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L'ensemble des entiers naturels : \(\mathbb{N}\)
C'est l'ensemble des entiers positifs .
L'ensemble des entiers relatifs : \(\mathbb{Z}\)
C'est l'ensemble des entiers, positifs ou négatifs .
L'ensemble des nombres décimaux : \(\mathbb{D}\)
C'est l'ensemble des nombres à virgules écrits sous forme finie .
Un nombre décimal \(d\) s'écrit sous la forme :
L'ensemble des nombres rationnels : \(\mathbb{Q}\)
C'est l'ensemble des nombres s'écrivant sous forme de fraction irréductible .
Un nombre rationnel \(q\) s'écrit sous la forme :
L'ensemble des nombres réels : \(\mathbb{R}\)
C'est l'ensemble de tous les nombres qui existent .
Par rapport à l'ensemble des rationnels précédent qui représente déjà beaucoup de nombres, on y ajoute les irrationnels .
Un irrationnel est, comme son nom l'indique, un nombre qu'on ne peut classer nulle part. Ce sont des nombres dont les chiffres après la virgule ne prennent jamais fin . On peut dire en quelque sorte que ce sont des concepts, que l'on peut utiliser mais sans jamais les calculer avec une infime précision. En voici quelques exemples :
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Nombre
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Valeur
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Explication
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|---|---|---|
$$ \sqrt{2} $$ |
$$ \approx 1.414... $$ |
C'est le nombre qui, lorsqu'on le met au carré fait 2 |
$$ \pi $$ |
$$ \approx 3.141... $$ |
C'est le rapport du périmètre d'un cercle sur son diamètre |
$$ \phi $$ |
$$ \approx 1.618... $$ |
On l'appelle aussi nombre d'or, ou rapport divin. Il est issu de la suite de Fibonacci : $$ F = \Bigl \{ 1, \ 1, \ 2,\ 3, \ 5, \ 8, \ 13, \ 21... etc\Bigr \} $$
On l'obtient en divisant un nombre par le nombre précédent. Plus on les prend loin dans la suite, et plus on s'approche de \(\phi\). |
$$ e $$ |
$$ \approx 2.718... $$ |
Son nom a été donné en référence au mathématicien Euler. Beaucoup utilisé dans le calcul différentiel, c'est un nombre permettant d'obtenir une fonction exponentielle \((e^x)\), dont la dérivée est égale à la fonction de départ. Ce qui rend ce nombre unique en son genre. |
Inclusions des ensembles entre eux
Chaque ensemble contient tous les ensembles précédents :
Exemples :
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Un nombre entier est nécessairement un nombre rationnel.
Par exemple, le nombre \( 22 \in \mathbb{N}\) et aussi \(22 \in \mathbb{Q}\) car il peut s'écrire \(\frac{22}{1}\)
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Mais un nombre rationnel n'est pas nécessairement un nombre entier.
Notations des ensembles
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Un ensemble ordinaire : \(\mathbb{E}\)
On note un ensemble \(\mathbb{E}\) composée des nombres \( n_1, \ n_2, \ n_3 \ ... etc\) :
$$ \mathbb{E} = \Bigl \{ n_1, \ n_2, \ n_3 \ ... etc\Bigr \} $$ -
Exclusions
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Exclusions d'ensembles
Pour écrire un ensemble \(\mathbb{F}\) où on exclut l'ensemble \(\mathbb{E_2}\) d'un un ensemble \(\mathbb{E_1}\), on note :
$$ \mathbb{F} = \mathbb{E_1} \ \backslash \hspace{0.01em} \bigl \{ \mathbb{E_2} \bigr \} $$
Exemple : les irrationnels se notent \( \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \hspace{0.01em} \bigl \{ \mathbb{Q} \bigr \} \Bigr]\).
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Exclusions de valeurs
On peut aussi uniquement exclure des valeurs :
Exemple : l'ensemble des réels privé de 0.
$$ \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \ \backslash \hspace{0.01em} \bigl \{ 0 \bigr \} $$
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Unions/intersections
Considérons deux ensembles disjoints \(A\) et \(B\) :
Maintenant, si l'on met une de leur partie en commun, ils deviennent non disjoints, et on peut étudier :
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leur intersection
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leur union
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Intersection de deux ensembles : \(A \cap B\)
L'intersection de ces deux ensembles donne \(A \cap B\) :
Intersection de deux ensembles C'est la partie commune aux deux ensembles.
Exemple :
$$ \mathbb{E_1} \cap \mathbb{E_2} = \Bigl \{0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5 \Bigr \} \cap \Bigl \{ 1, \ 3, \ 5, \ 7 \Bigr \} = \Bigl \{1, \ 3, \ 5 \Bigr \} $$ -
Union de deux ensembles : \(A \cup B\)
Maintenant, un élément compris dans l'union des deux ensembles est soit dans l'un, soit dans l'autre, soit dans l'intersection des deux .
Pour ne pas compter deux fois l'intersection \((A \cap B)\), on fait en sorte de n'en avoir plus qu'une seule.
$$ A \cup B = \Bigl[ A \ \backslash (A \cap B) \Bigr] + (A \cap B) + \Bigl[ B \ \backslash (A \cap B) \Bigr] $$
Union de deux ensembles