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Chaque famille de nombres a son ensemble et son symbole : on apprend à les ranger et à les combiner.
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Connaître les ensembles des entiers, des décimaux, des rationnels et des réels
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Distinguer un nombre rationnel d'un nombre irrationnel
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Ranger les ensembles de nombres les uns dans les autres
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Noter un ensemble et en exclure une valeur ou un autre ensemble
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Déterminer l'intersection et l'union de deux ensembles
Un carnet de santé : \(3 \ \text{kg}\) à la naissance, \(1.75 \ \text{m}\) aujourd'hui. Un congélateur : \({-}18 \ \text{°C}\). Une recette : \(\frac{1}{3}\) de litre. Et la diagonale d'un carré de \(1 \ \text{m}\) de côté : \(\sqrt{2} \ \text{m}\), qu'aucune fraction n'écrit exactement.
Les ensembles s'emboîtent ; le dernier, \(\mathbb{R}\), est celui des points d'une droite.
L'ensemble des entiers naturels : \(\mathbb{N}\)
C'est l'ensemble des entiers positifs.
L'ensemble des entiers relatifs : \(\mathbb{Z}\)
C'est l'ensemble des entiers, positifs ou négatifs.
L'ensemble des nombres décimaux : \(\mathbb{D}\)
C'est l'ensemble des nombres dont l'écriture décimale est finie.
Un décimal \(d\) s'écrit :
L'ensemble des nombres rationnels : \(\mathbb{Q}\)
C'est l'ensemble des nombres s'écrivant sous forme de fraction irréductible.
Un rationnel \(q\) s'écrit :
L'ensemble des nombres réels : \(\mathbb{R}\)
C'est l'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée.
Il ajoute aux rationnels les irrationnels.
Un irrationnel ne s'écrit pas en fraction : ses décimales ne prennent jamais fin, sans se répéter. Exemples :
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Nombre
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Valeur
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Explication
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|---|---|---|
$$ \sqrt{2} $$ |
$$ \approx 1.414... $$ |
le nombre positif dont le carré vaut \(2\) |
$$ \pi $$ |
$$ \approx 3.141... $$ |
le rapport du périmètre d'un cercle à son diamètre |
Inclusions des ensembles entre eux
Chaque ensemble contient tous les ensembles précédents:
Exemples :
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Un nombre entier est nécessairement un nombre rationnel.
\(22 \in \mathbb{N}\) et \(22 = \frac{22}{1} \in \mathbb{Q}\).
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Mais un nombre rationnel n'est pas nécessairement un nombre entier.
Notations des ensembles
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Un ensemble ordinaire : \(\mathbb{E}\)
Un ensemble \(\mathbb{E}\) de nombres \( n_1, \ n_2, \ n_3 \ ... \text{etc}\) se note :
$$ \mathbb{E} = \Bigl \{ n_1, \ n_2, \ n_3 \ ... \text{etc}\Bigr \} $$ -
Exclusions
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Exclusions d'ensembles
Pour exclure l'ensemble \(\mathbb{E_2}\) de l'ensemble \(\mathbb{E_1}\) :
$$ \mathbb{F} = \mathbb{E_1} \setminus \mathbb{E_2} $$
Exemple : les irrationnels se notent \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).
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Exclusions de valeurs
Exemple : l'ensemble des réels privé de 0.
$$ \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} $$
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Unions/intersections
Considérons deux ensembles disjoints \(A\) et \(B\) :
S'ils ont une partie commune, on étudie :
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leur intersection
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leur union
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Intersection de deux ensembles : \(A \cap B\)
Intersection de deux ensembles C'est la partie commune aux deux ensembles.
Exemple :
$$ \mathbb{E_1} \cap \mathbb{E_2} = \Bigl \{0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5 \Bigr \} \cap \Bigl \{ 1, \ 3, \ 5, \ 7 \Bigr \} = \Bigl \{1, \ 3, \ 5 \Bigr \} $$ -
Union de deux ensembles : \(A \cup B\)
Un élément de l'union est dans l'un, dans l'autre, ou dans l'intersection des deux.
On ne compte pas deux fois l'intersection \((A \cap B)\) :
$$ A \cup B = \bigl( A \setminus B \bigr) \cup \bigl( A \cap B \bigr) \cup \bigl( B \setminus A \bigr) $$
Union de deux ensembles