Règles générales de calcul élémentaire

On écrit désormais \(ab\) plutôt que \(a\times b\).

Grandes familles d'opérations

Les quatre opérations se rangent en deux familles.

1. Addition / soustraction : \(+ / -\)

   Une soustraction est l'addition d'un nombre négatif :

   $$ 1 - 3 = 1 + (-3)$$

   Leur élément neutre est 0 :

   $$\forall a \in \mathbb{R},$$
   $$ a + 0 = a $$

   $$ a - 0 = a $$
2. Multiplication / division : \(\times / \div\)

   Une division est la multiplication par l'inverse :

   $$ 3 \div 4 = 3 \times \frac{1}{4}$$

   Leur élément neutre est 1 :

   $$\forall a \in \mathbb{R},$$
   $$ a \times 1 = a $$

   $$ a \div 1 = a $$

   Attention : il est interdit de diviser par zéro.

Priorités opératoires

• Parenthèses : \( (... ) \)
• Multiplication / division : \(\times / \div\)
• Addition / soustraction : \(+ / -\)

Gestion des signes

1. Le signe d'un produit de deux facteurs

   - Deux facteurs de même signe donnent \((+)\)

   - Deux facteurs de signe différent donnent \((-)\)

   Signe	$$ (+) $$	$$ (-) $$
   $$ (+) $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$
   $$ (-) $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$

2. Plusieurs facteurs à la suite

   On compte les signes \(\textcolor{rgb(232 124 124)}{(-)}\) :

   • si ce nombre est impair, c'est \(\textcolor{rgb(232 124 124)}{(-)}\)

   • si ce nombre est pair, c'est \(\textcolor{rgb(93 183 129)}{(+)}\)

   On gère les signes à part.

   
   

   Exemple :

   $$ \left(-3\right) \times \left(-\frac{1}{5} \right) \times \left(-\frac{7}{2} \right) $$

   Trois signes \((-)\) : le résultat est négatif.

   $$ - 3 \times \frac{1}{5} \times \frac{7}{2} $$
3. Retirer une parenthèse avec un signe \((-)\) devant

   On enlève \((-)\) et les parenthèses, en changeant les signes à l'intérieur :

   $$ A = a -(b + c -d) $$
   $$ A = a -b -c + d $$
   
   

   Exemple :

   $$ A = 3 -(2 + 4 -6) $$

   $$ A = 3 -0 $$

   $$ A = 3 $$

   $$ A = 3 -2 -4 + 6 $$

   $$ A = 9 -6 $$

   $$ A = 3 $$

Développement / factorisation

1. Développement

   On développe de deux manières :

   1. Par une distributivité

      C'est le pendant de la factorisation par un facteur commun.

      $$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{k}(a+b) = \textcolor{rgb(93 183 129)}{k} a + \textcolor{rgb(93 183 129)}{k} b $$

      Puis la double distributivité :

      $$ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd $$

   2. Par une identité remarquable

      La première :

      $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \hspace{2em} (1^{ \text{ère}} \text{ id. rem.}) $$
      $$ (\text{fact.}) \hspace{0.8em} \longleftrightarrow\hspace{0.8em} (\text{dév.}) $$
      
      

      Exemple :

      $$ E = (3+4x)^2 $$
      $$ E = 3^2 + 2 \times 3 \times 4x + (4x)^2 $$
      $$ E = 3^2 + 24x + 16x^2 $$
      $$ E = 9 + 24x + 16x^2 $$
      
      

      La seconde change le signe du double produit :

      $$ (a \textcolor{rgb(93 183 129)}{-} b)^2 = a^2 \textcolor{rgb(93 183 129)}{-} 2ab + b^2 \hspace{2em} (2^{ \text{ème}} \text{ id. rem.}) $$
      $$ (\text{fact.}) \hspace{0.8em} \longleftrightarrow\hspace{0.8em} (\text{dév.}) $$

2. Factorisation

   1. En identifiant un facteur commun

      $$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{k} a + \textcolor{rgb(93 183 129)}{k} b = \textcolor{rgb(93 183 129)}{k}(a+b) $$
      $$ (\text{dév.}) \hspace{0.8em} \longleftrightarrow\hspace{0.8em} (\text{fact.}) $$
      
      

      Exemple :

      $$ 3xy + 6y = 3y \times (x + 2) $$
      
      

      Attention : s'il n'y a rien, il y a 1 (et non 0). Par exemple, un prix taxé :

      $$P_{TTC} = \ \underline{P_{HT}} \textcolor{rgb(157 171 234)}{\times \ 1} + \ \underline{P_{HT}} \times \ t$$

      \(P_{HT}\) est le facteur commun :

      $$P_{TTC} = \ \underline{P_{HT}} \times \ (\textcolor{rgb(157 171 234)}{1} + t)$$

      (avec 0 à la place de \(\textcolor{rgb(157 171 234)}{1}\), \(P_{HT}\) disparaîtrait)

   2. En identifiant une différence de carrés

      C'est la troisième identité remarquable.

      $$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \hspace{2em} (3^{ \text{ème}} \text{ id. rem.}) $$
      $$ (\text{dév.}) \hspace{0.8em} \longleftrightarrow\hspace{0.8em} (\text{fact.}) $$
      
      

      Exemple :

      $$ 81 - z^2 = (9-z)(9+z) $$

Fractions

Une fraction est composée d'un numérateur et d'un dénominateur:

1. Le produit en croix (ou règle de trois) s'écrit :

   $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$
   $$ \text{avec} \ \bigl((b, d) \neq 0\bigr) $$
   
   

   Technique : Tout nombre peut passer en diagonale (non nul s'il arrive au dénominateur).

   $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$

   $$ \frac{a}{b} \nearrow \frac{c}{d} \Longleftrightarrow a = \frac{bc}{d} $$

   $$ a \nwarrow \frac{bc}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$

   Pour une inconnue \(X \) :

   $$ \frac{X}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow X = \frac{bc}{d} $$
2. Multiplication de fractions

   On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

   $$ M = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \hspace{2em} \text{avec} \ \bigl((b, d) \neq 0\bigr) $$
   $$ M = \frac{a \times c}{b \times d} $$

   Pour multiplier deux fractions :

   $$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a c}{bd} \hspace{2em} (a, c \in \mathbb{Z} \quad \text{et} \quad b, d \in \mathbb{Z}^*) $$
   
   

   Exemple :

   $$ M = \frac{1}{7} \times \frac{3}{2} $$
   $$ M = \frac{3}{14} $$
3. Division de fractions
   $$ D = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} \hspace{2em} \text{avec} \ \bigl((b, c, d) \neq 0\bigr) $$
   $$ D = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} $$

   On multiplie par l'inverse :

   $$ D = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $$

   Pour diviser par une fraction :

   $$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \hspace{2em} (a \in \mathbb{Z} \quad \text{et} \quad b, c, d \in \mathbb{Z}^*) $$
   
   

   Exemple :

   $$ D = \frac{4}{5} \div \frac{7}{6} $$
   $$ D = \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} $$
   $$ D = \frac{24}{35} $$
4. Addition de fractions

   Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur.

   $$ A = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \hspace{2em} \text{avec} \ \bigl((b, d) \neq 0\bigr) $$
   $$ A = \frac{a}{b} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{d}{d}} + \frac{c}{d} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{b}{b}} $$
   $$ A = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} $$
   $$ A = \frac{ad + bc}{bd} \hspace{5em} (\text{factorisation}) $$

   Pour additionner deux fractions :

   $$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \hspace{2em} (a, c \in \mathbb{Z} \quad \text{et} \quad b, d \in \mathbb{Z}^*) $$
   
   

   Exemple :

   $$ A = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} $$
   $$ A = \frac{1}{3} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{4}{4}} - \frac{3}{4} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{3}{3}} $$
   $$ A = \frac{4}{12} - \frac{9}{12} $$
   $$ A = -\frac{5}{12} $$
5. Simplification de fractions

   On cherche à n'écrire que des produits de fractions :

   $$ S = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} \ ...\text{etc}. \hspace{2em} \text{avec} \ \bigl((b, d, f \ ...\text{etc}.) \neq 0\bigr) $$

   pour tout simplifier jusqu'à une forme irréductible.

   
   

   Exemple :

   $$ S = \frac{64}{45} \times \frac{81}{16} \times \frac{24}{9} $$

   On décompose :

   $$ S = \frac{8 \times 8}{5 \times 9} \times \frac{9 \times 9}{4 \times 4} \times \frac{4 \times 6}{9} $$
   $$ S = \frac{\cancel{4} \times 2 \times 8}{5 \times \cancel{9}} \times \frac{\cancel{9} \times 9}{\cancel{4} \times \cancel{4}} \times \frac{\cancel{4} \times 6}{\cancel{9}} $$
   $$ S = \frac{2 \times 8 \times 6}{5} $$
   $$ S = \frac{96}{5} $$

   Aide: Toutes ces écritures sont équivalentes.

   $$ S = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} \hspace{2em} \text{avec} \ \bigl((b, d, f) \neq 0\bigr) $$

   $$ S = \frac{a \times c \times e}{b \times d \times f} $$

   $$ S = \frac{a}{d} \times \frac{c}{b} \times e \times \frac{1}{f} $$

   Chaque nombre reste à sa place :

   • au numérateur : \(a, c, e\)

   • au dénominateur : \(b,d,f\)

Décomposition en facteurs premiers

Tout nombre entier \(N \geqslant 2\) s'écrit comme un produit de facteurs premiers.

Exemple :

Tous les autres nombres premiers sont à la puissance 0.

Un calcul qui rassemble tout

Exemple :

On gère d'abord les parenthèses.

Dans la parenthèse, on gère d'abord le produit.

Deux signes \((-)\) : le produit est positif.

Puis la soustraction, au même dénominateur.

On gère ensuite la division, par l'inverse.

Il reste des additions/soustractions de fractions, à mettre au même dénominateur :

1. soit on donne à chacun ce qu'il n'a pas :
   $$ \alpha = -\frac{10}{12} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{6 \times 7}{6 \times 7}} + \frac{5}{6} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{12 \times 7}{12 \times 7}} - \frac{6}{7} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{12 \times 6}{12 \times 6}} $$
   $$ \alpha = -\frac{420}{504} + \frac{420}{504} - \frac{432}{504} $$
   $$ \alpha = - \frac{432}{504} $$

   Puis on réduit :

   $$ \alpha = - \frac{\cancel{2} \times 216}{\cancel{2} \times 252} $$
   $$ \alpha = - \frac{\cancel{2} \times 108}{\cancel{2} \times 126} $$
   $$ \alpha = - \frac{\cancel{2} \times 54}{\cancel{2} \times 63} $$
   $$ \alpha = - \frac{\cancel{9} \times 6}{ \cancel{9} \times 7} $$
   $$ \alpha = - \frac{6}{7} $$
2. soit on cherche le plus petit dénominateur commun :

   Ici, 84.

   $$ \alpha = -\frac{10}{12} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{7}{7}} + \frac{5}{6} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{14}{14}} - \frac{6}{7} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{12}{12}} $$
   $$ \alpha = -\frac{70}{84} + \frac{70}{84} - \frac{72}{84} $$
   $$ \alpha = - \frac{72}{84} $$

   Puis on réduit :

   $$ \alpha = - \frac{\cancel{2} \times \cancel{6} \times 6}{\cancel{2} \times \cancel{6} \times 7} $$
   $$ \alpha = - \frac{6}{7} $$

   Le plus petit dénominateur commun évite de tout réduire après coup.