Les relations d'ordre et intervalles

Relations d'ordre

Les relations d'ordre se notent :

Intervalles

1. Les différents types d'intervalle

   Type d'intervalle	Écriture mathématique	Intervalle
   Intervalle fermé	$$ x \in \bigl [a \ ; \ b \bigr] $$
   Intervalle ouvert	$$ x \in \bigl ]a \ ; \ b \bigr[ $$
   Intervalle mixte	$$ x \in \bigl [a \ ; \ b \bigr[ $$
   Intervalle ouvert sur moins l'infini	$$ x \in \bigl ] - \infty \ ; \ b \bigr] $$
   Intervalle ouvert sur plus l'infini	$$ x \in \bigl[ a \ ; \ + \infty \bigr[ $$

2. Lien avec les ensembles de nombres

   Certains intervalles s'écrivent avec les ensembles de nombres.

   Exemples :

   $$ x \in \bigl]- \infty \ ; \ + \infty \bigr[ \Longleftrightarrow x \in \mathbb{R} $$
   $$ x \in \bigl[0 \ ; \ + \infty \bigr[ \Longleftrightarrow x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^+ $$
   $$ x \in \bigl]0 \ ; \ + \infty \bigr[ \Longleftrightarrow x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}_+^* $$
3. Intersections/unions d'intervalles

   Soit deux intervalles \(A\) et \(B\).

   1. Intersection de deux intervalles : \(A \cap B\)

      L'intersection \(A \cap B\) est ce qui est commun à \(A\) et \(B\).

      

      Astuce : Pour une fonction à plusieurs valeurs interdites, on prend l'intersection des ensembles de définition.

      Exemple : la fonction \(f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}\)

      (ensemble \(A\))

      $$ x \neq 0 $$

      (ensemble \(B\))

      $$ (x + 1 )\neq 0 $$

      $$ x\neq -1 $$

      Leur intersection :

      $$ x \in \bigl] - \infty \ ; \ {-}1 \bigr[ \cup \bigl] -1 \ ; \ 0 \bigr[ \cup \bigl] 0 \ ; \ + \infty \bigr[ $$
      $$ \Bigl( (x \neq 0 ) \quad \text{et} \quad (x \neq -1 ) \Bigr) $$

      Attention : L'ensemble final s'écrit sous forme d'union (point suivant).

   2. Union de deux intervalles : \(A \cup B\)

      L'union \(A \cup B\) est ce qui est commun à \(A\) et \(B\), plus ce qui est propre à chacun.

      

Comparaison de deux nombres

Pour appliquer une fonction à deux nombres rangés, ils doivent appartenir à un même intervalle où elle est monotone.

1. Comparaison de deux fractions

   Pour comparer deux fractions, on les met au même dénominateur.

   Exemple : \(\frac{3}{7}\) et \(\frac{4}{9}\)

   $$ \frac{3}{7} = \frac{3}{7} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{9}{9}} = \frac{21}{63} $$

   $$ \frac{4}{9} = \frac{4}{9} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{7}{7}} = \frac{28}{63} $$

   D'où :

   $$ \frac{3}{7} < \frac{4}{9} $$
2. Comparaison de deux racines carrées

   Comme la fonction carrée est :

   $$\Biggl \{ \begin{gather*} \text{décroissante sur} \ \mathbb{R}^- \\ \text{croissante sur} \ \mathbb{R}^+ \end{gather*} $$

   

   On compare deux nombres par leurs carrés s'ils sont tous les deux négatifs ou tous les deux positifs.

   Pour deux nombres négatifs :

   $$ \forall (a, b) \in \hspace{0.03em} \bigl( \mathbb{R}^- \bigr)^2, $$

   $$ a^2 < b^2 \Longleftrightarrow a > b $$

   Pour deux nombres positifs :

   $$ \forall (a, b) \in \hspace{0.03em} \bigl( \mathbb{R}^+ \bigr)^2, $$

   $$ a^2 < b^2 \Longleftrightarrow a < b $$

   Exemple : \(2 \sqrt{3}\) et \(3 \sqrt{2}\)

   On élève au carré :

   $$ (2 \sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12 $$

   $$ (3 \sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18 $$

   Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés :

   $$ (2 \sqrt{3})^2 < (3 \sqrt{2})^2 \Longleftrightarrow 2 \sqrt{3} < 3 \sqrt{2} $$

   Soit,

   $$ 2 \sqrt{3} < 3 \sqrt{2} $$

Distance absolue

1. Définition

   La valeur absolue d'un nombre est sa valeur positive.

   $$ |x| = \Biggl \{ \begin{gather*} -x \hspace{2em} (\text{si} \ x < 0) \\ \hspace{0.7em} x \hspace{2em} (\text{si} \ x \geqslant 0) \end{gather*} $$

   Elle sert à calculer des distances entre deux points:

   

   Si \(a < b\), alors \(b - a > 0\) mais \(a - b < 0\).

   La valeur absolue rend une distance positive dans tous les cas :

   $$ |\, a-b \,| = -(a-b) = b-a $$
   
   

   La distance absolue entre \(a\) et \(b\) :

   $$ d_{\text{abs}} = |\, a-b \,| = |\, b-a \,| $$
2. Distance absolue à l'intérieur d'un intervalle

   Soit un intervalle de centre \(a\) et de rayon \(r\), de longueur \(2r\).

   

   Dire que \(x \in \bigl[a-r \ ; \ a +r \bigr] \) revient à dire :

   $$ (\text{partie négative}) \hspace{2em} a-r \leqslant x \leqslant a \Longleftrightarrow -r \leqslant x-a \leqslant 0 $$

   $$ (\text{partie positive}) \hspace{2em} a \leqslant x \leqslant a + r \Longleftrightarrow 0 \leqslant x-a \leqslant r $$

   La fonction valeur absolue est décroissante sur \(\bigl]- \infty \ ; \ 0\bigr]\) et croissante sur \(\bigl[0 \ ; \ +\infty \bigr[\).

   

   On change le sens de l'inéquation là où elle est décroissante.

   $$ (\text{partie négative}) \hspace{2em} -r \leqslant x-a \leqslant 0 \Longleftrightarrow r \geqslant |\, x-a \,| \geqslant 0 $$

   $$ (\text{partie positive}) \hspace{2em} 0 \leqslant x-a \leqslant r \Longleftrightarrow 0 \leqslant |\, x-a \,| \leqslant r $$

   Dans tous les cas :

   $$ x \in \bigl[a-r \ ; \ a +r \bigr] \Longleftrightarrow |\, x-a \,| \leqslant r $$