 1)}_{\text{entier}} $$

   Si \(n\) est impair, \(n = 2k + 1\) avec \(k\) entier, et \(n - 1 = 2k\) :

   $$ n(n - 1) = (2k + 1) \times 2k = 2 \underbrace{k(2k + 1)}_{\text{entier}} $$

   $$ n(n - 1) \ \text{est pair, donc} \ M \ \text{est un entier} $$
3. L'affiche d'un club annonce un tournoi de ce type avec \(50\) matchs. Trancher : est-ce possible ?

   Il faudrait \(n(n - 1) = 100\). Or le produit \(n(n - 1)\) augmente avec \(n\), et :

   $$ 10 \times 9 = 90 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 11 \times 10 = 110 $$

   \(100\) est strictement entre les deux : aucun entier \(n\) ne convient. Avec \(10\) joueurs, il y a \(45\) matchs ; avec \(11\), \(55\).

   $$ \text{un tournoi de } 50 \text{ matchs est impossible} $$

Le tour des dominos

Un jeu de dominos compte \(28\) dominos : un pour chaque paire de nombres de \(0\) à \(6\), doubles compris. Dans une ligne, deux dominos voisins se touchent par deux moitiés qui portent le même nombre. Un magicien retire en cachette un domino qui n'est pas un double, fait aligner tous les autres en une seule ligne, puis annonce sans regarder les nombres des deux bouts.

1. Compter les moitiés qui portent le nombre \(4\) dans le jeu complet, puis celles qui portent chacun des autres nombres.

   Le \(4\) accompagne une fois chacun des six autres nombres, sur six dominos, et figure deux fois sur le double \(4\) :

   $$ 6 + 2 = 8 $$

   Le raisonnement est le même pour chacun des sept nombres.

   $$ 8 \ \text{moitiés pour chaque nombre} $$

   Vérification : \(7 \times 8 = 56\) moitiés en tout, soit bien \(28 \times 2\).

2. Prouver que, dans une ligne de dominos, chaque nombre apparaît un nombre pair de fois si l'on ne compte pas les deux moitiés des bouts. Vérifier sur la figure.

   Une moitié qui n'est pas à un bout touche exactement une moitié du domino voisin, et les deux portent le même nombre. Ces moitiés vont donc par paires de même nombre : un nombre présent dans \(p\) contacts apparaît \(2p\) fois.

   $$ \text{hors des bouts, chaque nombre apparaît un nombre pair de fois} $$

   Vérification : sur la figure, hors des bouts, le \(6\) apparaît \(4\) fois, le \(1\) et le \(4\) chacun \(2\) fois.

3. Le magicien a retiré le domino qui porte \(3\) et \(5\). Prouver que les deux bouts de la ligne portent \(3\) et \(5\).

   Dans les \(27\) dominos restants, le \(3\) et le \(5\) n'apparaissent plus que \(8 - 1 = 7\) fois, les autres nombres toujours \(8\) fois.

   Pour un nombre donné, on note \(e\) le nombre de bouts qui le portent : \(0\), \(1\) ou \(2\). D'après la question 2, ce nombre apparaît \(2p + e\) fois. Pour le \(3\), \(2p + e = 7\) est impair, donc \(e\) est impair : \(e = 1\). De même pour le \(5\). Un bout porte le \(3\), l'autre le \(5\), et il n'y a pas d'autre bout.

   $$ \text{les bouts portent } 3 \quad \text{et} \quad 5 $$

   Le tour réussit quel que soit l'ordre choisi pour la ligne : le magicien n'a qu'à se souvenir du domino retiré.

4. On passe à un jeu plus petit, qui s'arrête au double \(5\) : \(21\) dominos, avec les nombres de \(0\) à \(5\). Prouver qu'on ne peut pas aligner tous ces dominos en une seule ligne, puis trouver le plus petit nombre de dominos à retirer pour y parvenir.

   Impossible avec les \(21\) dominos : comme à la question 1, chaque nombre accompagne les cinq autres et figure deux fois sur son double, soit \(5 + 2 = 7\) apparitions. \(7\) est impair : d'après la question 3, chacun des six nombres devrait être porté par un bout. Il faudrait six bouts, et une ligne n'en a que deux.

   Un domino ne suffit pas : retirer un double enlève deux apparitions à un même nombre, et les six nombres restent impairs. Retirer un autre domino rend pairs les deux nombres qu'il porte, et en laisse quatre impairs : il faudrait encore quatre bouts.

   Deux dominos suffisent : en retirant le domino qui porte \(0\) et \(1\), puis celui qui porte \(2\) et \(3\), seuls le \(4\) et le \(5\) restent impairs. Cette ligne de \(19\) dominos va bien du \(4\) au \(5\) :

   $$ 2 \ \text{dominos à retirer} $$

Le défi des pompes

Pour un défi, on fait des pompes plusieurs jours de suite, au moins deux, avec chaque jour une pompe de plus que la veille. Un défi de \(k\) jours qui commence par \(a\) pompes en totalise :

La figure montre le défi de Léa : en bleu, les \(5\) pompes de son premier jour, refaites chaque jour ; en vert, les pompes ajoutées depuis.

1. Calculer le total de Léa en additionnant, puis vérifier la formule sur son défi.
   $$ 5 + 6 + 7 + 8 = 26 $$

   Léa a tenu \(k = 4\) jours en commençant par \(a = 5\) pompes :

   $$ N = \frac{4 \times (2 \times 5 + 4 - 1)}{2} = \frac{4 \times 13}{2} $$

   $$ N = 26 \ \text{pompes} $$

   Sur la figure : \(4 \times 5 = 20\) points bleus et \(1 + 2 + 3 = 6\) points verts.

2. Tom a fait \(100\) pompes en \(5\) jours : trouver combien il en a fait le premier jour. On change de sportif : Hugo affirme avoir fait \(100\) pompes en \(4\) jours. Prouver que c'est impossible.

   Pour Tom, \(k = 5\) :

   $$ \frac{5(2a + 4)}{2} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times 2} = 100 \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times 2} $$

   $$ 5(2a + 4) = 200 $$

   $$ \frac{5(2a + 4)}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{5}} = \frac{200}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{5}} $$

   $$ 2a \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 4} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 40 $$

   $$ 2a = 40 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 4} $$

   $$ 2a = 36 $$

   $$ \frac{2a}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} = \frac{36}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} $$

   $$ a = 18 \ \text{pompes} $$

   Vérification : \(18 + 19 + 20 + 21 + 22 = 100\).

   Pour Hugo, \(k = 4\) :

   $$ \frac{4(2a + 3)}{2} = 100 \iff 2(2a + 3) = 100 \iff 2a + 3 = 50 $$

   Or \(2a + 3 = 2(a + 1) + 1\) est impair, et \(50\) est pair : l'égalité est impossible, quel que soit l'entier \(a\).

   $$ \text{Hugo se trompe} $$
3. Trouver tous les défis qui totalisent \(100\) pompes, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre. On pourra montrer que \(k\) et \(2a + k - 1\) ne sont jamais de même parité, puis compléter le tableau.

   \(k\)	\(2\)	..........	..........	..........	..........
   \(2a + k - 1\)	\(100\)	..........	..........	..........	..........
   Même parité ?	oui	..........	..........	..........	..........
   \(a\)	impossible	..........	..........	..........	..........

   Des parités différentes : deux nombres pairs \(2m\) et \(2n\), ou deux nombres impairs \(2m + 1\) et \(2n + 1\), ont une différence paire, \(2(m - n)\). Or la différence \((2a + k - 1) - k = 2a - 1\) est impaire : \(k\) et \(2a + k - 1\) ne sont pas de même parité.

   Les valeurs de \(k\) : \(k(2a + k - 1) = 200\), donc \(k\) divise \(200\). Comme \(a \geqslant 1\), le second facteur est plus grand que \(k\) : \(k^2 < 200\), soit \(k \leqslant 14\). Les diviseurs de \(200\) de \(2\) à \(14\) sont \(2\), \(4\), \(5\), \(8\) et \(10\).

   \(k\)	\(2\)	\(4\)	\(5\)	\(8\)	\(10\)
   \(2a + k - 1\)	\(100\)	\(50\)	\(40\)	\(25\)	\(20\)
   Même parité ?	oui	oui	non	non	oui
   \(a\)	impossible	impossible	\(18\)	\(9\)	impossible

   Seuls \(k = 5\) et \(k = 8\) donnent des parités différentes, et alors \(a = \frac{1}{2} \left( \frac{200}{k} - k + 1 \right)\).

   $$ 5 \ \text{jours à partir de } 18 \ \text{pompes} \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} 8 \ \text{jours à partir de } 9 \ \text{pompes} $$

   Vérification : \(9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 100\).

4. Zoé vise un total de \(128\) pompes. Prouver qu'aucun défi ne convient, puis qu'aucun défi ne totalise une puissance de \(2\).

   Un défi de total \(N\) vérifie \(k(2a + k - 1) = 2N\). D'après la question 3, l'un des deux facteurs est impair ; il est aussi supérieur ou égal à \(2\), puisque \(k \geqslant 2\) et \(2a + k - 1 > k\). Le nombre \(2N\) a donc un diviseur impair supérieur ou égal à \(2\).

   Pour \(128\) : \(2N = 256 = 2^8\). Les diviseurs de \(2^8\) sont \(1\), \(2\), \(2^2\), …, \(2^8\) : le seul impair est \(1\). Aucun défi ne convient.

   Pour \(N = 2^p\) : \(2N = 2^{p + 1}\), dont la décomposition en facteurs premiers ne contient que des \(2\). La décomposition d'un diviseur en fait partie : ce diviseur est une puissance de \(2\), donc \(1\) ou un nombre pair. Aucun ne convient.

   $$ \text{aucun défi ne totalise une puissance de } 2 $$

   Vérification : les voisins de \(128\) sont atteints, avec \(127 = 63 + 64\) et \(129 = 42 + 43 + 44\).