Les équations et inéquations en seconde

Une équation, une inéquation

Une équation

Une équation est une égalité qui n'est vraie que pour certaines valeurs de l'inconnue.

Résoudre une équation, c'est en donner l'ensemble des solutions, noté $\mathcal{S}$.

Une inéquation

Une inéquation est la même chose avec une inégalité à la place de l'égalité.

Son ensemble de solutions n'est presque jamais une liste de nombres : c'est un intervalle, ou une réunion d'intervalles.

Deux équations sont dites équivalentes lorsqu'elles ont exactement le même ensemble de solutions. Résoudre, c'est passer d'équivalence en équivalence jusqu'à une écriture où les solutions se lisent.

On ne perd ni ne gagne de solution en ajoutant un même nombre aux deux membres, ni en les multipliant par un même nombre non nul.

L'équation du premier degré

Une équation du premier degré est une équation qui se ramène à $ax + b = 0$, avec $a$ et $b$ deux réels.

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}, $$

$$ ax + b = 0 \iff x = - \frac{b}{a} $$

L'équation n'a donc qu'une seule solution dès que $a \neq 0$.

Les deux cas particuliers, quand $a = 0$ :

si $b \neq 0$, l'égalité $0 = b$ est fausse : $\mathcal{S} = \varnothing$
si $b = 0$, l'égalité $0 = 0$ est toujours vraie : $\mathcal{S} = \mathbb{R}$

Résolvons $5x - 3 = 2x + 9$ :

$$ 5x - 3 = 2x + 9 $$

$$ 3x = 12 $$

$$ x = 4 \hspace{2em} \mathcal{S} = \{ 4 \} $$

L'équation produit nul

C'est le seul cas où un produit se laisse résoudre directement, et il vient d'une propriété des réels : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est.

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$ A(x) \times B(x) = 0 \iff A(x) = 0 \ \text{ou} \ B(x) = 0 $$

L'équation produit nul

Le sens direct est le seul à démontrer, l'autre étant immédiat : si l'un des facteurs est nul, le produit l'est aussi.

Supposons donc que $A(x) \times B(x) = 0$, et que $A(x) \neq 0$.

Comme $A(x)$ est un réel non nul, il admet un inverse. En multipliant les deux membres par cet inverse :

$$ \frac{1}{A(x)} \times A(x) \times B(x) = \frac{1}{A(x)} \times 0 $$

$$ B(x) = 0 $$

Si $A(x)$ n'est pas nul, alors $B(x)$ l'est : l'un des deux facteurs est donc toujours nul.

Résolvons $(2x - 3)(x + 5) = 0$ :

$$ 2x - 3 = 0 \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} x + 5 = 0 $$

$$ \mathcal{S} = \left\{ - 5 \ ; \ \frac{3}{2} \right\} $$

Un produit égal à un autre nombre que zéro ne se résout pas ainsi : il faut d'abord tout ramener dans le même membre pour retrouver un zéro.

L'équation quotient

Un quotient n'existe que si son dénominateur n'est pas nul. Avant toute chose, on écrit donc l'ensemble de définition de l'équation.

$$ \forall (x,k) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \ B(x) \neq 0, $$

$$ \frac{A(x)}{B(x)} = k \iff A(x) = k \times B(x) $$

Le cas $k = 0$ est celui qu'on rencontre le plus, et il se dit d'un mot : un quotient est nul si et seulement si son numérateur l'est, le dénominateur restant non nul.

$$ \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \iff A(x) = 0 \ \text{et} \ B(x) \neq 0 $$

Résolvons $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 3$ :

Le dénominateur s'annule en $- 2$, donc $D = \mathbb{R} \setminus \{ - 2 \}$.

$$ x - 1 = 3(x + 2) $$

$$ x - 1 = 3x + 6 $$

$$ - 2x = 7 $$

$$ x = - \frac{7}{2} \hspace{2em} \mathcal{S} = \left\{ - \frac{7}{2} \right\} $$

La valeur trouvée appartient bien à $D$ : elle est donc solution. Si elle en avait été exclue, il aurait fallu la rejeter.

L'ordre et les opérations

Tout ce qui suit repose sur deux règles, et sur elles seules. Elles disent ce qu'une opération fait à une inégalité.

La somme de deux inégalités de même sens

$$ \forall (a,b,c,d) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^4, $$

$$ a \leqslant b \ \text{et} \ c \leqslant d \implies a + c \leqslant b + d $$

La différence, elle, ne se fait pas membre à membre : de $2 \leqslant 3$ et $1 \leqslant 10$ on ne tire rien sur $2 - 1$ et $3 - 10$.
Le produit par un réel

Le sens de l'inégalité est conservé par un facteur positif, et renversé par un facteur négatif.

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \ \forall k \in \mathbb{R}^*_+, $$

$$ a \leqslant b \iff ka \leqslant kb $$

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \ \forall k \in \mathbb{R}^*_-, $$

$$ a \leqslant b \iff ka \geqslant kb $$

Le renversement par un facteur négatif

Partons de $a \leqslant b$, c'est-à-dire de $b - a \geqslant 0$.

Soit $k$ un réel strictement négatif. Le produit d'un nombre positif par un nombre négatif est négatif, donc :

$$ k(b - a) \leqslant 0 $$

$$ kb - ka \leqslant 0 $$

$$ kb \leqslant ka $$

L'inégalité de départ a bien changé de sens.

L'inéquation du premier degré

On la résout comme une équation, à une vigilance près : à chaque division par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+ \times \mathbb{R}, $$

$$ ax + b \leqslant 0 \iff x \leqslant - \frac{b}{a} \hspace{2em} \mathcal{S} = \left] - \infty \ ; \ - \frac{b}{a} \right] $$

Résolvons $- 3x + 7 > 1$ :

$$ - 3x > - 6 $$

On divise par $- 3$, qui est négatif : l'inégalité change de sens.

$$ x < 2 \hspace{2em} \mathcal{S} = \left] - \infty \ ; \ 2 \right[ $$

Le crochet se ferme sur une inégalité large, et s'ouvre sur une inégalité stricte. Les intervalles et leur notation sont détaillés dans le cours Les relations d'ordre et intervalles .

Le tableau de signes

Dès qu'une expression est un produit ou un quotient, on n'isole plus $x$ : on étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes.

Le signe de $ax + b$ se lit sur une seule ligne, et ne dépend que du signe de $a$ :

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ - \frac{b}{a} $$		$$ +\infty $$
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{si \ a \ \text{est} \ +} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{si \ a \ \text{est} \ -} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$

le signe de $ax + b$, selon le signe de $a$

Une expression du premier degré est du signe de $a$ après sa racine, et du signe contraire avant.

Étudions le signe de $\dfrac{2x - 6}{x + 1}$, puis résolvons $\dfrac{2x - 6}{x + 1} \leqslant 0$ :

Le numérateur s'annule en $3$, le dénominateur en $- 1$, qui est une valeur interdite : $D = \mathbb{R} \setminus \{ - 1 \}$.

Forbidden value — la double barre marque la valeur interdite, où le quotient n'existe pas

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ - 1 $$		$$ 3 $$		$$ +\infty $$
$$ 2x - 6 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ x + 1 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ \frac{2x - 6}{x + 1} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$		$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$

Le quotient est négatif entre $- 1$ et $3$, et nul en $3$ :

$$ \mathcal{S} = \left] - 1 \ ; \ 3 \right] $$

Le crochet est ouvert en $- 1$ parce que le quotient n'y existe pas, et fermé en $3$ parce que l'inégalité est large et que le quotient y est bien nul.

La construction pas à pas d'un tel tableau est détaillée dans la méthode Dresser un tableau de signes .

Modéliser un problème par une inéquation

Un énoncé qui contient « au plus », « au moins », « à partir de » ou « ne doit pas dépasser » demande une inéquation, et non une équation. La marche est toujours la même :

nommer l'inconnue, et dire ce qu'elle représente avec son unité
traduire l'énoncé en une inéquation
résoudre, en surveillant les signes
conclure dans le contexte, et vérifier que la réponse a un sens

Un abonnement de salle coûte $19 \ \text{€}$ par mois, la séance à l'unité $6 \ \text{€}$. À partir de combien de séances mensuelles l'abonnement devient-il plus avantageux ?

Soit $n$ le nombre de séances dans le mois. L'abonnement est plus avantageux lorsque :

$$ 19 < 6n $$

$$ n > \frac{19}{6} $$

$$ n > \frac{19}{6} \simeq 3{,}17 $$

$n$ est un nombre entier de séances : la première valeur qui convient est $4$. À partir de quatre séances par mois, l'abonnement coûte moins cher.