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Comparaison de nombres
Comparer ces différents nombres entre eux.
\(\frac{1}{3}\) et \(\frac{2}{7}\)
\(-\frac{4}{5}\) et \(-1\)
\(5 \sqrt{2}\) et \(4 \sqrt{3}\)
\(-4 \sqrt{7}\) et \(-5 \sqrt{6}\)
Pour comparer deux fractions, on doit les mettre au même dénominateur .
-
\(\frac{1}{3}\) et \(\frac{2}{7}\)
$$ \frac{1}{3} \frac{1}{3} \textcolor{rgb(232 124 124)}{\times \frac{7}{7} } $$$$ et $$$$ \frac{2}{7} \frac{2}{7} \textcolor{rgb(232 124 124)}{\times \frac{3}{3} } $$$$ \frac{7}{21} > \frac{6}{21} $$Alors,
$$\frac{1}{3} > \frac{2}{7} $$ -
\(-\frac{4}{5}\) et \(-1\)
$$ -\frac{4}{5} -\frac{4}{5} $$$$ et $$$$ -1 -1 \textcolor{rgb(232 124 124)}{\times \frac{5}{5} } $$$$ -\frac{4}{5} > -\frac{5}{5} $$Alors,
$$-\frac{4}{5} > -1 $$ -
\(5 \sqrt{2}\) et \(4 \sqrt{3}\)
Ensuite, pour comparer deux nombres ayant des racines carres, on doit s'assurer qu'il soit bien sur la même partie continue et montone de la fonction carrée; c'est bien le cas.
$$ 5 \sqrt{2} \textcolor{rgb(232 124 124)}{( } 5 \sqrt{2} \textcolor{rgb(232 124 124)}{)^2} 5^2 \sqrt{2}^2 25 \times 2 = 50 $$$$ et $$$$ 4 \sqrt{3} \textcolor{rgb(232 124 124)}{( } 4 \sqrt{3} \textcolor{rgb(232 124 124)}{)^2} 4^2 \sqrt{3}^2 16 \times 3 = 48 $$$$ 50 > 48 $$Comme nous comparons deux nombres positifs, leurs carrés respectifs seront rangés dans le même ordre .
Alors,
$$5 \sqrt{2} > 4 \sqrt{3} $$ -
\(-4 \sqrt{7}\) et \(-5 \sqrt{6}\)
Idem, ici aussi on est bien sur la même partie continue et montone de la fonction carrée.
$$ -4 \sqrt{7} \textcolor{rgb(232 124 124)}{( } -4 \sqrt{7} \textcolor{rgb(232 124 124)}{)^2} 4^2 \sqrt{7}^2 16 \times 7 = 112 $$$$ et $$$$ -5 \sqrt{6} \textcolor{rgb(232 124 124)}{( } -5 \sqrt{6} \textcolor{rgb(232 124 124)}{)^2} 5^2 \sqrt{6}^2 25 \times 6 = 150 $$$$ 112 < 150 $$Comme nous comparons deux nombres négatifs, leurs carrés respectifs seront rangés dans l'ordre inverse .
Alors,
$$-4 \sqrt{7} >-5 \sqrt{6} $$
Encadrement simple
Sachant que :
Donner un encadrement du nombre : \(1 - \frac{7\sqrt{2}}{3}\)
On démarre de l'inéquation :
Puis on applique à chaque fois les opérations dans l'ordre des priorités opératoires :
(en multipliant par un nombre négatif, le sens de l'inéquation change )
Éventuellement, on met au même dénominateur :
Représentation des réels sur une droite graduée
Soit les intervalles suivants :
\(I = \Bigl] -2; 4 \Bigr]\)
\(J = \Bigl] -\frac{1}{2} ; \frac{3}{2} \Bigr[\)
\(K = \Bigl] -\infty; 2 \Bigr[\)
\(L = \Bigl] 1; + \infty \Bigr[\)
Sur la droite des réels :
-
Représenter ces intervalles.
-
Représenter l'intervalle résultant de \((I \cup J)\).
-
Représenter l'intervalle résultant de \((K \cap L)\).
Les abonnements à la salle de sport
Une salle de sports propose deux tarifs :
-
abonnement à 50 € / mois et chaque séance à 5 €
-
pas d'abonnement mais chaque séance vaut 12 €
À partir de combien de séances par mois le prix sans abonnement n'est plus rentable ?
On appelle \(X\) le nombre de séances à la salle de sports.
Le tarif de la première salle de sports peut se modéliser par :
Le tarif de la seconde salle de sports peut lui se modéliser par :
L'abonnement de la seconde salle de sports ne sera plus rentable à partir du moment où elle sera plus chère que l'autre, autrement dit si :
On remplace par nos expressions de départ :
Et on résoud.
Comme \( \frac{50}{7} \approx 7.14\), on prendra le nombre entier qui suit cette valeur approchée
Alors, le prix sans abonnement ne sera plus rentable à partir de la \(8^{i\textit{è}me}\) séance .
Quelle note pour avoir la moyenne ?
Ce trimestre, un élève a les notes suivantes avec leur coefficient respectif :
|
Note (sur 20)
|
Coefficient
|
|---|---|
$$9$$ |
$$3$$ |
$$8$$ |
$$1$$ |
$$11$$ |
$$2$$ |
Il reste une seule évaluation coefficient 2, avant la fin du trimestre.
|
Note (sur 20)
|
Coefficient
|
|---|---|
$$X$$ |
$$2$$ |
Quelle note va-t-il devoir obtenir à cette dernière éval pour obtenir la moyenne à la fin du trimestre ?
La moyenne de cet élève, avec coefficient et sans la note à venir, vaut :
On appelle \(X\) cette note à venir.
Sachant que la prochaine évaluation sera coefficient 2, on peut la rajouter de manière théorique dans la précédente moyenne :
L'élève souhaite avoir la moyenne, alors il faut résoudre l'inéquation suivante \((I)\) :
Soit :
Alors, l'élève va devoir avoir au moins \(11.5/20\) à cette évaluation à venir.
Résolution d'équations du premier degré
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
Pour toutes ces équations du premier degré, c'est toujours la même stratégie :
-
ranger les nombres attachés à \(x\) d'un côté, et les nombres seuls de l'autre
-
isoler \(x\) en suivant la progression inverse des priorités opréatoires
-
\( 3x - 1 < 2x - 3 \)$$ 3x - 1 < 2x - 3 $$$$ 3x -2x < - 3 +1 $$$$ x < -2 $$
Soit,
$$x \in \Bigl] -\infty; -2 \Bigr[$$ -
\( -4x -1 < x + 2 \)$$ -4x -1 < x + 2 $$$$ -4x -x < 2 +1 $$$$ -5x < 3 $$
En mutlipliant les deux côtés par \( \left(-\frac{1}{5} \right)\), on change le sens de l'inéquation :
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{ \left(-\frac{1}{5} \right) \times } \left(-5x\right) < 3 \textcolor{rgb(232 124 124)}{ \times \left(-\frac{1}{5} \right)} $$$$ \frac{-5}{-5}x > -\frac{3}{5} $$$$ \frac{\cancel{-5}}{\cancel{-5}}x > -\frac{3}{5} $$$$ x > -\frac{3}{5} $$Soit,
$$x \in \Bigl] -\frac{3}{5}; +\infty \Bigr[$$ -
\( -\frac{2}{3} + 5 \geqslant -\frac{2}{7} -1 \)$$ -\frac{2}{3}x + 5 \geqslant -\frac{2}{7}x -1 $$$$ -\frac{2}{3}x + \frac{2}{7}x \geqslant -1 -5 $$
Ensuite, pour la partie sous forme de fractions, on met tout sous le même dénominateur :
$$ -\frac{2}{3}x \textcolor{rgb(232 124 124)}{ \times \frac{7}{7} } + \frac{2}{7}x \textcolor{rgb(232 124 124)}{ \times \frac{3}{3} } \geqslant -6 $$$$ -\frac{14}{21}x + \frac{6}{21}x \geqslant -6 $$Et on additionne :
$$ -\frac{8}{21}x \geqslant -6 $$Enfin, on se débarrasse de la fraction accollée à \(x\) en multipliant par son inverse :
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{ \left( \frac{21}{8} \right) \times } \left( -\frac{8}{21}x \right) \geqslant \left( -6 \right) \textcolor{rgb(232 124 124)}{ \times \left( \frac{21}{8 }\right) } $$$$ - \frac{ \cancel{21}}{\cancel{8}} \times \frac{\cancel{8}}{\cancel{21}} x \geqslant - \frac{21 \times 6}{8} $$$$ -x \geqslant - \frac{21 \times 6}{8} $$Et du signe \((-)\) en changeant le sens de l'inéquation :
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{ (-1) \times } \left( -x \right) \geqslant \left( - \frac{21 \times 6}{8} \right) \textcolor{rgb(232 124 124)}{ \times (-1) } $$$$ x \leqslant \frac{63}{4} $$Soit,
$$x \in \Bigl] -\infty ; frac{63}{4} \Bigr]$$
Résolution d'équations du second degré
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
Pour toutes ces équations du second degré, c'est toujours la même stratégie :
-
obtenir zéro à droite
-
factoriser l'expression
-
dresser un tableau de signes
Pour chaque inéquation, on notera par une lettre majuscule \((A) \) la forme de départ, et sa forme développée avec une apostrophe \((A') \).
-
\(x^2 < 81 \)$$ x^2 < 81 \qquad (A) $$$$ x^2 - 81 < 0 $$$$ x^2 - 9^2 < 0 $$$$ (x-9)(x+9) < 0 \qquad (A') $$
On cherche les racines des deux facteurs :
$$ x-9 = 0 x = 9 $$$$ x+9 = 0 x = - 9 $$$$ x $$$$ -\infty $$$$ - 9 $$$$ 9 $$$$ +\infty $$$$ x -9 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ x + 9 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ (x - 9)(x + 9) $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$Alors, l'intervalle des solutions pour \((A)\) est :
$$ \mathcal{S} = x \in \Bigl] -9; 9 \Bigr[ $$ -
\(x^2 - 16 \geqslant 0 \)$$ x^2 - 16 \geqslant 0 \qquad (B) $$$$ x^2 - 4^2 \geqslant 0 $$$$ (x -4)(x+4) \geqslant 0 \qquad (B') $$
On cherche les racines des deux facteurs :
$$ x-4 = 0 x = 4 $$$$ x+4 = 0 x = - 4 $$$$ x $$$$ -\infty $$$$ - 4 $$$$ 4 $$$$ +\infty $$$$ x -4 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ x + 4 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ (x - 4)(x + 4) $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$Alors, l'intervalle des solutions pour \((B)\) est :
$$ \mathcal{S} = x \in \Bigl] -\infty; -4 \Bigr] \cup \Bigl [ 4; +\infty \Bigl [ $$ -
\((x-3)^2 \geqslant (2x+ 1)^2 \)
-
Méthode classique :
$$ (x-3)^2 \geqslant (2x+ 1)^2 \qquad (C) $$$$ (x-3)^2 - (2x+ 1)^2 \geqslant 0 $$$$ \Bigl[(x-3)+(2x+ 1)\Bigr]\Bigl[(x-3)-(2x+ 1)\Bigr] \geqslant 0 $$$$ (3x-2)(x-3-2x- 1) \geqslant 0 $$$$ (3x-2)(-x-4) \geqslant 0 \qquad (C') $$On cherche les racines des deux facteurs :
$$ 3x-2 = 0 3x = 2 x = \frac{2}{3} $$$$ -x-4 = 0 x = - 4 $$$$ x $$$$ -\infty $$$$ - 4 $$$$ \frac{2}{3} $$$$ +\infty $$$$ 3x-2 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ - x- 4 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ (x - 4)(x + 4) $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$Alors, l'intervalle des solutions pour \((C)\) est :
$$ \mathcal{S} = x \in \left[ -4 ; frac{2}{3} \right] $$
-
Méthode "turque" :
$$ (x-3)^2 \geqslant (2x+ 1)^2 \qquad (C) $$On applique la racine carrée des deux côtés, on obtient des valeurs absolues :
$$ |x-3| \geqslant |2x+ 1| \qquad (C^*) $$On cherche les racines des deux facteurs :
$$ x-3 = 0 $$$$ x =3 $$$$ \Longrightarrow |x-3| = \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} -(x-3) \ pour \ x < 3 \\ \hspace{1em} x-3 \ pour \ x \geqslant 3 \end{gather*} $$(car la fonction \(\Bigl[ f(x) = x-3 \Bigr]\) est strictement croissante sur \( \mathbb{R}\))
$$ 2x+ 1 $$$$ x = - \frac{1}{2} $$$$ \Longrightarrow | 2x+ 1 | = \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} -(2x+ 1) \ pour \ x < - \frac{1}{2} \\ \hspace{1em} 2x+ 1 \ pour \ x \geqslant - \frac{1}{2} \end{gather*} $$(car la fonction \(\Bigl[ f(x) = 2x+ 1 \Bigr]\) est strictement croissante sur \( \mathbb{R}\))
Comme nous avons deux valeurs pour les racines, il faut traiter trois intervalles différents.
$$ x < - \frac{1}{2} \qquad (a) $$$$ - \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 3 \qquad (b) $$$$ 3 \leqslant x \qquad (c) $$- Cas \((a)\) : pour \(x < - \frac{1}{2} \) :
$$ |x-3| \geqslant |2x+ 1| $$Comme on a : \(x < - \frac{1}{2} < 3\), alors :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} |x-3|=-(x-3) \\ |2x+1|=-(2x+1) \end{gather*} $$Soit,
$$ -x+3 \geqslant -2x-1 $$$$ -x + 2x \geqslant -1 -3 $$$$ x \geqslant - 4 $$- Cas \((b)\) : pour \( - \frac{1}{2} < x < 3 \) :
$$ |x-3| \geqslant |2x+ 1| $$Comme on a : \( - \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 3\), alors :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} |x-3|=-(x-3) \\ |2x+1|=2x+1 \end{gather*} $$Soit,
$$ -x+3 \geqslant 2x+1 $$$$ -x - 2x \geqslant 1 -3 $$$$ -3x \geqslant 2 $$$$ 3x \leqslant - 2 $$$$x \leqslant \frac{2}{3} $$- Cas \((c)\) : pour \(3 < x \) :
$$ |x-3| \geqslant |2x+ 1| $$Comme on a : \(- \frac{1}{2} < 3 < x \), alors :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} |x-3|=x-3 \\ |2x+1|=2x+1 \end{gather*} $$Soit,
$$ x-3 \geqslant 2x+1 $$$$ x -2x \geqslant 4 $$$$ -x \geqslant 4 $$$$ x \leqslant -4 $$(pas de solutions car en dehors de
l'intervalle du cas d'étude où \((x >3)\))
Alors, l'intervalles des solutions pour \((C^*)\) :
$$ |x-3| \geqslant |2x+ 1| \qquad (C^*) $$et donc aussi pour \((C)\), est l'intersection des deux intervalles trouvés en résultat (car on a traité différents cas à part), soit :
$$ \mathcal{S} = x \in \left[ -4 ; frac{2}{3} \right] $$
-
-
\((3x +4)(1-x) \leqslant 3 - 3x \).$$ (3x +4)(1-x) \leqslant 3 - 3x \qquad (D) $$$$ (3x +4)(1-x) - (3 - 3x) \leqslant 0 $$
On peut trouver un facteur commun :
$$ (3x +4)(1-x) - 3(1-x) \leqslant 0 $$$$ (1-x)\Bigl[(3x +4) - 3] \leqslant 0 $$$$ (1-x)(3x +1)\leqslant 0 \qquad (D') $$On cherche les racines des deux facteurs :
$$ 1-x = 0 x = 1 $$$$ 3x +1 = 0 3x = -1 x = - \frac{1}{3} $$$$ x $$$$ -\infty $$$$ - \frac{1}{3} $$$$ 1 $$$$ +\infty $$$$ 1-x $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 3x+1 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ (1-x)(3x +1) $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$Alors, l'intervalle des solutions pour \((D)\) est :
$$ \mathcal{S} = x \in \Bigl[ -\infty; -\frac{1}{3} \Bigr] \cup \Bigl [ 1; +\infty \Bigl [ $$ -
\( (2x-1)x^2 < 6x -3 \).$$ (2x-1)x^2 < 6x -3 \qquad (E) $$$$ (2x-1)x^2 -( 6x -3) < 0 $$$$ (2x-1)x^2 - 3(2x-1) < 0 $$$$ (2x-1)(x^2 -3) < 0 $$
Ici, il faut faire une deuxième factorisation :
$$ (2x-1)\left(x - \sqrt{3}\right)\left(x + \sqrt{3}\right) < 0 \qquad (E') $$On cherche les racines des trois facteurs :
$$ 2x-1 = 0 2x = 1 x = \frac{1}{2} $$$$ x - \sqrt{3} = 0 x = \sqrt{3} $$$$ x + \sqrt{3} = 0 x = -\sqrt{3} $$$$ x $$$$ -\infty $$$$ -\sqrt{3} $$$$ \frac{1}{2} $$$$ \sqrt{3} $$$$ +\infty $$$$ 2x-1 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ x - \sqrt{3} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ x + \sqrt{3} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ (2x-1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$Alors, l'intervalle des solutions pour \((E)\) est :
$$ \mathcal{S} = x \in \Bigl] -\infty; -\sqrt{3} \Bigr[ \cup \Bigl] \frac{1}{2} ; sqrt{3} \Bigr[ $$ -
\( (2-3x)^2 \geqslant 0 \).$$ (2-3x)^2 \geqslant 0 \qquad (F) $$
C'est toujours vrai !
Car un carré est toujours positif ...
Alors, l'intervalle des solutions pour \((F)\) est :
$$ \mathcal{S} = x \in \mathbb{R} $$