Les équations et inéquations en seconde

Quelques formes à reconnaître et deux règles pour les traiter : chaque problème se ramène à une résolution connue.

Résoudre une équation du premier degré
Résoudre une équation produit nul et une équation quotient
Résoudre une inéquation du premier degré, en retournant le sens si besoin
Dresser un tableau de signes pour résoudre une inéquation produit ou quotient
Traduire un problème par une inéquation et conclure dans le contexte

Une course de taxi coûte $4 \ \text{€}$ de prise en charge, puis $1.20 \ \text{€}$ par kilomètre. On a $20 \ \text{€}$ en poche.

« Quelle distance coûte exactement $20 \ \text{€}$ ? » demande une équation ; « jusqu'où peut-on aller ? » demande une inéquation.

$$ 4 + 1.2x = 20 \hspace{3em} 4 + 1.2x \leqslant 20 $$

La première n'a qu'une solution, la seconde tout un intervalle : $13.3 \ \text{km}$ au plus.

Une équation, une inéquation

Une équation est une égalité qui n'est vraie que pour certaines valeurs de l'inconnue ; une inéquation, la même chose avec une inégalité.

Résoudre, c'est en donner l'ensemble des solutions, noté $\mathcal{S}$.

On résout grâce à deux règles :

Ajouter un même nombre aux deux membres, ou les multiplier par un même nombre non nul, ne change pas les solutions

Pour une inéquation, un facteur négatif retourne le sens de l'inégalité.

L'équation du premier degré

Une équation du premier degré se ramène à $ax + b = 0$, avec $a$ et $b$ deux réels.

$$ ax + b = 0 \iff x = - \frac{b}{a} \hspace{2em} (a \in \mathbb{R}^*) $$

Si $a = 0$ : $\mathcal{S} = \varnothing$ quand $b \neq 0$, $\mathcal{S} = \mathbb{R}$ sinon.

Résolvons l'équation :

$$ 5x \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 3} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{2x} + 9 $$

$$ 5x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 2x} = 9 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 3} $$

$$ 3x = 12 $$

$$ \frac{3x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{3}} = \frac{12}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{3}} $$

$$ x = 4 $$

$$ \mathcal{S} = \Bigl\{ 4 \Bigr\} $$

Un terme qui change de membre change de signe ; en vert, le facteur appliqué aux deux membres.

L'équation produit nul

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est.

$$ A(x) \times B(x) = 0 \iff A(x) = 0 \quad \text{ou} \quad B(x) = 0 $$

Résolvons $(2x - 3)(x + 5) = 0$ :

$$ 2x - 3 = 0 \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} x + 5 = 0 $$

$$ \mathcal{S} = \left\{ - 5 \ ; \ \frac{3}{2} \right\} $$

Si le second membre n'est pas nul, on ramène d'abord tout dans un même membre.

L'équation quotient

Le dénominateur ne doit pas s'annuler : on écrit d'abord l'ensemble de définition de l'équation.

$$ \frac{A(x)}{B(x)} = k \iff A(x) = k \times B(x) \hspace{2em} (B(x) \neq 0) $$

Pour $k = 0$, un quotient est nul si et seulement si son numérateur l'est.

$$ \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \iff A(x) = 0 \quad \text{et} \quad B(x) \neq 0 $$

Résolvons $\frac{x - 1}{x + 2} = 3$ : le dénominateur s'annule en $- 2$, donc $D = \mathbb{R} \setminus \{ - 2 \}$.

$$ \frac{x - 1}{x + 2} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ (x + 2)} = 3 \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ (x + 2)} $$

$$ x \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 1} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{3x} + 6 $$

$$ x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 3x} = 6 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 1} $$

$$ - 2x = 7 $$

$$ \frac{- 2x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 2}} = \frac{7}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 2}} $$

$$ x = - \frac{7}{2} $$

$- \frac{7}{2}$ appartient à $D$ : c'est une solution.

$$ \mathcal{S} = \left\{ - \frac{7}{2} \right\} $$

L'inéquation du premier degré

Multiplier ou diviser par un nombre positif conserve le sens, par un nombre négatif le retourne.

$$ a \leqslant b \iff ka \geqslant kb \hspace{2em} (k \in \mathbb{R}^*_-) $$

On en déduit :

$$ ax + b \leqslant 0 \iff x \leqslant - \frac{b}{a} \hspace{2em} (a \in \mathbb{R}^*_+) $$

Résolvons l'inéquation :

$$ - 3x \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 7} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{>} 1 $$

$$ - 3x > 1 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 7} $$

$$ - 3x > - 6 $$

$$ \frac{- 3x}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{- 3}} \ \underbrace{\textcolor{rgb(232 124 124)}{<}}_{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\text{le sens change}}} \ \frac{- 6}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{- 3}} $$

$$ x < 2 $$

$$ \mathcal{S} = \Bigl] - \infty \ ; \ 2 \Bigr[ $$

Deux inégalités de même sens s'ajoutent membre à membre - mais ne se soustraient pas.

$$ a \leqslant b \quad \text{et} \quad c \leqslant d \implies a + c \leqslant b + d $$

Les intervalles sont détaillés dans le cours Les relations d'ordre et intervalles.

Le tableau de signes

Pour un produit ou un quotient, on étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes.

Une expression du premier degré est du signe de $a$ après sa racine, et du signe contraire avant

Résolvons $\frac{2x - 6}{x + 1} \leqslant 0$ : le numérateur s'annule en $3$, le dénominateur en $- 1$.

Forbidden value — la double barre marque la valeur interdite

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ - 1 $$		$$ 3 $$		$$ +\infty $$
$$ 2x - 6 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ x + 1 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ \frac{2x - 6}{x + 1} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$		$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$

Le quotient est négatif entre $- 1$ et $3$, et nul en $3$ :

$$ \mathcal{S} = \Bigl] - 1 \ ; \ 3 \Bigr] $$

$- 1$ est exclu, $3$ est inclus.

Voir la méthode Dresser un tableau de signes.

Modéliser un problème par une inéquation

« Au plus », « au moins », « à partir de » : l'énoncé demande une inéquation. On nomme l'inconnue avec son unité, on traduit, on résout, puis on conclut dans le contexte.

Un abonnement de salle coûte $19 \ \text{€}$ par mois, la séance à l'unité $6 \ \text{€}$. À partir de combien de séances mensuelles l'abonnement devient-il plus avantageux ?

Soit $n$ le nombre de séances dans le mois. L'abonnement est plus avantageux lorsque :

$$ 19 < 6n $$

$$ \frac{19}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{6}} < \frac{6n}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{6}} $$

$$ n > \frac{19}{6} \simeq 3.17 $$

$n$ est entier : l'abonnement est plus avantageux à partir de $4$ séances par mois.