Problèmes sur les équations et les inéquations en seconde

Une équation produit nul, un quotient : la forme de l'écriture décide de la méthode.

Résoudre une équation du premier degré
Résoudre une équation produit nul
Repérer une erreur dans une résolution
Mettre un problème en équation ou en inéquation

Résoudre au premier degré

Résoudre l'équation $3x - 7 = 5x + 1$.

$$ 3x \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 7} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{5x} + 1 $$

$$ 3x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 5x} = 1 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 7} $$

$$ - 2x = 8 $$

$$ \frac{- 2x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 2}} = \frac{8}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 2}} $$

$$ x = - 4 $$

$$ \mathcal{S} = \Bigl\{ - 4 \Bigr\} $$

Un terme qui change de membre change de signe ; en vert, ce par quoi on multiplie ou divise les deux membres à la fois.
Résoudre l'inéquation $2(x - 3) \geqslant 4x + 6$.

On développe d'abord le membre de gauche :

$$ 2x \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 6} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{\geqslant}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{4x} + 6 $$

$$ 2x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 4x} \geqslant 6 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 6} $$

$$ - 2x \geqslant 12 $$

On divise les deux membres par $- 2$, qui est négatif :

$$ \frac{- 2x}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{- 2}} \ \underbrace{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\leqslant}}_{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\text{le sens change}}} \ \frac{12}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{- 2}} $$

$$ x \leqslant - 6 $$
Donner l'ensemble des solutions de cette inéquation sous forme d'intervalle.

Les solutions sont tous les réels inférieurs ou égaux à $- 6$, et $- 6$ en fait partie :

$$ \mathcal{S} = \Bigl] - \infty \ ; \ - 6 \Bigr] $$

Équation produit nul et signe

On considère l'expression $P(x) = (2x - 5)(x + 3)$.

Résoudre l'équation $P(x) = 0$.

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est :

$$ 2x - 5 = 0 \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} x + 3 = 0 $$

$$ 2x = 5 \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} x = - 3 $$

$$ x = \frac{5}{2} \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} x = - 3 $$

$$ \mathcal{S} = \left\{ - 3 \ ; \ \frac{5}{2} \right\} $$

Dresser le tableau de signes de $P(x)$ sur $\mathbb{R}$.

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ \hspace{10em} $$	$$ +\infty $$
$$ 2x - 5 $$
$$ x + 3 $$
$$ P(x) $$

tableau de signes de $P(x)$ (à compléter)

$2x - 5$ s'annule en $\frac{5}{2}$ et $x + 3$ en $- 3$. Chacun est du signe de son coefficient $a$, positif, après sa racine, et du signe contraire avant :

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ - 3 $$		$$ \frac{5}{2} $$
$$ 2x - 5 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$			$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ x + 3 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ P(x) $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$

La dernière ligne applique la règle des signes, colonne par colonne.

En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $P(x) > 0$.

D'après le tableau, $P(x)$ est strictement positif avant $- 3$ et après $\frac{5}{2}$ ; les deux racines, où il est nul, sont exclues :

$$ \mathcal{S} = \Bigl] - \infty \ ; \ - 3 \Bigr[ \ \cup \ \left] \frac{5}{2} \ ; \ + \infty \right[ $$

Quotient et mise en équation

Déterminer l'ensemble de définition de l'expression $\frac{x + 1}{x - 4}$.

Le quotient n'existe que si son dénominateur n'est pas nul :

$$ x - 4 \neq 0 \iff x \neq 4 $$

$$ D = \mathbb{R} \setminus \{ 4 \} $$
Résoudre l'équation $\frac{x + 1}{x - 4} = 2$.

Pour $x \in D$, on multiplie les deux membres par $x - 4$, qui n'est pas nul :

$$ \frac{x + 1}{x - 4} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ (x - 4)} = 2 \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ (x - 4)} $$

$$ x + 1 = 2(x - 4) $$

$$ x \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 1} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{2x} - 8 $$

$$ x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 2x} = - 8 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 1} $$

$$ - x = - 9 $$

$$ \frac{- x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 1}} = \frac{- 9}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 1}} $$

$$ x = 9 $$

La valeur trouvée appartient bien à $D$ : elle est donc solution.

$$ \mathcal{S} = \Bigl\{ 9 \Bigr\} $$
Un rectangle a un périmètre de $34 \ \text{cm}$, et sa longueur dépasse sa largeur de $5 \ \text{cm}$. Mettre le problème en équation, puis déterminer ses dimensions.

Soit $x$ la largeur du rectangle, en $\text{cm}$ ; sa longueur vaut alors $x + 5$. Le périmètre donne l'équation :

$$ 2 \bigl( x + (x + 5) \bigr) = 34 $$

$$ 2(2x + 5) = 34 $$

$$ \frac{2(2x + 5)}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} = \frac{34}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} $$

$$ 2x \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 5} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 17 $$

$$ 2x = 17 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 5} $$

$$ 2x = 12 $$

$$ \frac{2x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} = \frac{12}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} $$

$$ x = 6 $$

La longueur vaut $6 + 5 = 11$, et l'on vérifie que $2 \times (11 + 6) = 34$.

$$ \text{largeur} : 6 \ \text{cm} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{longueur} : 11 \ \text{cm} $$

Trouver l'erreur

Chacune des deux résolutions suivantes contient une erreur.

Léo résout l'inéquation $- 3x + 4 > 10$ : $$ - 3x > 6 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} x > - 2 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} \mathcal{S} = \Bigl] - 2 \ ; \ + \infty \Bigr[ $$ Repérer son erreur, puis donner l'ensemble des solutions exact.

Léo divise les deux membres par $- 3$, qui est négatif, sans changer le sens de l'inégalité. La résolution correcte :

$$ - 3x \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 4} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{>} 10 $$

$$ - 3x > 10 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 4} $$

$$ - 3x > 6 $$

On divise les deux membres par $- 3$, qui est négatif :

$$ \frac{- 3x}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{- 3}} \ \underbrace{\textcolor{rgb(232 124 124)}{<}}_{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\text{le sens change}}} \ \frac{6}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{- 3}} $$

$$ x < - 2 $$

$$ \mathcal{S} = \Bigl] - \infty \ ; \ - 2 \Bigr[ $$
On passe à une autre résolution. Inès résout l'équation $x^2 = 5x$ en divisant les deux membres par $x$ : $$ x = 5 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} \mathcal{S} = \Bigl\{ 5 \Bigr\} $$ Expliquer pourquoi elle perd une solution, puis résoudre correctement l'équation.

Diviser par $x$ suppose $x \neq 0$ : le cas $x = 0$ est écarté sans être étudié, alors que $0^2 = 5 \times 0$. On ramène plutôt tout dans un membre, puis on factorise :

$$ x^2 \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{=} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{5x} $$

$$ x^2 \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 5x} = 0 $$

$$ x(x - 5) = 0 $$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est :

$$ x = 0 \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} x - 5 = 0 $$

$$ x = 0 \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} x = 5 $$

$$ \mathcal{S} = \Bigl\{ 0 \ ; \ 5 \Bigr\} $$

Choisir une formule de cinéma

Un cinéma propose deux formules. Formule A : chaque séance coûte $9 \ \text{€}$. Formule B : une carte annuelle à $30 \ \text{€}$, puis $6 \ \text{€}$ la séance. On note $n$ le nombre de séances dans l'année.

Exprimer en fonction de $n$ le prix payé avec chacune des deux formules.

On note $A(n)$ et $B(n)$ les prix, en euros :

$$ A(n) = 9n \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} B(n) = 30 + 6n $$
Mettre le problème en inéquation, puis déterminer à partir de combien de séances la formule B revient strictement moins cher que la formule A.

On cherche les entiers $n$ tels que $B(n) < A(n)$ :

$$ 30 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 6n} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{<} 9n $$

$$ 30 < 9n \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 6n} $$

$$ 30 < 3n $$

$$ \frac{30}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{3}} < \frac{3n}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{3}} $$

$$ 10 < n $$

À $10$ séances, les deux formules coûtent $90 \ \text{€}$ ; il faut donc au moins une séance de plus.

$$ \text{la formule B est moins chère à partir de } 11 \text{ séances} $$
On garde ces deux mêmes formules, avec un budget de $120 \ \text{€}$ pour l'année. Déterminer laquelle permet de voir le plus de séances, et combien.

Avec la formule A, on cherche les entiers $n$ tels que $9n \leqslant 120$ :

$$ \frac{9n}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{9}} \leqslant \frac{120}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{9}} $$

$$ n \leqslant \frac{40}{3} \simeq 13{,}3 $$

soit au plus $13$ séances. Avec la formule B, on cherche les entiers $n$ tels que $30 + 6n \leqslant 120$ :

$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{30} + 6n \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{\leqslant} 120 $$

$$ 6n \leqslant 120 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 30} $$

$$ 6n \leqslant 90 $$

$$ \frac{6n}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{6}} \leqslant \frac{90}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{6}} $$

$$ n \leqslant 15 $$

$$ \text{formule B} : 15 \text{ séances} \hspace{2em} \text{contre} \hspace{2em} \text{formule A} : 13 \text{ séances} $$

La valise sur le pèse-personne

En soute, la compagnie aérienne refuse les valises de plus de $23 \ \text{kg}$. Sam se pèse seul, puis en portant sa valise. Son pèse-personne est précis à $0{,}2 \ \text{kg}$ près : la masse réelle est à $0{,}2 \ \text{kg}$ au plus de la masse affichée.

On note $s$ la masse réelle de Sam, et $t$ celle de Sam portant sa valise, en kilogrammes. Encadrer $s$ et $t$.

La masse réelle est à $0{,}2$ au plus de la masse affichée : $\left|\, s - 58{,}4 \,\right| \leqslant 0{,}2$ et $\left|\, t - 81{,}2 \,\right| \leqslant 0{,}2$.

$$ 58{,}2 \leqslant s \leqslant 58{,}6 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 81 \leqslant t \leqslant 81{,}4 $$
La valise pèse $v = t - s$. Yanis soustrait les deux encadrements membre à membre : $$ 81 - 58{,}2 \leqslant t - s \leqslant 81{,}4 - 58{,}6 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 22{,}8 \leqslant v \leqslant 22{,}8 $$ Il en conclut que la valise pèse exactement $22{,}8 \ \text{kg}$. Prouver que Yanis se trompe, en donnant des masses possibles pour Sam et pour Sam avec sa valise. Encadrer correctement $v$, puis placer cet encadrement sur la droite graduée.

Sam peut peser $s = 58{,}2$, et Sam avec sa valise $t = 81{,}4$ : ces deux masses respectent les encadrements, et la valise pèse alors $81{,}4 - 58{,}2 = 23{,}2 \ \text{kg}$, et non $22{,}8 \ \text{kg}$.

Deux inégalités de même sens s'ajoutent membre à membre, mais ne se soustraient pas. On multiplie d'abord l'encadrement de $s$ par $- 1$, qui est négatif :

$$ 58{,}2 \textcolor{rgb(232 124 124)}{\times (- 1)} \ \underbrace{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\geqslant}}_{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\text{le sens change}}} \ s \textcolor{rgb(232 124 124)}{\times (- 1)} \ \underbrace{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\geqslant}}_{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\text{le sens change}}} \ 58{,}6 \textcolor{rgb(232 124 124)}{\times (- 1)} $$

$$ - 58{,}6 \leqslant - s \leqslant - 58{,}2 $$

Puis on ajoute membre à membre l'encadrement de $t$ :

$$ 81 - 58{,}6 \leqslant t - s \leqslant 81{,}4 - 58{,}2 $$

$$ 22{,}4 \leqslant v \leqslant 23{,}2 $$
Trancher : Sam peut-il être sûr que sa valise passe ? Sinon, quelle masse doit-il en retirer, au minimum, pour en être sûr sans se repeser ?

L'encadrement dépasse la limite : la valise peut peser jusqu'à $23{,}2 \ \text{kg}$, et Sam ne peut pas être sûr qu'elle passe.

S'il retire une masse $r$, la valise pèse $v - r$, avec $v - r \leqslant 23{,}2 - r$. Il est sûr qu'elle passe si $23{,}2 - r \leqslant 23$, soit $r \geqslant 0{,}2$. Avec moins, une valise de $23{,}2 \ \text{kg}$ pèserait encore plus de $23 \ \text{kg}$.

$$ \text{Sam n'est pas sûr : il doit retirer au moins } 0{,}2 \ \text{kg} $$
Sam cherche un pèse-personne plus précis, à $p$ kilogramme près. Avec les mêmes affichages, $58{,}4 \ \text{kg}$ et $81{,}2 \ \text{kg}$, déterminer toutes les précisions $p$ qui lui garantiraient que sa valise passe, sans rien retirer.

Comme à la question 2, avec $58{,}4 - p \leqslant s \leqslant 58{,}4 + p$ et $81{,}2 - p \leqslant t \leqslant 81{,}2 + p$ :

$$ 81{,}2 - p - (58{,}4 + p) \leqslant v \leqslant 81{,}2 + p - (58{,}4 - p) $$

$$ 22{,}8 - 2p \leqslant v \leqslant 22{,}8 + 2p $$

La borne $22{,}8 + 2p$ est atteinte, pour $t = 81{,}2 + p$ et $s = 58{,}4 - p$. La valise passe à coup sûr si et seulement si cette borne ne dépasse pas $23$ :

$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{22{,}8} + 2p \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{\leqslant} 23 $$

$$ 2p \leqslant 23 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 22{,}8} $$

$$ 2p \leqslant 0{,}2 $$

$$ \frac{2p}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} \leqslant \frac{0{,}2}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} $$

$$ p \leqslant 0{,}1 \ \text{kg} $$

Il faut un pèse-personne deux fois plus précis : avec deux pesées, les deux imprécisions s'ajoutent.

Deux groupes à la fête de la musique

Deux groupes jouent sur une avenue rectiligne, en $A$ et en $B$, à $30 \ \text{m}$ l'un de l'autre ; le groupe $A$ est $4$ fois plus puissant. Un passant est repéré par son abscisse $x$, en mètres, avec $A$ en $0$ et $B$ en $30$. Il reçoit de $A$ une intensité sonore proportionnelle à $\frac{4}{x^2}$, et de $B$ une intensité proportionnelle à $\frac{1}{(x - 30)^2}$, avec le même coefficient.

Dire quel groupe le passant entend le plus fort en $x = 10$, en $x = 40$, puis en $x = 90$.

$$ x = 10 : \ \frac{4}{100} = 0{,}04 \quad \text{et} \quad \frac{1}{400} = 0{,}0025 $$

$$ x = 40 : \ \frac{4}{1 \ 600} = 0{,}0025 \quad \text{et} \quad \frac{1}{100} = 0{,}01 $$

$$ x = 90 : \ \frac{4}{8 \ 100} = \frac{1}{2 \ 025} \quad \text{et} \quad \frac{1}{3 \ 600} $$

En $90$, les deux fractions ont le même numérateur : la plus grande a le plus petit dénominateur.

$$ x = 10 : A \hspace{2em} x = 40 : B \hspace{2em} x = 90 : A $$

Loin derrière $B$, c'est de nouveau $A$ que l'on entend le plus fort.
Démontrer que, pour $x \neq 0$ et $x \neq 30$, le passant entend $A$ plus fort que $B$ si et seulement si $4(x - 30)^2 - x^2 > 0$.

On multiplie les deux membres par $x^2 (x - 30)^2$, strictement positif pour $x \neq 0$ et $x \neq 30$ : le sens ne change pas.

$$ \frac{4}{x^2} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ x^2 (x - 30)^2} > \frac{1}{(x - 30)^2} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ x^2 (x - 30)^2} $$

$$ 4(x - 30)^2 \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{>} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{x^2} $$

$$ 4(x - 30)^2 \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- x^2} > 0 $$

Chacune de ces étapes se fait dans les deux sens : les inégalités sont équivalentes.

$$ A \text{ plus fort que } B \iff 4(x - 30)^2 - x^2 > 0 $$

Factoriser $4(x - 30)^2 - x^2$, puis déterminer toutes les positions où le passant entend $A$ plus fort que $B$. Vérifier avec la question 1.

$4(x - 30)^2 = \bigl( 2(x - 30) \bigr)^2$ : on reconnaît une différence de deux carrés, $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$$ 4(x - 30)^2 - x^2 = \bigl( 2(x - 30) - x \bigr) \bigl( 2(x - 30) + x \bigr) = (x - 60)(3x - 60) $$

$x - 60$ s'annule en $60$, et $3x - 60$ en $20$ ; chacun est du signe de son coefficient, positif, après sa racine, et du signe contraire avant :

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ 20 $$		$$ 60 $$
$$ x - 60 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$			$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ 3x - 60 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ (x - 60)(3x - 60) $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$

Le produit est strictement positif avant $20$ et après $60$. On retire $0$, où joue le groupe $A$ ; $30$ n'appartient pas à ces intervalles.

$$ \mathcal{S} = \Bigl] - \infty \ ; \ 0 \Bigr[ \ \cup \ \Bigl] 0 \ ; \ 20 \Bigr[ \ \cup \ \Bigl] 60 \ ; \ + \infty \Bigr[ $$

Vérification : $10$ et $90$ appartiennent à $\mathcal{S}$, $40$ non. On entend $A$ plus fort derrière $A$, puis jusqu'à $20 \ \text{m}$ de $A$ en allant vers $B$, et de nouveau à plus de $30 \ \text{m}$ derrière $B$.

Le groupe $A$ baisse le son : il n'est plus que $2{,}25$ fois plus puissant que $B$. Le passant placé en $x = 90$ entend-il toujours $A$ plus fort ? Déterminer la nouvelle zone où $A$ s'entend le plus fort.

Comme à la question 2, pour $x \neq 0$ et $x \neq 30$, $A$ s'entend plus fort si et seulement si $2{,}25(x - 30)^2 - x^2 > 0$. Or $2{,}25 = 1{,}5^2$ :

$$ 2{,}25(x - 30)^2 - x^2 = \bigl( 1{,}5(x - 30) - x \bigr) \bigl( 1{,}5(x - 30) + x \bigr) = (0{,}5x - 45)(2{,}5x - 45) $$

$0{,}5x - 45$ s'annule en $90$, et $2{,}5x - 45$ en $18$ ; tous deux ont un coefficient positif :

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ 18 $$		$$ 90 $$
$$ 0{,}5x - 45 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$			$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ 2{,}5x - 45 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ (0{,}5x - 45)(2{,}5x - 45) $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$

$$ \mathcal{S} = \Bigl] - \infty \ ; \ 0 \Bigr[ \ \cup \ \Bigl] 0 \ ; \ 18 \Bigr[ \ \cup \ \Bigl] 90 \ ; \ + \infty \Bigr[ $$

En $x = 90$, le produit est nul : le passant entend désormais les deux groupes aussi fort l'un que l'autre. Vérification : $\frac{2{,}25}{8 \ 100} = \frac{1}{3 \ 600}$.