Retour
Un abonnement, une note à obtenir, un terrain mesuré : l'encadrement et l'inéquation répondent aux questions de seuil.
-
Comparer et encadrer des nombres
-
Représenter un ensemble de solutions sur une droite
-
Résoudre une inéquation, au besoin par un tableau de signes
-
Résoudre un problème de seuil par une inéquation
Comparaison de nombres
-
Comparer \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{2}{7}\), puis \(- \frac{4}{5}\) et \(- 1\).
Pour comparer deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur :
$$ \frac{1}{3} = \frac{7}{21} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{2}{7} = \frac{6}{21} $$$$ \frac{1}{3} > \frac{2}{7} $$$$ - 1 = - \frac{5}{5} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} - \frac{4}{5} > - \frac{5}{5} $$$$ - \frac{4}{5} > - 1 $$ -
On passe à des racines carrées. Comparer \(5 \sqrt{2}\) et \(4 \sqrt{3}\), puis \(- 4 \sqrt{7}\) et \(- 5 \sqrt{6}\).
On compare les carrés :
$$ \bigl( 5 \sqrt{2} \bigr)^2 = 25 \times 2 = 50 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \bigl( 4 \sqrt{3} \bigr)^2 = 16 \times 3 = 48 $$Les deux nombres sont positifs, et la fonction carré est croissante sur les positifs : ils sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
$$ 5 \sqrt{2} > 4 \sqrt{3} $$$$ \bigl( - 4 \sqrt{7} \bigr)^2 = 16 \times 7 = 112 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \bigl( - 5 \sqrt{6} \bigr)^2 = 25 \times 6 = 150 $$Les deux nombres sont négatifs, et la fonction carré est décroissante sur les négatifs : ils sont rangés dans l'ordre inverse de leurs carrés.
$$ - 4 \sqrt{7} > - 5 \sqrt{6} $$
Encadrement simple
On sait que :
Donner un encadrement du nombre \(1 - \frac{7 \sqrt{2}}{3}\).
On multiplie par \(- \frac{7}{3}\), qui est négatif :
Puis on ajoute \(1\) à chaque membre, ce qui ne change pas le sens :
Soit, en valeurs approchées, \(- 2{,}32 < 1 - \frac{7 \sqrt{2}}{3} < - 2{,}29\).
Intervalles sur une droite graduée
On considère les intervalles suivants :
\(I = \Bigl] - 2 \ ; \ 4 \Bigr]\)
\(J = \left] - \frac{1}{2} \ ; \ \frac{3}{2} \right[\)
\(K = \Bigl] - \infty \ ; \ 2 \Bigr[\)
\(L = \Bigl] 1 \ ; \ + \infty \Bigr[\)
-
Représenter ces quatre intervalles sur la droite des réels.
à graduer soi-même, puis à y colorier chaque intervalle 
-
Écrire puis représenter \(I \cup J\) et \(K \cap L\).
à graduer soi-même, puis à y colorier chaque ensemble \(J\) est contenu dans \(I\) : leur réunion est \(I\) tout entier.
$$ I \cup J = \Bigl] - 2 \ ; \ 4 \Bigr] $$Les nombres à la fois inférieurs à \(2\) et supérieurs à \(1\), les deux bornes étant exclues :
$$ K \cap L = \Bigl] 1 \ ; \ 2 \Bigr[ $$
Les abonnements à la salle de sport
Une salle de sport propose deux tarifs :
-
un abonnement à \(50 \ \text{€}\) par mois, puis \(5 \ \text{€}\) la séance ;
-
sans abonnement, \(12 \ \text{€}\) la séance.
Déterminer à partir de combien de séances par mois le tarif avec abonnement devient le moins cher.
On note \(n\) le nombre de séances dans le mois. Avec abonnement, on paie \(50 + 5n\) ; sans abonnement, \(12n\). On cherche \(50 + 5n < 12n\) :
\(n\) est entier : à \(7\) séances, l'abonnement coûte \(85 \ \text{€}\) contre \(84 \ \text{€}\) ; à \(8\) séances, \(90 \ \text{€}\) contre \(96 \ \text{€}\).
Quelle note pour avoir la moyenne ?
Ce trimestre, un élève a obtenu les notes suivantes :
|
Note sur \(20\)
|
Coefficient
|
|---|---|
$$ 9 $$ |
$$ 3 $$ |
$$ 8 $$ |
$$ 1 $$ |
$$ 11 $$ |
$$ 2 $$ |
Il reste une évaluation, de coefficient \(2\), avant la fin du trimestre. Déterminer la note \(x\) qu'il doit y obtenir, au minimum, pour avoir la moyenne.
Pour l'instant, sa moyenne vaut :
Avec la dernière note \(x\), de coefficient \(2\), la moyenne devient \(\frac{57 + 2x}{8}\). On résout :
L'élève doit obtenir au moins \(11{,}5\) sur \(20\).
Inéquations du premier degré
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes.
-
\(3x - 1 < 2x - 3\)$$ 3x \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 1} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{<}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{2x} - 3 $$$$ 3x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 2x} < - 3 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 1} $$$$ x < - 2 $$$$ \mathcal{S} = \Bigl] - \infty \ ; \ - 2 \Bigr[ $$
-
\(- 4x - 1 < x + 2\)$$ - 4x \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 1} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{<}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{x} + 2 $$$$ - 4x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- x} < 2 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 1} $$$$ - 5x < 3 $$
On divise les deux membres par \(- 5\), qui est négatif :
$$ \frac{- 5x}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{- 5}} \ \underbrace{\textcolor{rgb(232 124 124)}{>}}_{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\text{le sens change}}} \ \frac{3}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{- 5}} $$$$ x > - \frac{3}{5} $$$$ \mathcal{S} = \left] - \frac{3}{5} \ ; \ + \infty \right[ $$ -
\(- \frac{2}{3} x + 5 \geqslant - \frac{2}{7} x - 1\)$$ - \frac{2}{3} x \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 5} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{\geqslant}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- \frac{2}{7} x} - 1 $$$$ - \frac{2}{3} x \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{+ \frac{2}{7} x} \geqslant - 1 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 5} $$
On réduit au même dénominateur \(21\) :
$$ - \frac{14}{21} x + \frac{6}{21} x \geqslant - 6 $$$$ - \frac{8}{21} x \geqslant - 6 $$On multiplie les deux membres par \(- \frac{21}{8}\), qui est négatif :
$$ - \frac{8}{21} x \textcolor{rgb(232 124 124)}{\times \left( - \frac{21}{8} \right)} \ \underbrace{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\leqslant}}_{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\text{le sens change}}} \ - 6 \textcolor{rgb(232 124 124)}{\times \left( - \frac{21}{8} \right)} $$$$ x \leqslant \frac{126}{8} $$$$ \mathcal{S} = \left] - \infty \ ; \ \frac{63}{4} \right] $$
Inéquations à factoriser
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes. La méthode est toujours la même : tout ramener dans le membre de gauche, factoriser, puis dresser un tableau de signes.
-
\(x^2 < 81\), puis \(x^2 - 16 \geqslant 0\).$$ x $$$$ -\infty $$$$ \hspace{10em} $$$$ +\infty $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$
tableau de signes pour \(x^2 < 81\) (à compléter) $$ x $$$$ -\infty $$$$ \hspace{10em} $$$$ +\infty $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$tableau de signes pour \(x^2 - 16 \geqslant 0\) (à compléter) $$ x^2 - 81 < 0 \iff (x - 9)(x + 9) < 0 $$$$ x $$$$ -\infty $$$$ - 9 $$$$ 9 $$$$ +\infty $$$$ x - 9 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ x + 9 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ (x - 9)(x + 9) $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \mathcal{S} = \Bigl] - 9 \ ; \ 9 \Bigr[ $$$$ x^2 - 16 \geqslant 0 \iff (x - 4)(x + 4) \geqslant 0 $$$$ x $$$$ -\infty $$$$ - 4 $$$$ 4 $$$$ +\infty $$$$ x - 4 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ x + 4 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ (x - 4)(x + 4) $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \mathcal{S} = \Bigl] - \infty \ ; \ - 4 \Bigr] \ \cup \ \Bigl[ 4 \ ; \ + \infty \Bigr[ $$ -
\((x - 3)^2 \geqslant (2x + 1)^2\)$$ x $$$$ -\infty $$$$ \hspace{10em} $$$$ +\infty $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$
tableau de signes (à compléter) $$ (x - 3)^2 - (2x + 1)^2 \geqslant 0 $$On factorise avec \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) :
$$ \bigl[ (x - 3) - (2x + 1) \bigr] \bigl[ (x - 3) + (2x + 1) \bigr] \geqslant 0 $$$$ (- x - 4)(3x - 2) \geqslant 0 $$$$ x $$$$ -\infty $$$$ - 4 $$$$ \frac{2}{3} $$$$ +\infty $$$$ - x - 4 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 3x - 2 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ (- x - 4)(3x - 2) $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \mathcal{S} = \left[ - 4 \ ; \ \frac{2}{3} \right] $$ -
\((3x + 4)(1 - x) \leqslant 3 - 3x\)$$ x $$$$ -\infty $$$$ \hspace{10em} $$$$ +\infty $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$
tableau de signes (à compléter) $$ (3x + 4)(1 - x) - (3 - 3x) \leqslant 0 $$On fait apparaître le facteur commun \(1 - x\), puisque \(3 - 3x = 3(1 - x)\) :
$$ (3x + 4)(1 - x) - 3(1 - x) \leqslant 0 $$$$ (1 - x) \bigl[ (3x + 4) - 3 \bigr] \leqslant 0 $$$$ (1 - x)(3x + 1) \leqslant 0 $$$$ x $$$$ -\infty $$$$ - \frac{1}{3} $$$$ 1 $$$$ +\infty $$$$ 1 - x $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 3x + 1 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ (1 - x)(3x + 1) $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \mathcal{S} = \left] - \infty \ ; \ - \frac{1}{3} \right] \ \cup \ \Bigl[ 1 \ ; \ + \infty \Bigr[ $$ -
\((2x - 1) x^2 < 6x - 3\)$$ x $$$$ -\infty $$$$ \hspace{10em} $$$$ +\infty $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$$$ \hspace{8em} \vphantom{P(x)} $$
tableau de signes (à compléter) $$ (2x - 1) x^2 - 3(2x - 1) < 0 $$$$ (2x - 1)(x^2 - 3) < 0 $$On factorise une seconde fois, avec \(3 = \sqrt{3}^2\) :
$$ (2x - 1) \bigl( x - \sqrt{3} \bigr) \bigl( x + \sqrt{3} \bigr) < 0 $$$$ x $$$$ -\infty $$$$ - \sqrt{3} $$$$ \frac{1}{2} $$$$ \sqrt{3} $$$$ +\infty $$$$ 2x - 1 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ x - \sqrt{3} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ x + \sqrt{3} $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ (2x - 1) \bigl( x - \sqrt{3} \bigr) \bigl( x + \sqrt{3} \bigr) $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$$$ 0 $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$$$ \mathcal{S} = \Bigl] - \infty \ ; \ - \sqrt{3} \Bigr[ \ \cup \ \left] \frac{1}{2} \ ; \ \sqrt{3} \right[ $$ -
\((2 - 3x)^2 \geqslant 0\)
Pas besoin de tableau : un carré est toujours positif ou nul, quel que soit \(x\).
$$ \mathcal{S} = \mathbb{R} $$
Erreurs d'encadrement
-
Zoé sait que \(- 3 \leqslant x \leqslant 2\). Elle en déduit, en élevant au carré : « \(4 \leqslant x^2 \leqslant 9\) ». Expliquer pourquoi cet encadrement est faux, puis donner le bon.
La fonction carré n'est pas monotone sur \(\bigl[ - 3 \ ; \ 2 \bigr]\) : elle décroît jusqu'à \(0\), puis croît. On ne peut donc pas élever un encadrement au carré quand il contient des négatifs et des positifs. Par exemple \(x = 0\) vérifie \(- 3 \leqslant x \leqslant 2\), et \(x^2 = 0 < 4\).
Sur \(\bigl[ - 3 \ ; \ 0 \bigr]\), \(x^2\) va de \(9\) à \(0\) ; sur \(\bigl[ 0 \ ; \ 2 \bigr]\), de \(0\) à \(4\) :
$$ 0 \leqslant x^2 \leqslant 9 $$ -
On change de question. Écrire une inéquation du premier degré dont l'ensemble des solutions est \(\Bigl] - \infty \ ; \ 3 \Bigr]\), et dans laquelle il faut changer le sens de l'inégalité pour la résoudre.
On part de \(x \leqslant 3\) et on remonte les étapes : en multipliant les deux membres par \(- 2\), le sens change, puis on ajoute \(1\).
$$ x \leqslant 3 \iff - 2x \geqslant - 6 \iff - 2x + 1 \geqslant - 5 $$$$ - 2x + 1 \geqslant - 5 $$Toute inéquation équivalente convient, par exemple \(- x \geqslant - 3\).
Le gazon du terrain
On mesure un terrain rectangulaire avec une précision limitée : sa longueur \(L\) et sa largeur \(\ell\), en mètres, vérifient
-
Encadrer le périmètre \(P\) du terrain.
On additionne les deux encadrements membre à membre, puis on multiplie par \(2\), qui est positif :
$$ 20{,}2 \leqslant L + \ell \leqslant 20{,}6 $$$$ 40{,}4 \leqslant P \leqslant 41{,}2 $$ -
Encadrer l'aire \(A\) de ce même terrain, en justifiant que l'on peut multiplier les encadrements.
Tous les nombres en jeu sont positifs : on peut multiplier les encadrements membre à membre.
$$ 12{,}4 \times 7{,}8 \leqslant L \times \ell \leqslant 12{,}6 \times 8 $$$$ 96{,}72 \leqslant A \leqslant 100{,}8 $$ -
Le propriétaire a acheté \(100 \ \text{m}^2\) de gazon en rouleaux. Trancher : est-il sûr d'en avoir assez ?
L'aire peut valoir jusqu'à \(100{,}8 \ \text{m}^2\) : si le terrain mesure réellement \(12{,}6 \ \text{m}\) sur \(8 \ \text{m}\), il manque \(0{,}8 \ \text{m}^2\) de gazon. Les mesures ne permettent pas de trancher en sa faveur.
$$ \text{il n'est pas sûr d'en avoir assez} $$
Les poteaux d'incendie de la zone d'activités
Une route rectiligne de \(4{,}2 \ \text{km}\) traverse une zone d'activités ; elle est repérée par l'abscisse \(x\), en mètres, de \(0\) à \(4 \ 200\). Un poteau d'incendie placé en \(a\) protège les points \(x\) de la route tels que \(|x - a| \leqslant 300\). Un premier projet place six poteaux, en \(300\), \(900\), \(1 \ 500\), \(2 \ 200\), \(2 \ 800\) et \(3 \ 500\).
-
Écrire sous forme d'intervalle la partie de la route protégée par le poteau placé en \(2 \ 200\), puis écrire la partie que ce même projet ne protège pas.
\(|x - 2 \ 200| \leqslant 300\) signifie que \(x\) est à \(300\) au plus de \(2 \ 200\) :
$$ \bigl[ 1 \ 900 \ ; \ 2 \ 500 \bigr] $$De même, les six poteaux protègent \(\bigl[ 0 \ ; \ 600 \bigr]\), \(\bigl[ 600 \ ; \ 1 \ 200 \bigr]\), \(\bigl[ 1 \ 200 \ ; \ 1 \ 800 \bigr]\), \(\bigl[ 1 \ 900 \ ; \ 2 \ 500 \bigr]\), \(\bigl[ 2 \ 500 \ ; \ 3 \ 100 \bigr]\) et \(\bigl[ 3 \ 200 \ ; \ 3 \ 800 \bigr]\). Leur réunion laisse trois trous :
$$ \bigl] 1 \ 800 \ ; \ 1 \ 900 \bigr[ \ \cup \ \bigl] 3 \ 100 \ ; \ 3 \ 200 \bigr[ \ \cup \ \bigl] 3 \ 800 \ ; \ 4 \ 200 \bigr] $$ -
Prouver qu'il faut au moins \(7\) poteaux pour protéger toute la route, puis proposer une disposition de \(7\) poteaux qui convient.
On range les poteaux de gauche à droite, \(a_1 < a_2 < \dots < a_n\), et on suppose que toute la route est protégée.
Aux deux extrémités : le point \(0\) est à \(300\) au plus d'un poteau, donc du plus proche, \(a_1\) : \(a_1 \leqslant 300\). De même, le point \(4 \ 200\) impose \(a_n \geqslant 3 \ 900\).
Entre deux poteaux voisins : si \(a_{k+1} - a_k > 600\), le point situé au milieu est à plus de \(300\) de \(a_k\) et de \(a_{k+1}\), et encore plus loin des autres poteaux : il n'est pas protégé. Donc \(a_{k+1} - a_k \leqslant 600\) pour chaque \(k\). On additionne ces \(n - 1\) inégalités :
$$ a_n - a_1 \leqslant 600(n - 1) $$Or \(a_n - a_1 \geqslant 3 \ 900 - 300 = 3 \ 600\) :
$$ 600(n - 1) \geqslant 3 \ 600 \iff n - 1 \geqslant 6 $$$$ n \geqslant 7 $$Sept poteaux suffisent : en \(300\), \(900\), \(1 \ 500\), \(2 \ 100\), \(2 \ 700\), \(3 \ 300\) et \(3 \ 900\), ils protègent \(\bigl[ 0 \ ; \ 600 \bigr]\), \(\bigl[ 600 \ ; \ 1 \ 200 \bigr]\), et ainsi de suite jusqu'à \(\bigl[ 3 \ 600 \ ; \ 4 \ 200 \bigr]\).
-
Prouver qu'avec exactement \(7\) poteaux, la disposition de la question précédente est la seule qui convienne.
Avec \(n = 7\), les inégalités de la question 2 donnent :
$$ 3 \ 900 \leqslant a_7 \leqslant a_1 + 3 \ 600 \leqslant 300 + 3 \ 600 = 3 \ 900 $$Toutes ces inégalités sont donc des égalités : \(a_7 = 3 \ 900\), \(a_1 = 300\), et la somme des six écarts vaut exactement \(3 \ 600\). Comme aucun écart ne dépasse \(600\), un écart plus petit ferait descendre la somme sous \(3 \ 600\) : les six écarts valent \(600\).
$$ 300 \ ; \ 900 \ ; \ 1 \ 500 \ ; \ 2 \ 100 \ ; \ 2 \ 700 \ ; \ 3 \ 300 \ ; \ 3 \ 900 $$ -
Devant le dépôt de carburant, en \(2 \ 000\), un poteau existe déjà et doit être conservé. Prouver qu'il faut alors \(8\) poteaux en tout, puis trouver toutes les positions possibles du poteau qui précède celui du dépôt, dans une disposition de \(8\) poteaux.
Au moins \(8\) poteaux : la seule disposition de \(7\) poteaux n'en place aucun en \(2 \ 000\). Plus précisément, on compte les poteaux de chaque côté du poteau du dépôt. Ceux de gauche, \(a_1 < \dots < a_p\), vérifient \(a_1 \leqslant 300\), des écarts d'au plus \(600\), et \(2 \ 000 - a_p \leqslant 600\) :
$$ 1 \ 400 \leqslant a_p \leqslant 300 + 600(p - 1) $$Donc \(p \geqslant 3\). De même, les poteaux de droite, au nombre de \(q\), vérifient \(3 \ 900 \leqslant 2 \ 000 + 600q\), donc \(q \geqslant 4\). Avec le poteau du dépôt, il faut au moins \(3 + 1 + 4 = 8\) poteaux, et dans une disposition de \(8\) poteaux, \(p = 3\) et \(q = 4\).
Le poteau qui précède celui du dépôt : c'est \(a_3\), avec \(a_3 \geqslant 1 \ 400\) et \(a_3 \leqslant a_1 + 1 \ 200 \leqslant 1 \ 500\). Réciproquement, pour tout \(t\) de \(\bigl[ 1 \ 400 \ ; \ 1 \ 500 \bigr]\), les poteaux \(t - 1 \ 200\), \(t - 600\), \(t\), \(2 \ 000\), \(2 \ 500\), \(3 \ 000\), \(3 \ 500\) et \(4 \ 000\) conviennent : le premier est entre \(200\) et \(300\), aucun écart ne dépasse \(600\), et le dernier dépasse \(3 \ 900\).
$$ 8 \ \text{poteaux} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} a_3 \in \bigl[ 1 \ 400 \ ; \ 1 \ 500 \bigr] $$
Le record d'Usain Bolt
En \(2009\), à Berlin, Usain Bolt court le \(100 \ \text{m}\) en \(9{,}58 \ \text{s}\). Le chronomètre mesure la durée au millième de seconde, puis l'affiche arrondie au centième supérieur : la durée réelle \(t\) vérifie \(9{,}57 < t \leqslant 9{,}58\). Selon l'analyse vidéo, il a couru de la marque des \(60 \ \text{m}\) à celle des \(80 \ \text{m}\) en \(1{,}61 \ \text{s}\), à \(0{,}01 \ \text{s}\) près.
-
Encadrer la vitesse moyenne de Bolt sur le \(100 \ \text{m}\), en \(\text{m/s}\), puis en \(\text{km/h}\). On arrondira les bornes au centième, vers l'extérieur.
La vitesse moyenne vaut \(v = \frac{100}{t}\). La fonction inverse est décroissante sur \(\bigl] 0 \ ; \ + \infty \bigr[\) : elle change le sens des inégalités.
$$ 9{,}57 < t \leqslant 9{,}58 \iff \frac{100}{9{,}58} \leqslant \frac{100}{t} < \frac{100}{9{,}57} $$On arrondit la borne de gauche vers le bas, celle de droite vers le haut :
$$ 10{,}43 < v < 10{,}45 \hspace{2em} \bigl[ \text{m/s} \bigr] $$En \(\text{km/h}\), la vitesse vaut \(3{,}6 \, v\) : on multiplie les membres de l'encadrement exact par \(3{,}6\), qui est positif, puis on arrondit de même.
$$ 37{,}57 < 3{,}6 \, v < 37{,}62 \hspace{2em} \bigl[ \text{km/h} \bigr] $$ -
La durée officielle comprend le temps de réaction de Bolt au coup de pistolet, \(0{,}146 \ \text{s}\). Un commentateur affirme : « Sans ce temps de réaction, il a couru à plus de \(38 \ \text{km/h}\) de moyenne. » Trancher.
On retranche \(0{,}146\) aux trois membres de l'encadrement, ce qui ne change pas le sens :
$$ 9{,}424 < t - 0{,}146 \leqslant 9{,}434 $$La vitesse de course, en \(\text{km/h}\), vaut \(\frac{100}{t - 0{,}146} \times 3{,}6 = \frac{360}{t - 0{,}146}\) ; la fonction inverse change le sens :
$$ \frac{360}{9{,}434} \leqslant \frac{360}{t - 0{,}146} < \frac{360}{9{,}424} $$$$ 38{,}15 < \frac{360}{t - 0{,}146} < 38{,}21 $$$$ \text{le commentateur a raison} $$ -
Encadrer la vitesse moyenne de Bolt, en \(\text{km/h}\), entre les marques des \(60 \ \text{m}\) et des \(80 \ \text{m}\). Peut-on affirmer qu'il y a dépassé \(44 \ \text{km/h}\) ? Et \(45 \ \text{km/h}\) ?
La durée \(t'\) du tronçon vérifie \(|t' - 1{,}61| \leqslant 0{,}01\), soit \(1{,}60 \leqslant t' \leqslant 1{,}62\). La vitesse vaut \(\frac{20}{t'} \times 3{,}6 = \frac{72}{t'}\) :
$$ \frac{72}{1{,}62} \leqslant \frac{72}{t'} \leqslant \frac{72}{1{,}60} $$$$ 44{,}44 \ \text{km/h} < \frac{72}{t'} \leqslant 45 \ \text{km/h} $$La vitesse dépasse sûrement \(44 \ \text{km/h}\). Elle ne dépasse jamais \(45 \ \text{km/h}\), qu'elle n'atteint que si \(t' = 1{,}60\) : on ne peut pas affirmer qu'il a dépassé \(45 \ \text{km/h}\), c'est même faux.
-
Les journaux ont annoncé \(44{,}72 \ \text{km/h}\), la valeur calculée avec \(1{,}61 \ \text{s}\). On voudrait pouvoir affirmer que Bolt a dépassé \(44{,}5 \ \text{km/h}\) sur ce tronçon. Déterminer les précisions \(r\) de la mesure, \(|t' - 1{,}61| \leqslant r\), qui le permettent.
Si \(|t' - 1{,}61| \leqslant r\), la durée peut aller jusqu'à \(1{,}61 + r\), et la vitesse descendre jusqu'à \(\frac{72}{1{,}61 + r}\). On peut affirmer que Bolt a dépassé \(44{,}5 \ \text{km/h}\) si et seulement si cette plus petite vitesse possible dépasse \(44{,}5\) :
$$ \frac{72}{1{,}61 + r} > 44{,}5 $$On multiplie les deux membres par \(1{,}61 + r\), puis on les divise par \(44{,}5\) : ces deux nombres sont positifs, le sens ne change pas.
$$ \frac{72}{1{,}61 + r} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times (1{,}61 + r)} > 44{,}5 \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times (1{,}61 + r)} $$$$ 72 > 44{,}5 \times (1{,}61 + r) $$$$ \frac{72}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{44{,}5}} > \frac{44{,}5 \times (1{,}61 + r)}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{44{,}5}} $$$$ \frac{72}{44{,}5} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{>} r \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{+ 1{,}61} $$$$ \frac{72}{44{,}5} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 1{,}61} > r $$$$ r < \frac{72}{44{,}5} - 1{,}61 \approx 0{,}007 \ 98 \ \text{s} $$Vérification : avec \(r = 0{,}007\), la vitesse vaut au moins \(\frac{72}{1{,}617} \approx 44{,}53 \ \text{km/h}\) ; avec \(r = 0{,}008\), elle pourrait valoir \(\frac{72}{1{,}618} \approx 44{,}499 \ \text{km/h}\).