Retour
Un nombre pair : \(P\)
On caractérise un nombre pair \(P\) de la façon suivante :
Un nombre pair : \(I\)
De la même manière, on caractérise un nombre impair \(I\) par :
L'addition des nombres pairs et impairs
-
Montrer que l'addition de deux nombres pairs donne un nombre pair.
Soient deux nombres pairs \((P_1, P_2)\), avec :
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} P_1 = 2a \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ P_2 = 2a' \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$Alors,
$$ P_1 + P_2 = 2a + 2a' $$En factorisant par 2, on a :
$$ P_1 + P_2 = 2 \underbrace{(a + a')} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} $$$$ P_1 + P_2 = 2 A \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$ -
Montrer que l'addition de deux nombres impairs donne un nombre pair.
Soient deux nombres impairs \((I_1, I_2)\), avec :
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} I_1 = 2a + 1 \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ I_2 = 2a' + 1 \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$Alors,
$$ I_1 + I_2 = 2a + 1 + 2a' + 1 $$$$ I_1 + I_2 = 2a + 2a' + 2 $$En factorisant par 2, on a :
$$ I_1 + I_2 = 2 \underbrace{(a + a' + 1)} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} $$$$ I_1 + I_2 = 2 A \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$ -
Enfin, montrer que l'addition d'un nombre impair et d'un nombre pair donne un nombre impair.
Soient un nombre pair \(P\) et un nombre impair \(I\), avec :
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} P = 2a \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ I = 2a' + 1 \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$Alors,
$$ P + I = 2a + 2a' + 1 $$En factorisant par 2, on a :
$$ P + I = 2 \underbrace{(a + a')} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} + 1 $$$$ P + I = 2 A + 1 \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$
Le produit des nombres pairs et impairs
-
Montrer que le produit de deux nombres pairs donne un nombre pair.
Soient deux nombres pairs \((P_1, P_2)\), avec :
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} P_1 = 2a \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ P_2 = 2a' \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$Alors,
$$ P_1 P_2 = 2a \times 2a' $$$$ P_1 P_2 = 2 \times \underbrace{2aa'} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} $$$$ P_1 P_2 = 2 A \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$ -
Montrer que le produit de deux nombres impairs donne un nombre impair.
Soient deux nombres impairs \((I_1, I_2)\), avec :
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} I_1 = 2a + 1 \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ I_2 = 2a' + 1 \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$Alors,
$$ I_1 I_2 = (2a + 1) \times (2a' + 1) $$$$ I_1 I_2 = 4aa' + 2a + 2a' + 1 $$En factorisant par 2, on a :
$$ I_1 I_2 = 2 \times \underbrace{(2aa' + a + a')} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} + 1 $$$$ I_1 I_2 = 2 A + 1 \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$ -
Enfin, montrer que le produit d'un nombre impair avec un nombre pair donne un nombre pair.
Soient un nombre pair \(P\) et un nombre impair \(I\), avec :
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} P = 2a \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ I = 2a' + 1 \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$Alors,
$$ PI = (2a) \times (2a' + 1) $$$$ PI = 4aa' + 2a $$En factorisant par 2, on a :
$$ PI = 2 \times \underbrace{(2aa' + a)} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} $$$$ PI = 2 A \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$
Les carrés des nombres pairs et impairs
Soit \(N \in \mathbb{Z}\) un nombre entier.
-
Les nombres pairs
-
Montrer que si un nombre est pair, alors le carré de ce nombre l'est aussi.
Si \(N\) est pair, alors :
$$ \exists a \in \mathbb{Z}, \ N = 2a $$Si l'on prend maintenant son carré, on obtient :
$$ N^2 = (2a)^2 $$En faisant le carré d'un produit, les carrés se distribuent :
$$ N^2 = \ 2^2a^2 $$$$ N^2 = \ 2 \times 2a^2 $$$$ N^2 = \ 2 \times \underbrace{2a^2} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z}\)} $$Le carré de \(P\) s'écrit donc finalement sous la forme :
$$N^2 = \ 2 A \qquad (avec \ A \in \mathbb{Z}) $$C'est donc un nombre pair , et on a montré que :
$$ N \ est \ pair \Longrightarrow N^2 \ est \ pair $$ -
Que peut-on en déduire en utilisant la contraposée de ce résultat ?
Indice : Lorsqu'on a réussi à montrer que pour deux propositions données \(P\) et \(Q\) :
$$ P \Longrightarrow Q $$$$ (Si \ P, \ alors \ Q) $$Il en resulte par sa contraposée que :
$$ non(Q) \Longrightarrow non(P) $$$$ (Si \ non(Q), \ alors \ non(P)) $$Comme on a réussi à montrer précédemment que pour tout nombre entier :
$$ \forall N \in \mathbb{Z}, $$$$ N \ est \ pair \Longrightarrow N^2 \ est \ pair $$Alors par contraposée :
$$ N^2 \ est \ impair \Longrightarrow N \ est \ impair $$
-
-
Les nombres impairs
-
Montrer que si un nombre est impair, alors le carré de ce nombre l'est aussi.
Si \(N\) est impair, alors :
$$ \exists a \in \mathbb{Z}, \ N = 2a + 1 $$Alors, si l'on prend son carré, on obtient :
$$ N^2 = (2a + 1)^2 $$On développe l'identité remarquable :
$$ N^2 = (2a)^2 + 2 \times 2a + 1^2 $$$$ N^2 = 4a^2 + 4a + 1 $$On peut factoriser une partie par 2 :
$$ N^2 = 2 \times \underbrace{(2a^2 + 2a)} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z}\)} + 1 $$Le carré de \(N\) s'écrit donc finalement sous la forme :
$$ N^2 = \ 2 A + 1 \qquad (avec \ A \in \mathbb{N}) $$C'est donc un nombre impair , et on a montré que :
$$ N \ est \ impair \Longrightarrow N^2 \ est \ impair $$ -
Exactement de la même manière que plus haut, que peut-on en déduire en utilisant la contraposée de ce résultat ?
Comme on a réussi à montrer précédemment que pour tout nombre entier :
$$ N \ est \ impair \Longrightarrow N^2 \ est \ impair $$Alors par contraposée :
$$ N^2 \ est \ pair \Longrightarrow N \ est \ pair $$
-
-
Équivalences
-
En combinant les quatre résultats obtenus, écrire les deux équivalences qui en découlent.
Indice : Lorsqu'on a réussi à montrer une première implication pour \(P\) et \(Q\) :
$$ P \Longrightarrow Q $$Et aussi sa réciproque :
$$ Q \Longrightarrow P $$Alors, il y a équivalence :
$$ P \Longleftrightarrow Q $$Cela veut dire qu'elles sont toutes les deux vraies (ou toutes les deux fausses) en même temps.
On a réussi à montrer les quatre implications suivantes :
$$ \forall N \in \mathbb{Z}, $$$$ N \ est \ pair \Longrightarrow N^2 \ est \ pair \qquad (1) $$$$ N^2 \ est \ pair \Longrightarrow N \ est \ pair \qquad (2) $$$$ N \ est \ impair \Longrightarrow N^2 \ est \ impair \qquad (3) $$$$ N^2 \ est \ impair \Longrightarrow N \ est \ impair \qquad (4) $$Les propositions \((1)\) et \((2)\) donnent :
$$ \forall N \in \mathbb{Z}, $$$$ N \ est \ pair \Longleftrightarrow N^2 \ est \ pair $$Et l propositions \((3)\) et \((4)\) donnent :
$$ \forall N \in \mathbb{Z}, $$$$ N \ est \ impair \Longleftrightarrow N^2 \ est \ impair $$
-