Problèmes sur le calcul élémentaire

Fête d'anniversaire

Pour mon anniversaire, j'ai prévu \(25\) bouteilles de soda et \(12\) gâteaux pour mes \(30\) invités.

J'apprends qu'un ami est né le même jour : nous organisons une fête commune, avec ses \(24\) invités en plus des miens.

Déterminer le nombre de bouteilles de soda et de gâteaux à prévoir pour cette fête commune, en gardant les mêmes quantités par personne.

La pièce variable

Dans une pièce carrée de côté \(a\), un architecte veut délimiter, dans un coin, une pièce carrée de côté \(x\). Le cahier des charges impose que l'aire de cette pièce, en vert, soit égale à l'aire du reste de la grande pièce, en bleu.

Exprimer \(x\) en fonction de \(a\) pour que ce souhait soit respecté.

Les gâteaux à partager

Pour une fête d'anniversaire, on prévoit \(4\) gâteaux. À la fin de la journée, il reste un tiers de ces gâteaux. Le lendemain, au petit-déjeuner, on mange les trois quarts de ce qui restait.

Calculer la quantité de gâteau qui reste alors.

Le testament

Après un décès, la famille applique les dernières volontés du défunt pour partager sa fortune :

• \(\frac{1}{8}\) de la fortune est reversé à la SPA ;
• \(\frac{1}{5}\) de la fortune est reversé à sa veuve ;
• le reste est partagé équitablement entre ses sept enfants.

Calculer la part de la fortune que reçoit chacun des enfants.

Le maître d'arts martiaux

Un maître d'arts martiaux dit un jour à son disciple : « Tu dois utiliser tes bras comme un fouet ! »

Pour comprendre cette phrase, le disciple étudie l'énergie cinétique d'un coup de poing :

Il essaie deux stratégies pour augmenter l'énergie de son coup de poing :

- se muscler le bras, ce qui augmente sa masse d'un tiers, mais divise sa vitesse d'exécution par \(2\) ;

- travailler uniquement la vitesse, qui double, la masse du bras restant la même.

1. Exprimer l'énergie obtenue avec chacune des deux stratégies en fonction de \(E_c = \frac{1}{2} m V^2\).

   Avec la première stratégie, la masse devient \(\frac{4}{3} m\) et la vitesse \(\frac{V}{2}\) :

   $$ E_1 = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} m \times \left( \frac{V}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} m \times \frac{V^2}{4} $$

   $$ E_1 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} m V^2 = \frac{1}{3} E_c $$

   Avec la seconde, la masse reste \(m\) et la vitesse devient \(2V\) :

   $$ E_2 = \frac{1}{2} m (2V)^2 = \frac{1}{2} m \times 4V^2 $$

   $$ E_2 = 4 \times \frac{1}{2} m V^2 = 4 E_c $$
2. Calculer le rapport entre la plus grande et la plus petite de ces deux mêmes énergies.
   $$ \frac{E_2}{E_1} = \frac{4 E_c}{\frac{1}{3} E_c} = 4 \times 3 $$

   $$ \frac{E_2}{E_1} = 12 $$

   L'énergie \(E_2\) est douze fois plus grande que l'énergie \(E_1\).

3. Dire ce que ces calculs apprennent sur la phrase du maître.

   La vitesse compte au carré dans l'énergie, la masse seulement une fois : doubler la vitesse multiplie l'énergie par \(4\), alors que la musculation, qui ralentit le geste, la divise par \(3\). Frapper vite, comme un fouet, est bien la meilleure stratégie.

Trouver l'erreur

1. Sam développe : \((x - 3)^2 = x^2 - 9\). Montrer que son égalité est fausse en choisissant une valeur de \(x\), puis développer correctement.

   Pour \(x = 1\) : \((1 - 3)^2 = 4\), alors que \(1^2 - 9 = - 8\). L'égalité est fausse. Sam a oublié le double produit de l'identité \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) :

   $$ (x - 3)^2 = x^2 - 2 \times x \times 3 + 3^2 $$

   $$ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 $$
2. On passe à une factorisation. Inès écrit : \(4x^2 - 25 = (4x - 5)(4x + 5)\). Vérifier son résultat en le développant, puis corriger la factorisation.
   $$ (4x - 5)(4x + 5) = 16x^2 - 25 \neq 4x^2 - 25 $$

   Inès a pris \(4x\) pour la racine de \(4x^2\). Or \(4x^2 = (2x)^2\) et \(25 = 5^2\) : on applique \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

   $$ 4x^2 - 25 = (2x - 5)(2x + 5) $$
3. Sans calculatrice, calculer \(101^2\) puis \(99 \times 101\), en choisissant à chaque fois l'identité remarquable qui convient.

   \(101 = 100 + 1\) : on applique \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

   $$ 101^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10 \ 000 + 200 + 1 $$

   $$ 101^2 = 10 \ 201 $$

   \(99 \times 101 = (100 - 1)(100 + 1)\) : on applique \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\).

   $$ 99 \times 101 = 100^2 - 1^2 = 10 \ 000 - 1 $$

   $$ 99 \times 101 = 9 \ 999 $$

L'allée autour de la piscine

Une piscine carrée de côté \(x\), en mètres, est entourée d'une allée dallée de \(1 \ \text{m}\) de large, en vert sur le schéma, qui n'est pas à l'échelle.

1. Démontrer que l'aire de l'allée, en \(\text{m}^2\), vaut \(A(x) = 4x + 4\).

   Le grand carré, piscine et allée comprises, a pour côté \(x + 2\) : l'allée ajoute \(1 \ \text{m}\) de chaque côté. L'aire de l'allée est la différence des deux carrés :

   $$ A(x) = (x + 2)^2 - x^2 $$

   $$ A(x) = x^2 + 4x + 4 - x^2 $$

   $$ A(x) = 4x + 4 $$
2. Le propriétaire a acheté \(48 \ \text{m}^2\) de dalles. Déterminer le côté de la piscine qui utilise exactement toutes ces dalles.

   On résout \(A(x) = 48\) :

   $$ 4x \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 4} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 48 $$

   $$ 4x = 48 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 4} $$

   $$ 4x = 44 $$

   $$ \frac{4x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} = \frac{44}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} $$

   $$ x = 11 \ \text{m} $$
3. Le propriétaire hésite à élargir l'allée à \(2 \ \text{m}\). Son voisin affirme : « l'allée sera deux fois plus large, il te faudra deux fois plus de dalles ». Trancher, pour une piscine de côté \(x\) quelconque.

   Avec une allée de \(2 \ \text{m}\), le grand carré a pour côté \(x + 4\). On factorise la différence de deux carrés :

   $$ B(x) = (x + 4)^2 - x^2 = \bigl( (x + 4) - x \bigr) \bigl( (x + 4) + x \bigr) = 4(2x + 4) $$

   $$ B(x) = 8x + 16 $$

   On compare avec le double de l'aire de départ :

   $$ B(x) - 2A(x) = 8x + 16 - (8x + 8) = 8 $$

   $$ \text{le voisin a tort : il faut toujours } 8 \ \text{m}^2 \text{ de plus que le double} $$

   Ce sont les quatre coins de l'allée qui grandissent plus vite que les bords : ils passent de \(1 \ \text{m}^2\) à \(4 \ \text{m}^2\) chacun.

La case en trop

On découpe un carré de \(8\) cases sur \(8\) en deux trapèzes bleus et deux triangles verts, puis on réassemble ces quatre pièces en un rectangle de \(5\) cases sur \(13\).

1. Compter les cases du carré, puis celles du rectangle. Trancher : les pièces du rectangle s'emboîtent-elles exactement le long de sa diagonale ? On pourra comparer \(\frac{3}{8}\) et \(\frac{5}{13}\).
   $$ 8 \times 8 = 64 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 5 \times 13 = 65 $$

   Le grand côté d'un triangle vert monte de \(3\) cases sur \(8\) ; la diagonale du rectangle monte de \(5\) cases sur \(13\). On compare ces deux rapports au même dénominateur :

   $$ \frac{3}{8} = \frac{39}{104} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{5}{13} = \frac{40}{104} $$

   Le grand côté du triangle vert du bas monte moins vite que la diagonale : il passe juste en dessous. Le côté penché du trapèze bleu du haut monte de \(2\) cases sur \(5\), plus vite que la diagonale, puisque \(\frac{2}{5} = \frac{26}{65}\) et \(\frac{5}{13} = \frac{25}{65}\) : il passe juste au-dessus. Entre les deux reste une fente très fine, invisible à l'œil.

   $$ \text{non : la case en trop est la fente le long de la diagonale} $$
2. On découpe de la même façon un carré de côté \(a + b\), avec \(a > b\) : les trapèzes ont des côtés parallèles de longueurs \(a\) et \(b\) et une hauteur \(a\), les triangles des côtés de l'angle droit de longueurs \(a + b\) et \(b\). Exprimer les dimensions du rectangle obtenu, puis démontrer que son aire dépasse celle du carré de \(a^2 - ab - b^2\).

   Sur la figure, \(a = 5\) et \(b = 3\). Le rectangle a pour hauteur \(a\), et pour longueur celle d'un triangle, \(a + b\), plus celle d'un trapèze, \(a\) :

   $$ a(2a + b) - (a + b)^2 = 2a^2 + ab - (a^2 + 2ab + b^2) $$

   $$ a(2a + b) - (a + b)^2 = 2a^2 + ab - a^2 - 2ab - b^2 $$

   $$ a(2a + b) - (a + b)^2 = a^2 - ab - b^2 $$

   Vérification : \(25 - 15 - 9 = 1\) pour la figure. Avec \(a = 8\) et \(b = 5\), \(64 - 40 - 25 = -1\) : le rectangle de \(8\) sur \(21\) a une case de moins que le carré de \(13\) sur \(13\), \(168\) contre \(169\).

3. Le grand côté d'un triangle monte de \(b\) sur \(a + b\), le côté penché d'un trapèze de \(a - b\) sur \(a\). Démontrer que l'écart entre ces deux rapports vaut \(\frac{a^2 - ab - b^2}{a(a + b)}\), puis calculer cet écart pour la figure et pour un carré de \(21\) cases de côté, avec \(a = 13\) et \(b = 8\).

   On réduit au même dénominateur \(a(a + b)\) :

   $$ \frac{a - b}{a} - \frac{b}{a + b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a(a + b)} - \frac{ab}{a(a + b)} $$

   $$ \frac{a - b}{a} - \frac{b}{a + b} = \frac{a^2 - ab - b^2}{a(a + b)} $$

   Pour la figure, puis pour le carré de \(21\) cases, où \(169 - 104 - 64 = 1\) :

   $$ \frac{1}{5 \times 8} = \frac{1}{40} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{1}{13 \times 21} = \frac{1}{273} $$

   Les deux découpes laissent une case d'écart, mais la seconde cache mieux sa fente : les deux côtés y sont presque alignés.

4. Prouver qu'aucun choix de nombres entiers \(a\) et \(b\) ne donne des pièces qui s'emboîtent exactement. On pourra supposer la fraction \(\frac{a}{b}\) irréductible, puis raisonner sur la parité de \(a\) et de \(b\).

   D'après les questions 2 et 3, les pièces s'emboîtent exactement quand \(a^2 - ab - b^2 = 0\).

   On se ramène à une fraction irréductible : si \(a\) et \(b\) ont \(g\) pour plus grand diviseur commun, on écrit \(a = ga'\) et \(b = gb'\). Alors \(a^2 - ab - b^2 = g^2(a'^2 - a'b' - b'^2)\), qui est nul si et seulement si \(a'^2 - a'b' - b'^2\) l'est. On peut donc supposer \(\frac{a}{b}\) irréductible : \(a\) et \(b\) ne sont pas tous les deux pairs.

   Trois cas : si \(a\) et \(b\) sont impairs, \(a^2\), \(ab\) et \(b^2\) sont impairs, et impair moins impair moins impair donne un impair. Si \(a\) est impair et \(b\) pair, \(a^2\) est impair, \(ab\) et \(b^2\) sont pairs. Si \(a\) est pair et \(b\) impair, seul \(b^2\) est impair. Dans les trois cas, un seul des trois termes est impair, ou les trois : \(a^2 - ab - b^2\) est impair.

   $$ a^2 - ab - b^2 \ \text{est impair, donc jamais nul} $$

Les frites maison

Plus l'huile touche de surface, plus les frites cuisent vite. On taille une pomme de terre en un pavé de \(8 \ \text{cm}\) sur \(6 \ \text{cm}\) sur \(6 \ \text{cm}\), puis on le coupe en \(n^2\) frites de section carrée, sur toute sa longueur. La figure montre la découpe pour \(n = 3\), avec une frite en bleu.

1. Calculer la surface du pavé, puis la surface totale des \(36\) frites obtenues pour \(n = 6\). Par combien la surface a-t-elle été multipliée ?

   Le pavé a deux faces carrées de \(6 \ \text{cm}\) de côté et quatre faces de \(8 \ \text{cm}\) sur \(6 \ \text{cm}\) :

   $$ 2 \times 6^2 + 4 \times 8 \times 6 = 72 + 192 = 264 \ \text{cm}^2 $$

   Pour \(n = 6\), chaque frite a une section de \(1 \ \text{cm}\) sur \(1 \ \text{cm}\) et une longueur de \(8 \ \text{cm}\) :

   $$ 36 \times \bigl( 2 \times 1^2 + 4 \times 8 \times 1 \bigr) = 36 \times 34 = 1 \ 224 \ \text{cm}^2 $$

   $$ 264 \ \text{cm}^2 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 1 \ 224 \ \text{cm}^2 \text{, soit environ } 4{,}6 \text{ fois plus} $$
2. Démontrer que, pour tout entier \(n \geqslant 1\), la surface totale des \(n^2\) frites vaut \(S(n) = 192n + 72\), en \(\text{cm}^2\).

   Le côté de la section d'une frite vaut \(\frac{6}{n}\). Une frite a deux faces carrées et quatre faces longues :

   $$ 2 \times \left( \frac{6}{n} \right)^2 + 4 \times 8 \times \frac{6}{n} = \frac{72}{n^2} + \frac{192}{n} $$

   On multiplie par le nombre de frites, \(n^2\) :

   $$ S(n) = n^2 \times \frac{72}{n^2} + n^2 \times \frac{192}{n} $$

   $$ S(n) = 192n + 72 $$

   Vérification : \(S(1) = 264\), la surface du pavé, et \(S(6) = 1 \ 152 + 72 = 1 \ 224\).

3. Léa affirme : « Des frites deux fois plus fines offrent deux fois plus de surface. » Trancher, en comparant \(S(2n)\) à \(2S(n)\) par leur différence, puis par leur rapport.

   Diviser l'épaisseur par \(2\), c'est passer de \(n\) à \(2n\) :

   $$ S(2n) - 2S(n) = 384n + 72 - (384n + 144) = -72 $$

   Pour le rapport, on fait apparaître \(2\) au numérateur :

   $$ \frac{S(2n)}{S(n)} = \frac{2(192n + 72) - 72}{192n + 72} = 2 - \frac{72}{192n + 72} $$

   $$ \text{Léa a tort : il manque toujours } 72 \ \text{cm}^2 \text{ pour doubler la surface} $$

   Le rapport reste inférieur à \(2\), mais s'en approche quand \(n\) grandit : les deux petites faces carrées de chaque frite comptent de moins en moins.

4. On coupe enfin les frites en travers, en \(m\) morceaux de même longueur. On garde les morceaux serrés : chaque coup de couteau traverse tout le pavé. Démontrer que la surface totale vaut \(192n + 72m\), puis trouver le plus petit nombre de coups de couteau qui multiplie la surface du pavé par \(5\) au moins, et prouver qu'on ne peut pas faire mieux. On pourra compléter le tableau.

   \(n\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
   Plus petit \(m\)	\(16\)	.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....
   Coups de couteau	\(15\)	.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....

   La surface : les \(n^2 m\) morceaux ont une section de côté \(\frac{6}{n}\) et une longueur de \(\frac{8}{m}\) :

   $$ n^2 m \left( 2 \times \frac{36}{n^2} + 4 \times \frac{8}{m} \times \frac{6}{n} \right) = 72m + 192n $$

   Les coups de couteau : il en faut \(n - 1\) dans un sens, \(n - 1\) dans l'autre, puis \(m - 1\) en travers, soit \(2n + m - 3\). La surface doit atteindre \(5 \times 264 = 1 \ 320 \ \text{cm}^2\) :

   $$ 192n + 72m \geqslant 1 \ 320 \iff 8n + 3m \geqslant 55 $$

   Pour chaque \(n\), on cherche le plus petit entier \(m \geqslant 1\) tel que \(3m \geqslant 55 - 8n\) :

   \(n\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
   Plus petit \(m\)	\(16\)	\(13\)	\(11\)	\(8\)	\(5\)	\(3\)	\(1\)	\(1\)
   Coups de couteau	\(15\)	\(14\)	\(14\)	\(13\)	\(12\)	\(12\)	\(12\)	\(14\)

   Pour \(n \geqslant 8\), il faut déjà \(2(n - 1) \geqslant 14\) coups dans les deux premiers sens. Aucune découpe ne descend donc sous \(12\) coups.

   $$ 12 \ \text{coups de couteau} $$

   Vérification : pour \(n = 5\) et \(m = 5\), la surface vaut \(960 + 360 = 1 \ 320 \ \text{cm}^2\), exactement \(5\) fois celle du pavé.