Résoudre une inéquation avec valeur absolue

Lire une valeur absolue comme une distance

Écrire $\left|\, x - a \,\right|$, c'est mesurer la distance entre $x$ et $a$ sur la droite graduée. Le signe disparaît parce qu'une distance ne peut pas être négative.

$$ \left|\, x - a \,\right| = d(x \,; a) $$

Tout le reste de la méthode découle de cette seule lecture : on ne cherche jamais à « enlever les barres », on traduit une position par rapport à un centre .

Repérer le centre et le rayon

Avant toute chose, on ramène l'écriture à l'une des trois formes de référence :

Le centre $a$

C'est le nombre qui suit le signe moins. Si l'énoncé donne un plus, on le réécrit en moins : le centre est alors négatif .

$$ \left|\, x + 3 \,\right| = \left|\, x - \left(-3\right) \,\right| \qquad \text{centre} = -3 $$
Le rayon $r$

C'est le nombre à droite du symbole. Il donne l'écart maximal autorisé entre $x$ et le centre.

Les trois situations

Une fois le centre et le rayon lus, la réponse se récite :

$$ \left|\, x - a \,\right| = r \iff x = a - r \quad \text{ou} \quad x = a + r $$

$$ \left|\, x - a \,\right| \leqslant r \iff x \in \Bigl[ a - r \,; a + r \Bigr] $$

$$ \left|\, x - a \,\right| \geqslant r \iff x \in \Bigl] -\infty \,; a - r \Bigr] \cup \Bigl[ a + r \,; +\infty \Bigr[ $$

L'égalité donne deux points , l'inégalité $\leqslant$ donne un seul intervalle autour du centre, et l'inégalité $\geqslant$ donne deux morceaux , de part et d'autre.

Astuce : avec des inégalités strictes, les crochets se retournent, mais le raisonnement ne change pas d'une ligne.

Exemple guidé

Exemple :

$$ \left|\, x - 5 \,\right| \leqslant 3 $$

Traduire

La distance entre $x$ et $5$ vaut au plus $3$.
Encadrer

On s'écarte de $3$ au maximum, de part et d'autre du centre $5$ :

$$ 5 - 3 \leqslant x \leqslant 5 + 3 $$
Conclure

$$ \mathcal{S} = \bigl[ 2 \,; 8 \bigr] $$

À vous

Même démarche, sans modèle sous les yeux :

$$ \left|\, x - 4 \,\right| \leqslant 2 $$

$$ \left|\, x + 3 \,\right| < 5 $$

$$ \left|\, x - 1 \,\right| \geqslant 6 $$

Les deux cas qui ne se calculent pas

Un rayon négatif ne se traite pas : on répond par la définition , sans poser le moindre calcul.

$\left|\, x - a \,\right| \leqslant -2$ : une distance n'est jamais négative, donc aucune solution , $\mathcal{S} = \varnothing$.
$\left|\, x - a \,\right| \geqslant -2$ : une distance est toujours supérieure à un nombre négatif, donc tous les réels conviennent , $\mathcal{S} = \mathbb{R}$.

Attention : c'est le signe du rayon qu'on regarde, jamais celui du centre. Un centre négatif, lui, est parfaitement ordinaire.